固体物理学课件第五章

1、固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院15.1.1 基本概念基本概念实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用。一个严格的固体电子理论，必须求解多粒子体相互作用。一个严格的固体电子理论，必须求解多粒子体系的薛定谔方程。但求解这样复杂的多粒子体系几乎是不系的薛定谔方程。但求解这样复杂的多粒子体系几乎是不可能的，必须对方程简化，为此能带理论作了一些近似和可能的，必须对方程简化，为此能带理论作了一些近似和假定，将

2、多体问题化为单电子问题。假定，将多体问题化为单电子问题。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院2经绝热近似，自洽场近似和周期场近似，可将多种粒子体经绝热近似，自洽场近似和周期场近似，可将多种粒子体系简化为单电子在周期势场中运动的问题。系简化为单电子在周期势场中运动的问题。绝热近似：晶体中电子和离子的质量相差很大，两者的速绝热近似：晶体中电子和离子的质量相差很大，两者的速度相差很大，在讨论快速运动的电子时，认为电子完全跟度相差很大，在讨论快速运动的电子时，认为电子完全跟得上离子的运动，或者说离子的瞬时位置不是很

3、重要的，得上离子的运动，或者说离子的瞬时位置不是很重要的，可以近似认为离子不动，这种近似称为绝热近似，也称玻可以近似认为离子不动，这种近似称为绝热近似，也称玻恩恩-奥本海默奥本海默(Born-Oppenheimer)近似。在绝热近似下，近似。在绝热近似下，多种粒子的多体问题简化为多电子问题。多种粒子的多体问题简化为多电子问题。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院3自洽场近似：在绝热近似下得到的有相互作用的多电子体系自洽场近似：在绝热近似下得到的有相互作用的多电子体系仍然不能求解，因为任何一个指定的电子运动依

4、赖于所有其仍然不能求解，因为任何一个指定的电子运动依赖于所有其他电子的位置，而指定电子本身又影响其他电子的运动。不他电子的位置，而指定电子本身又影响其他电子的运动。不过，可以认为一切电子的运动是自洽的，这样我们可以引入过，可以认为一切电子的运动是自洽的，这样我们可以引入一个一个“自洽场自洽场”Qi，它表示第，它表示第i个电子在所有其他电子的场中个电子在所有其他电子的场中的势能，而且也考虑了第的势能，而且也考虑了第i个电子对其他电子的影响。个电子对其他电子的影响。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院4原则上，

5、自洽场可以由哈特利原则上，自洽场可以由哈特利-福克福克(Hartree-Fock)方程组的方程组的解得到。解得到。 Qi只与第只与第i个电子的坐标有关，即个电子的坐标有关，即Qi(ri)对一切电子对一切电子形式相同形式相同,可以取消角标可以取消角标i。自洽场近似又称为哈特利。自洽场近似又称为哈特利-福克近福克近似，或单电子近似，它的引入使有相互作用的多电子体系简似，或单电子近似，它的引入使有相互作用的多电子体系简化为无相互作用的电子体系。化为无相互作用的电子体系。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院5周期场

6、近似：对于理想晶体离子处在其平衡位子，离子排列周期场近似：对于理想晶体离子处在其平衡位子，离子排列成晶格，具有周期性，因而，所有离子的势场和其他电子的成晶格，具有周期性，因而，所有离子的势场和其他电子的平均场构成等效势场平均场构成等效势场V(r)是以晶格原胞为周期的周期性势场，是以晶格原胞为周期的周期性势场，可表示为：可表示为： 式中式中, 为晶格的格矢量。为晶格的格矢量。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理 rVRrVn332211anananRn固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院6在上述三个近似之下在上述三个近似之下,求解晶体中电子运动

7、本征态的问题简求解晶体中电子运动本征态的问题简化为解周期场中单电子薛定谔方程：化为解周期场中单电子薛定谔方程：5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理)()()(2/22rErrVm固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院75.1.2 布洛赫定理布洛赫定理1. 周期性势场周期性势场周期性势场：把孤立原子当成一个带正电的点电荷，由于晶周期性势场：把孤立原子当成一个带正电的点电荷，由于晶格原子周期性排列，内部原子的势场也具有周期性，边界处格原子周期性排列，内部原子的势场也具有周期性，边界处势能将提高。势能将提高。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochB

