最新高考考点完全题数学理第三章三角函数解三角形与平面向量25

1、考点测试25解三角形的应用一、基础小题1从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，之间的关系是()a>bc90°d180°答案b解析根据仰角与俯角的含义，画图即可得知2在abc中，若sin(ab)12cos(bc)sin(ac)，则abc的形状一定是()a等边三角形b不含60°的等腰三角形c钝角三角形d直角三角形答案d解析sin(ab)12cos(bc)sin(ac)12cosasinb，sinacosbcosasinb12cosasinb，sinacosbcosasinb1，即sin(ab)1，则有ab，故三角形为直角三角形3一船自西向东匀速航行，上

2、午10时到达一座灯塔p的南偏西75°距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船的航行速度为()a 海里/小时b34 海里/小时c 海里/小时d34 海里/小时答案a解析如图所示，在pmn中，mn34.v(海里/小时)故选a.4线段ab外有一点c，abc60°，ab200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，则几小时后，两车的距离最小()ab1cd2答案c解析如图所示，设过x h后两车距离为y，则bd20080x，be50x.y2(20080x)2(50x)22×(20080x)

3、3;50x·cos60°，整理得y212900x242000x40000(0x2.5)当x时，y2最小，即y最小5要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()a100 mb400 mc200 md500 m答案d解析由题意画出示意图，设塔高abh m，在rtabc中，由已知bch m，在rtabd中，由已知bdh m，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd2

4、2bc·cdcosbcd，得3h2h25002h·500，解得h500(m)6.如图所示，为了测量某湖泊两侧a，b间的距离，李宁同学首先选定了与a，b不共线的一点c(abc的角a，b，c所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：测量a，c，b；测量a，b，c；测量a，b，a，则一定能确定a，b间的距离的所有方案的序号为()abcd答案d解析由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出ab.故选d.7.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15&#

5、176;，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为_ m(取1.4，1.7)答案2650解析如图，作cd垂直于ab的延长线于点d，由题意知a15°，dbc45°，acb30°，ab50×42021000(m)又在abc中，bc×sin15°10500()cdad，cdbc·sindbc10500()×10500(1)7350.故山顶的海拔高度h1000073502650(m)8在海岛a上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站p.上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30

6、°的b处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的c处，则轮船航行速度是_千米/时答案2解析pa平面abc，bac90°，apb60°，apc30°，pa1千米，从而bc千米，于是速度vbc÷2(千米/时)二、高考小题9在abc中，b，bc边上的高等于bc，则cosa()abcd答案c解析解法一：过a作adbc，垂足为d，由题意知adbdbc，则cdbc，abbc，acbc，在abc中，由余弦定理的推论可知，cosbac，故选c.解法二：过a作adbc，垂足为d，由题意知adbdbc，则cdbc，在rtadc

7、中，acbc，sindac，cosdac，又因为b，所以cosbaccoscosdac·cossindac·sin××，故选c.10在abc中，b120°，ab，a的角平分线ad，则ac_.答案解析依题意知bdacbac，由正弦定理得，sin，cbac180°b60°，cbac45°，bac30°，c30°.从而ac2·abcos30°.11.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达b处，测

8、得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度cd_ m.答案100解析依题意有ab600，cab30°，cba180°75°105°，dbc30°，dccb.acb45°，在abc中，由，得，有cb300，在rtbcd中，cdcb·tan30°100，则此山的高度cd100 m.12.如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度bc约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67

9、6;0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)答案60解析如图所示，过a作adcb且交cb的延长线于d.在rtadc中，由ad46 m，acb30°得ac92 m.在abc中，bac67°30°37°，abc180°67°113°，ac92 m，由正弦定理，得，即，解得bc60 m.13在平面四边形abcd中，abc75°，bc2，则ab的取值范围是_答案(，)解析如图，作pbc，使bc75°，bc2，作直线ad分别交线段pb、pc

10、于a、d两点(不与端点重合)，且使bad75°，则四边形abcd就是符合题意的四边形过c作ad的平行线交pb于点q，在pbc中，过p作bc的垂线交bc于点e，则pb；在qbc中，由余弦定理qb2bc2qc22qc·bc·cos30°84()2，故qb，所以ab的取值范围是(，)三、模拟小题14若两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20°方向上，灯塔b在观察站c的南偏东40°方向上，则灯塔a与灯塔b的距离为()aa kmba kmc2a kmda km答案d解析依题意知acb180°20&