8、loch）定理）定理rV(r)xV(x)固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院8由于，晶格的周期性，金属中的正离子形成一种周期性的势由于，晶格的周期性，金属中的正离子形成一种周期性的势场，电子实际上是在这种周期性的势场中运动。场，电子实际上是在这种周期性的势场中运动。周期性势函数周期性势函数 V(r) 可展成傅立叶级数可展成傅立叶级数 傅立叶系数：傅立叶系数：5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理 drerVVeVrVrGihrGihhhh10rV(r)xV(x)固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院9电子受到相邻原子实作

9、用；电子之间互的作用；其它原子实电子受到相邻原子实作用；电子之间互的作用；其它原子实作用。作用。在单电子近似下，电子的势能在单电子近似下，电子的势能V(r)是以晶格为周期的函数：是以晶格为周期的函数：在已知周期性外场在已知周期性外场V(r) ，可通过解薛定格方程，求出电子的，可通过解薛定格方程，求出电子的波函数和能量。波函数和能量。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理 nRrVrV固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院102. 布洛赫定理布洛赫定理处于处于 周期性势场中的电子的波函数必定是按周期性势场中的电子的波函数必定是按晶格周期函数调幅的平

10、面波晶格周期函数调幅的平面波 该波函数称该波函数称为布洛赫函数。为布洛赫函数。这里，这里，uk(r)具有与势函数具有与势函数V(r)同样的周期性，对布拉非点阵同样的周期性，对布拉非点阵的晶格平移矢量的晶格平移矢量 有有 n1,n2,n3为整数。为整数。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理 nRrVrV rkikkerur nkkRrurunR332211anananRn固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院11结论：周期性势场中的电子波函数为周期性函数结论：周期性势场中的电子波函数为周期性函数 uk(r)和自和自由电子的平面波由电子的平面波 调

11、制结果调制结果调幅平面波。调幅平面波。由布洛赫函数可得由布洛赫函数可得 所以，布洛赫定理可表述为：在以布拉菲格子原胞为周期所以，布洛赫定理可表述为：在以布拉菲格子原胞为周期的势场中运动的电子的势场中运动的电子,当平移晶格矢量当平移晶格矢量Rn时，单电子态波函时，单电子态波函数只增加相位因子数只增加相位因子exp(ikRn)。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理rkie)(reRrnRkink固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院12一维布洛赫函数一维布洛赫函数uk(r) 是周期性函数是周期性函数推广到三维，布洛赫函数推广到三维，布洛赫函数5.1

12、5.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理 xkikkxexux naxuxukk rkikkerur固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院133. 克龙尼克模型克龙尼克模型一维周期性方势场，势阱的势能为零，势垒高度一维周期性方势场，势阱的势能为零，势垒高度V0势阱的宽势阱的宽度是度是c，相邻势阱之间的势垒宽度为，相邻势阱之间的势垒宽度为b，周期为，周期为 a=b+c，V0足足够大，够大，b 足够小，乘积为有限值。当电子能量足够小，乘积为有限值。当电子能量 E 小于小于V0时，时，电子有几率从一个势阱穿到另一个势阱中去。电子有几率从一个势阱穿到另一个势阱中

13、去。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理abxV0c-a -b 0c固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院14在在 bxc区域，粒子的势能区域，粒子的势能在其他区域，粒子的势能为在其他区域，粒子的势能为V(x)=V(x+na)，其中，其中n为任意整为任意整数，依照布洛赫定理，波函数写成数，依照布洛赫定理，波函数写成5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理abxV0c-a -b 0c0 xb - 0 0)(0当当VcxxV )(xuexxki 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院15代入薛定谔方程代

14、入薛定谔方程 经过整理经过整理,得到得到u(x)满足方程满足方程5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理0)(2222VEmdxd0)(222222ukVEmdxduikdxud固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院16在势场突变的点，波函数在势场突变的点，波函数 (x)以及它的导数以及它的导数 必须连续，实际上这就要求函数必须连续，实际上这就要求函数u(x)和它的导数必须连续。和它的导数必须连续。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理)(xuikedxduedxdikxikx固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子

15、与固体电子学院17在区域在区域 0 xc，势能，势能V=0 此时，令此时，令 u(x) 满足的方程式可写成满足的方程式可写成这是一个二阶常系数微分方程。这是一个二阶常系数微分方程。5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理222mE0)()(22222xukdxduikdxudabxV0c-a -b 0c固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院18它的解是：它的解是：其中其中A0和和B0是任意常数。是任意常数。 5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理xkixkieBeAxu)(0)(0)(固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学

16、院微电子与固体电子学院19在区域在区域 bx0, 势能为势能为V0 求求EV0的解，的解， 令令 在此区域，在此区域，u(x) 所满足的方程式是所满足的方程式是其解为：其解为： 式中式中C0和和D0是任意常数。是任意常数。 5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理2200222)(2mVEVm0)()(22222xukdxduikdxudxikxikeDeCxu)(0)(0)(固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院20在在nax+nana+c 区域，由于区域，由于V=0所以函数所以函数u(x+na)为为: 由于由于u具有周期性具有周期性 因此有因此

17、有5.15.1 布洛赫（布洛赫（BlochBloch）定理）定理)()()(naxkinnaxkineBeAnaxu)()(naxuxunakinnakineBBeAA)(0)(0固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院21同理，在同理，在na-bx+na|Vh|，所以，所以1-(2Th)/|Vn|0和和 0和和 0 两方当两方当 0 的共的共同极限同极限。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院673. 对波函数的讨论（简并）对波函数的讨论（简并）电子电荷密度分布电子电荷密度分布5

18、.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) xahLAixahLAsin2cos22122222221sin4cos4ahLAeahLAea a|1 1 |2|2 2 |2固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院681 1对应电荷分布，在原子对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密实附近电子出现的几率密度最大，即负电荷大部分度最大，即负电荷大部分靠近原子实，势能比平均靠近原子实，势能比平均势能（电子均匀分布）低势能（电子均匀分布）低 E-。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) a a|1 1 |2|2 2 |2固体物理

19、学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院692 2对应电荷分布，在原子对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密实附近电子出现的几率密度最小，即负电荷远离带度最小，即负电荷远离带正电的原子实，势能比平正电的原子实，势能比平均势能高均势能高 E+。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) a a|1 1 |2|2 2 |2固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院70所以，形成两个态能量差所以，形成两个态能量差这就是近自由电子近似下，这就是近自由电子近似下，禁带产生的原因。禁带产生的原因。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (

20、微扰法微扰法) ) a a|1 1 |2|2 2 |2hgVEEE2固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院714. 色散关系图（色散关系图（EK）扩展区图式：直接由近自扩展区图式：直接由近自由电子模型得到，各能带由电子模型得到，各能带分别画在各自的布里渊区，分别画在各自的布里渊区，即能量最低的带在第一布即能量最低的带在第一布里渊区，能量次低的，画里渊区，能量次低的，画在第二布里渊区，依次类在第二布里渊区，依次类推，推，E是是K的单值函数。的单值函数。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体

21、电子学院72简约区图式：简约区图式：K为简约波矢，为简约波矢，即即k限制在第一布里渊区，限制在第一布里渊区，E是是k的多值函数，特点是在简约布的多值函数，特点是在简约布里渊区表示出所有能带。里渊区表示出所有能带。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院73重复式图式：各布里渊重复式图式：各布里渊区是等价的，是简约区区是等价的，是简约区的每个能带在整个的每个能带在整个k空空间周期性重复，特点是间周期性重复，特点是E是是k的周期函数。的周期函数。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法)

22、) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院745. 布区与布拉格反射布区与布拉格反射布区边界：布区边界：由右图知，由右图知，5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) hhhhkkkkkkkkkk210212222ndndkkkkkkhhhhhsin22,2sin2,sin2kK固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院75结论：指向布里渊边界的任意平面波波矢结论：指向布里渊边界的任意平面波波矢 ，将受到晶，将受到晶格的布拉格反射，反射波波矢格的布拉格反射，反射波波矢 ，正是由于，正是由于 和和 相遇，形成驻波相遇，形成驻波