11、#176;40°120°，在abc中，由余弦定理知aba(km)，即灯塔a与灯塔b的距离为a km.15.如图，在平面四边形abcd中，ab1，bc1，ad，abc120°，dab75°，则cd()ab2c2d1答案a解析如图，过点d作deab于e，过c作cfab交ab的延长线于f，则decf，cbf60°，deadsindab×sin(45°30°)×，cfbcsincbf(1)×，所以四边形defc是矩形，cdefabaebf，因为aeadcosdab×cos(45°30

12、°)×，bfbccoscbf(1)×，所以cd1.16在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边，bc且，若点o是abc外一点，aob(0<<)，oa2，ob1，则平面四边形oacb面积的最大值是()abc3d答案a解析由bc得bc，由得sinbcosasinasinacosb，所以sinasinbcosasinacosbsin(ab)sinc，所以ac，所以abc是等边三角形在oab中，由余弦定理得c222122×2×1×cos54cos，所以s四边形oacbsoabsabcoa·obsinc2sin(

13、54cos)sincos2sin，所以(s四边形oacb)max2.故选a.17如图所示，某炮兵阵地位于地面a处，两观察所分别位于地面c处和d处，已知cd6000 m，acd45°，adc75°，目标出现于地面b处时测得bcd30°，bdc15°，则炮兵阵地到目标的距离是_ m(结果保留根号)答案1000解析acd45°，adc75°，cad60°.在acd中，由正弦定理可得，ad6000×2000(m)在bcd中，由正弦定理得，bd3000(m)，在rtabd中，由勾股定理可得ab2bd2ad2，ab 1000(

14、m)18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a5，b7，b，则abc的面积为_答案10解析由余弦定理b2a2c22accosb得7252c22×5c×cos，即c25c240，解得c8或c3，又c>0，故c8，从而abc的面积为×5×8sin10.一、高考大题1在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bc2acosb.(1)证明：a2b；(2)若abc的面积s，求角a的大小解(1)证明：由正弦定理得sinbsinc2sinacosb，故2sinacosbsinbsin(ab)sinbsinacosbcosasinb，

15、于是sinbsin(ab)又a，b(0，)，故0<ab<，所以，b(ab)或bab，因此a(舍去)或a2b，所以a2b.(2)由s得absinc，故有sinbsincsin2bsinbcosb，因sinb0，得sinccosb.又b，c(0，)，所以c±b.当bc时，a；当cb时，a.综上，a或a.2在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知2(tanatanb).(1)证明：ab2c；(2)求cosc的最小值解(1)证明：由题意知2，化简得2(sinacosbsinbcosa)sinasinb，即2sin(ab)sinasinb.因为abc，所以sin(ab)

16、sin(c)sinc.从而sinasinb2sinc.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosc，当且仅当ab时，等号成立故cosc的最小值为.二、模拟大题3在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且cosa.(1)求cos2cos2a的值；(2)若a，求abc面积的最大值解(1)cos2cos2a2cos2a12cos2a1×2×21.(2)由余弦定理，得()2a2b2c22bccosab2c2bc2bcbcbc.bc，当且仅当bc时等号成立bc的最大值为.cosa，a(0，)，sina.sabcbcsina××.abc面积的最大

17、值为.4如图，在abc中，点d在边ab上，cdbc，ac5，cd5，bd2ad.(1)求ad的长；(2)求abc的面积解(1)在abc中，因为bd2ad，所以可设adx(x>0)，则bd2x.在bcd中，因为cdbc，cd5，bd2x，所以bc.所以coscbd.在abc中，ab3x，bc，ac5，由余弦定理，得coscba.所以，解得x5.所以ad的长为5.(2)由(1)得ab3x15，bc5，所以coscbd，从而sincbd.所以sabc·ab·bc·sincba×15×5×.5如图，在一条海防警戒线上的点a，b，c处各有一个水声检测点，b，c到a的距离分别为20千米和50千米，某时刻b收到来自静止目标p的一个声波信号，8秒后a，c同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设a到p的距离为x千米，用x表示b，c到p的距离，并求出x的值；(2)求p到海防警戒线ac的距离解(1)依题意，有papcx，pbx1.5×8x12.在pab中，ab20，cospab，同理，在pac中，ac50，cospac.cospabcospac，解得x31.(2)作pdac于d，在adp中，由cospad，得sinpad，pdpasinpad31×4.故静