23、和和 由于由于电子几率密度不同，形成两个态能量差。电子几率密度不同，形成两个态能量差。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) khkkkkkkk1kk1固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院76结论：（结论：（1）在零级近似中，电子作为自由电子，其能）在零级近似中，电子作为自由电子，其能量本征值量本征值E(0)与与k的关系曲线为抛物线。在周期势场的的关系曲线为抛物线。在周期势场的微扰下，微扰下，E(k)曲线在曲线在k=h/a处断开，能量突变值为处断开，能量突变值为2|Vh|，在诸能量断开的间隔内不存在允许的能级，称为禁带。在诸能量断开的间隔内

24、不存在允许的能级，称为禁带。禁带发生在何处及有多宽，取决于晶体结构和势场的函禁带发生在何处及有多宽，取决于晶体结构和势场的函数形式。数形式。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院77（2）因为）因为N是很大的，因此是很大的，因此K的取值以及相应的能级都的取值以及相应的能级都是十分密集的，即准连续。这些准连续的能级被禁带隔是十分密集的，即准连续。这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带，每个能带所对应的开而形成一系列能带，每个能带所对应的k的取值范围的取值范围都是都是2/a，即一个倒易原胞的长度，而所包

25、含的量子态，即一个倒易原胞的长度，而所包含的量子态数目又都是数目又都是N，即等于晶体中原胞的数目。，即等于晶体中原胞的数目。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院786.2.2 三维周期性势场三维周期性势场1. 三维情况下的近自由电子近似三维情况下的近自由电子近似波动方程波动方程 其中其中5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) )()()(222rErrVm 0hhhKrKiKneVRrVrV固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院79自由电子能量及波函

26、数自由电子能量及波函数(零级近似零级近似)非简并情况非简并情况(微扰计算微扰计算)5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) rKikeVrmKkE1)(2)()0(22)0(0)(222022222221)(22hhhKrKKihKrikkhhhkeKKKmVeVrKKKVmkmE固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院80简并微扰简并微扰禁带宽度禁带宽度5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) rKirKiKKhhhheVBeVArVkmKE222/22)(2)(hKgVE2固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微

27、电子与固体电子学院81属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对应于不同的能带，每个布里渊区体积相同，等于渊区对应于不同的能带，每个布里渊区体积相同，等于倒格子原胞的体积，每个能带的量子态数目：倒格子原胞的体积，每个能带的量子态数目：2N（计入（计入自旋）。自旋）。在三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，这使在三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，这使得不同的能带发生重叠。得不同的能带发生重叠。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院82

28、在左图中，第一布里渊在左图中，第一布里渊区在区在k方向上能量最高点方向上能量最高点A，k方向上能量最高点方向上能量最高点C，C点的能量比第二布点的能量比第二布里渊区里渊区B点高。点高。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院832. 几种晶格的布里渊区几种晶格的布里渊区（1）简单立方格）简单立方格原胞基矢：原胞基矢：倒格子基矢：倒格子基矢：第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。方体。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法

29、微扰法) ) kaaj aai aa321,kabjabiab222321，固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院845.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院85（2）体心立方格子）体心立方格子原胞基矢：原胞基矢：倒格子基矢：倒格子基矢：5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) )(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa，)(2)(2)(2321ijabkiabkjab，固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院86倒格子原

30、胞为边长为倒格子原胞为边长为4/a的的面心立方格子。第一布里渊面心立方格子。第一布里渊区为原点和区为原点和12个近邻点连线个近邻点连线的垂直平分面围成的正的垂直平分面围成的正12面面体。体。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院87重要对称点：重要对称点：:2:2/a(0,0,0); /a(0,0,0); H H :2:2/a(1,0,0);/a(1,0,0);P P :2:2/a(0.5,0.5,0.5); /a(0.5,0.5,0.5); N N :2:2/a(0.5,0.5,0)/a(0.5,0.

31、5,0)5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院88相对应的几个对称轴相对应的几个对称轴分别为分别为： ：H H，四度对称轴，波矢取值：，四度对称轴，波矢取值：/a(/a(,0,0),0,0,0),011：P P，三度对称轴，波矢取值：，三度对称轴，波矢取值：2 2/a(/a(, , ,),0),00.50.5：N N，二度对称轴，波矢取值：，二度对称轴，波矢取值： 2 2/a(/a(, ,0),0,0),00.50.5第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和6个近邻格个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。

32、点的垂直平分面围成的立方体。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院89（2）面心立方格子）面心立方格子原胞基矢：原胞基矢：倒格子基矢：倒格子基矢：5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) )(2)(2)(2321ijaakiaakjaa，)(2)(2)(2111kjiabkjiabkjiab，固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院90 倒格子原胞为边长为倒格子原胞为边长为4/a的体心的体心立方格子。第一布里渊区为原点立方格子。第一布里渊区为原点和和8个近

33、邻点连线的垂直平分面个近邻点连线的垂直平分面围成的正围成的正8面体，和沿立方轴的面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面个次近邻格点连线的垂直平分面割去割去8面体的六个角，形成面体的六个角，形成14面面体。体。8个面是正六边形，个面是正六边形，6个面是个面是正四边形。第一布里渊区为正四边形。第一布里渊区为14面面体。体。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院91重要对称点：重要对称点：:2:2/a(0,0,0); /a(0,0,0); X X :2:2/a(1,0,0);/a(1,0,0);L

34、L :2:2/a(0.5,0.5,0.5); /a(0.5,0.5,0.5); K K :2:2/a(0.75,0.75,0)/a(0.75,0.75,0) 5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院92相对应的几个对称轴相对应的几个对称轴分别分别为为： ：X X，四度对称轴，波矢取，四度对称轴，波矢取值：值：2 2/a(/a(,0,0),0,0,0),01 1 ：L L，三度对称轴，波矢取，三度对称轴，波矢取值：值：2 2/a(/a(, , ,),0),00.50.5：K K，二度对称轴，波矢取，二度对称

35、轴，波矢取值：值：2 2/a(/a(, ,0),0,0),00.750.755.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院933. 布里渊区的性质总结布里渊区的性质总结（1）布里渊区的形状与晶体结构有关，其中简约布里渊）布里渊区的形状与晶体结构有关，其中简约布里渊区即为倒易点阵中的维格纳区即为倒易点阵中的维格纳-赛茨原胞。赛茨原胞。（2）每一个布里渊区的体积等于倒易点阵中原胞的体积，）每一个布里渊区的体积等于倒易点阵中原胞的体积，其中包含其中包含N个可能的状态。由于每个状态可以容纳两个自个可能的状态。由于每个状

36、态可以容纳两个自旋相反的电子，因而每个布里渊区可以容纳旋相反的电子，因而每个布里渊区可以容纳2N个电子。个电子。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院94（3）在布里渊区能量是不连续的，其间隔为）在布里渊区能量是不连续的，其间隔为2|Vh|，在一，在一维情况下，即为禁带宽度。但在三维，布里渊区界面上维情况下，即为禁带宽度。但在三维，布里渊区界面上的能量不连续性却不一定意味着禁带的存在。的能量不连续性却不一定意味着禁带的存在。（4）无穷多个布里渊区中，第一布里渊区具有特别重要）无穷多个布里渊区中，第一布里

37、渊区具有特别重要的意义，晶体中所有电子的能量和相应的波函数均可在的意义，晶体中所有电子的能量和相应的波函数均可在第一布里渊区内表示。第一布里渊区内表示。5.25.2 近自由电子近似近自由电子近似( (微扰法微扰法) ) 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院95在近自由电子近似中，是以自由电子为基础来研究晶体在近自由电子近似中，是以自由电子为基础来研究晶体中的电子状态，周期场随空间变化的部分比较弱，电子中的电子状态，周期场随空间变化的部分比较弱，电子的状态很接近自由电子，这是一种极端情况。的状态很接近自由电子，这是一种极端情况。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 固体物

38、理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院96另一种极端，设想晶体由原子组成，当原子之间相距很另一种极端，设想晶体由原子组成，当原子之间相距很远时，电子被紧密束缚在原子的周围，其状态可用自由远时，电子被紧密束缚在原子的周围，其状态可用自由原子的波函数来描述。原子间的波函数有小的交叠，其原子的波函数来描述。原子间的波函数有小的交叠，其电子状态将发生变化但仍保持原有特性。电子状态将发生变化但仍保持原有特性。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院971. 紧束缚近似模型紧束缚近似模型电子处于很强的原子势场与弱电子处于很强的原子

39、势场与弱的周期性势场，当原子间距较的周期性势场，当原子间距较大时，电子靠近原子实时，相大时，电子靠近原子实时，相当于处于该原子的势阱中，电当于处于该原子的势阱中，电子的运动状态同孤立原子束缚子的运动状态同孤立原子束缚电子相似。电子相似。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院98紧束缚近似方法的思想：电子紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，主要受到该原子势场的作用，将其它原子（格点）势场的作将其它原子（格点）势场的作用看作室微扰。用看作室微扰。6.36.3 紧束缚近似紧

40、束缚近似 将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系，又叫原合，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系，又叫原子轨道线性组合法（子轨道线性组合法（Linear Combination of Atomic Orbits: LCAO）固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院99在紧束缚近似下，电子的哈米尔顿算符为：在紧束缚近似下，电子的哈米尔顿算符为：Va是原来所属原子势能；是原来所属原子势能；Vc其它原子的微扰势；其它原子的微扰势；V（r）= Va+ Vc是晶体周期势。是晶体

41、周期势。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 rVHrVrVmHcaca222固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1002. 运动电子的波函数和能量运动电子的波函数和能量第第 n 个电子在第个电子在第 n 原子实附近电原子实附近电子距第子距第 n 个原子距离个原子距离 ，该，该处原子实（近似为孤立原子）形处原子实（近似为孤立原子）形成的势场为成的势场为 ，被束缚的，被束缚的电子的波函数（电子的波函数（s态）态）为为 ，能量为，能量为5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 nRrncRrVnasRrasE固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院101孤立

42、原子束缚的电子波函数孤立原子束缚的电子波函数加上其它原子势场，晶体中电子波函数为孤立原子波函加上其它原子势场，晶体中电子波函数为孤立原子波函数的线性组合数的线性组合5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 nasasnasaRrERrH nnasknskRrcr固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院102应具有布洛赫波函数的形式，而且归一化可以得出应具有布洛赫波函数的形式，而且归一化可以得出薛定鄂方程薛定鄂方程5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 nnasRk iskRk iknRreNreNcnn11 rkErHkssks.固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固

43、体电子学院1035.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 01nnasRk isncaRreNkERrVHn 01nsncanasRk ikERrVHRreNn固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1045.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 nasasnasaRrERrH 0nnassncasRk iRrkERrVEen固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1055.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 nnasassRk innasncRk iRrEkEeRrRrVenn)(固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院106同乘同乘 积分积

44、分5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 ras dRrrEkEedRrRrVrennasasassRk innasncasRk inn)(固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1075.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 0001)(, 0,nnRRrrnRrrRk iassnnasncasRk iRReEkEdRrRrVrennnnn固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院108把等式左边分为把等式左边分为 Rn=0 和和Rn0 两部分两部分5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 assnasncasnRk iascasEkEdRrRrVredrrVrn0

45、固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院109令：令：5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 AdrrVrascas nnasncasRBdRrRrVr固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院110S态电子的能量态电子的能量 由于原子间距较大，只有相邻原子的电子波函数交叠，即由于原子间距较大，只有相邻原子的电子波函数交叠，即其它为其它为0。由于。由于S态的波函数的球对称性，态的波函数的球对称性，B（Rn）应与应与Rn无关。无关。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 0nnRRk inasseRBAEkE0nRB最近邻固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学

46、院微电子与固体电子学院1113. 能带计算的例子能带计算的例子对于简单立方晶格，最近邻原对于简单立方晶格，最近邻原子有六个，位置是子有六个，位置是(a,0,0), (0, a,0), (0,0, a)，注意到，注意到S态波态波函数的对称性，函数的对称性，六个最近邻原六个最近邻原子所相应的子所相应的B都相等，于是得都相等，于是得: 5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 )coscos(cos2akakakBAEkEzyxass固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院112这就是简单立方晶格这就是简单立方晶格S带的能量带的能量与波矢的关系。当与波矢的关系。当k=0时，即在时，即

47、在布里渊区中心布里渊区中心点，点，能带有最能带有最小值，即为能带底小值，即为能带底而而k在布里渊区边界的小正方面在布里渊区边界的小正方面的对角线时，即的对角线时，即k为为(/a, /a, /a)时，取得极大值：时，取得极大值：5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 BAEkEas6)(min max6asEkEAB固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院113整个整个S带的宽度为：带的宽度为：可见，原来自由原子的一个能可见，原来自由原子的一个能级，由于原子间的作用被分裂级，由于原子间的作用被分裂为一个能带，原子间波函数的为一个能带，原子间波函数的交叠愈多，原子间相互作用愈交叠

48、愈多，原子间相互作用愈强强,能带的宽度就愈宽。能带的宽度就愈宽。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 BEEE12minmax固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院114在紧束缚近似中，把能带同原在紧束缚近似中，把能带同原子的能级联系起来，原子的不子的能级联系起来，原子的不同能级在晶体中变成相应的能同能级在晶体中变成相应的能带，如带，如S带，带，p带，带，d带等。外带等。外层电子的波函数交叠程度大将层电子的波函数交叠程度大将形成较宽的能带，而内层电子形成较宽的能带，而内层电子相应的能带比较窄。相应的能带比较窄。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 固体物理学固体物理学 微电

49、子与固体电子学院微电子与固体电子学院115原子可能有能量相等或相近的原子可能有能量相等或相近的原子轨道，可能出现能带互相原子轨道，可能出现能带互相重叠的情况，这时能带与原子重叠的情况，这时能带与原子能级之间就没有简单的对应关能级之间就没有简单的对应关系了。系了。5.35.3 紧束缚近似紧束缚近似 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院116尽管晶体中电子是遵守量子力学规律的，但并非所有关于尽管晶体中电子是遵守量子力学规律的，但并非所有关于电子运动的问题都必须应用量子力学方法来处理。晶体中电子运动的问题都必须应用量子力学方法来处理。晶体中许多电子运动问题是可以近似当作经典

50、运动来处理。例如，许多电子运动问题是可以近似当作经典运动来处理。例如，在电、磁场中晶体的输运问题就属于这一类型。在电、磁场中晶体的输运问题就属于这一类型。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1175.5.1 准经典近似和波包准经典近似和波包 微观粒子具有波粒二象性，粒子性的特征为局限于某一微观粒子具有波粒二象性，粒子性的特征为局限于某一点，而波的特性为弥散在整个空间。二者可以在波包的基点，而波的特性为弥散在整个空间。二者可以在波包的基础上统一。础上统一。 波包：在量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，波包：在量子力学中

51、，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个如果对一个态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就由一个波包代表。态就由一个波包代表。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院118由由 为中心在为中心在 范围内所有波函数的集合，范围内所有波函数的集合， 在在 内，内，量子论认为，晶体中处于量子论认为，晶体中处于 状态下的电子，在经典近似状态下的电子，在经典近似下其平均速度，相当于以下其平均速度，相当于以 为中心的由布洛赫波组成的为中心的由布洛赫波组成的波包的速度。波包的速度。5.55.5

52、电子的准经典运动电子的准经典运动 0kkak2k xuxukk00k0k固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院119描述波包的波函数为描述波包的波函数为: 因为因为 ，并注意德布罗意关系，并注意德布罗意关系 E= ，则，则令令k=k0+，把，把 E 在在k0附近展开：附近展开：5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 dkexutxtkxikkkkk2020. xuxukk0 dkexutxtEkxikkkkk20200.00)()(dkdEkEkE固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院120于是于是：5.55.5 电子的准经典运动电子的准

53、经典运动 tdkdExtdkdExkexudeexutxtkExkikkktdkdExitkExkikk00)(221)(12112sin)()(),(0000000固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院121该波包所描写的粒子的几率分该波包所描写的粒子的几率分布为布为:波包中心位置几率最大，有波包中心位置几率最大，有5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 02222001sin2.12kkdExtdkx tuxkkdExtdktdkdEx01固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1225.5.2 电子的速度电子的速度波包中心移动的速度为

54、波包中心移动的速度为波包在空间中集中在波包在空间中集中在 x范围，且范围，且而而 k2/a，换句话说，波包的大小如果大于许多个原胞，换句话说，波包的大小如果大于许多个原胞，则晶体中电子的运动可以看作是波包的运。波包的运动规则晶体中电子的运动可以看作是波包的运。波包的运动规律同经典粒子一样，波包移动的速度等于粒子处于波包中律同经典粒子一样，波包移动的速度等于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均速。心那个状态所具有的平均速。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 001dkddkdEdtdxvkxk22固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院123在一维近自由电子近似

55、模在一维近自由电子近似模型中，在能带底和能带顶：型中，在能带底和能带顶：dE/dk=0，电子的速度为，电子的速度为0；在能带在能带d2E/dk2=0处，电子处，电子的速度最大，速度和能量的速度最大，速度和能量的变化结果与自由电子的的变化结果与自由电子的是不同是不同。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院124三维时三维时,由于波包是波矢相差很小的一系列布洛赫波叠加的结果，由于波包是波矢相差很小的一系列布洛赫波叠加的结果，所以波包的速度称为群速度。电子的群速度总是与所以波包的速度称为群速度。电子的群速度总是与K空间空间的等能

56、面垂直的等能面垂直。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 kkEv1固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院1253. 外力作用下的电子状态外力作用下的电子状态-加速度和有效质量加速度和有效质量在在dt时间内电子获得的能量时间内电子获得的能量dE等于外力所做的功，即等于外力所做的功，即 然而，电子的加速度：然而，电子的加速度：5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 xxxxxxdkdEFvFdtdEdtvFdE1dtdEdkddkdEdtddtdvaxxx11固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院126将将dE/dt的表达式代入，

57、得：的表达式代入，得： 而而同牛顿定律同牛顿定律比较，确定电子的有效质量比较，确定电子的有效质量m*为为在一维情况下它是标量。在一维情况下它是标量。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 xxxxxxFdkEddkdEdkdFdtdv222211xxFmdtdv1122xdkEdm固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院127三维运动电子的加速度和有效质量：三维运动电子的加速度和有效质量：5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 FEdtdkEkEdtddtdvakkkkk)(1)(1)(12固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院12

58、8写成张量形式：写成张量形式：5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 zyxzyxFFFAaaa21222222222222zyzxzzyyxyzxyxxkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEA固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院129与牛顿定律相比，现在以一个张量代替了与牛顿定律相比，现在以一个张量代替了1/m，我们称其，我们称其为有效质量倒易张量为有效质量倒易张量(1/m*)，这是一个对称张量，如作坐，这是一个对称张量，如作坐标变换使非对角为零，则，可简化为：标变换使非对角为零，则，可简化为：5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 122

59、122122)(000)(000)(zyxzzyyxxkEkEkEmmm固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院130电子平均加速度与外力的关系形式上类似于牛顿第二定律，电子平均加速度与外力的关系形式上类似于牛顿第二定律，只是用有效质量代替了电子的质量。由于只是用有效质量代替了电子的质量。由于(1/m*)是张量，是张量，所以电子的加速度与外力的方向不一致，这是因为电子不所以电子的加速度与外力的方向不一致，这是因为电子不仅受外力的作用，它还受到晶格周期场的作用。有效质量仅受外力的作用，它还受到晶格周期场的作用。有效质量的意义就在于它可以概括晶体内部的作用，使电子的加速的意义

60、就在于它可以概括晶体内部的作用，使电子的加速度与外力满足非常简单的关系。度与外力满足非常简单的关系。5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动 固体物理学固体物理学 微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院131有效质量不是一个常数，而是波矢有效质量不是一个常数，而是波矢k的函数；有效质量不的函数；有效质量不仅可以取正值仅可以取正值,也可以取负值。也可以取负值。有效质量是一个张量，主要由电子能带结构决定。当等能有效质量是一个张量，主要由电子能带结构决定。当等能面为球面时，有效质量是一个各向同性的标量，面为球面时，有效质量是一个各向同性的标量，5.55.5 电子的准经典运动电子的准经典运动