课程设计最终版

1、摘要 建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。建模是控制理论中所要解决的第一个问题。控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述。设计控制系统是控制理论的核心内容。在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。在非线性系统中，我们用到了微分几何。可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。例如庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控

2、制问题的。 本报告是对连续系统性能分析及闭环调节器设计，对系统的脉冲响应、能控性、能观测性、稳定性进行分析，然后通过状态反馈对系统进行极点配置，最后进行系统的仿真验证。复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识，综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识，弄清楚其相互关系，使理论知识系统化、实用化；掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法；训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力；掌握参数变化对系统性能影响的规律，培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力；培养分析问题、解决问题的独立工作能力，学习实验数据的分析与处理方法。最终达到增强我们的工程意识、联

3、系实际问题设计、使理论与实践相结合的目的。关键词： 建模  控制理论 控制系统  性能分析 状态反馈 仿真目录1 课题分析12 MATLAB应用与系统模型建立22.1MATLAB应用22.1.1MATLAB 环境及基本命令22.1.2 M 文件的编写32.1.3图形处理32.2系统模型建立43 系统定量、定性分析63.1能控性、能观性分析63.1.1能观性、能观测性概念63.1.2系统的能控性、能观测性分析73.2系统稳定性分析83.2.1系统稳定性概念83.2.2系统稳定性分析84输出反馈分析104.1 输出反馈104.2

4、通过给予反馈分析115状态反馈与极点配置135.1状态反馈135.2极点配置145.3闭环系统的状态反馈设计与极点配置145.4已知输出求给定186设计总结20参考文献211 课题分析本次进行的是对连续系统性能分析及闭环调节器设计，系统参数：某调节对象状态空间方程描述为分析原系统的性能，根据要求设计状态反馈阵及系统给定，满足设计要求。设计主要内容： （1）求原系统的状态脉冲响应。 （2）分析系统的能控性、能观测性、稳定性。 （3）分析此调节对象可否通过给予稳定，为什么？ （4）利用状态反馈进行设计，使得闭环系统的极点配置在处，并对设计的系统进行仿真，分析系统的性能。 （5）如果输出量y需以斜坡

5、函数形式变化，即要求，根据第4小题之分析，对应的闭环系统给定量应为何值？对设计的结果进行仿真验证。 此次设计中主要是利用MALTAB编程对系统性能进行分析和闭环调节器设计，然后对系统进行仿真。设计内容（1）求原系统的脉冲响应，通过MALTAB编程即可实现；设计内容（2）分析系统的能控性、能观测性、稳定性，需要运用线性控制理论中的能控性、能观性和稳定性判据，然后可利用MALTAB，得出结论；设计内容（3）是一个输出反馈的问题，可以求此时系统的特征方程，然后运用劳斯判据判断稳定性；设计内容（4）是状态反馈与极点配置，通过MALTAB编程实现，然后进行仿真；设计内容（5）是在内容（4）的基础上，求得

6、系统的传递函数，根据输入输出之间的关系求得给定，然后进行仿真验证。2 MATLAB应用与系统模型建立2.1MATLAB应用2.1.1MATLAB 环境及基本命令 MATLAB环境是一种数值计算、数据分析和图形显示服务的交互式的环境。 有 3 种窗口，即：命令窗口（The Command Window）、m-文件编辑窗口（The Edit Window）和图形窗口（The Figure Window），同时，通过点击 Simulink，可弹出 Simulink 模型编辑窗口。MATLAB 常用简单命令如表 2-1、2-2 所示。 表 2-1 运算指令数组运算矩阵运算指令功能指令功能A'非

7、共轭转置A'共轭转置s.*A标量 s 分别与 A 元素之积s*A标量 s 分别与 A 每个元素之积s./B,B.s标量 s 分别被 B 的元素除S*inv(B)B 阵的逆乘 sA.nA 的每个元素自乘 n 次AnA 阵为方阵，自乘 n 次A.p对 A 各元素分别求非整数幂Ap方阵 A 的非整数乘方A.*B对应元素相乘A*B内维相同矩阵相乘A./BA 的元素被 B 的对应元素除A/BA 右除 BB.A与上相同BAA 左除 Bexp(A)以自然数 e 为底，分别以 A的元素为指数，求幂expm(A)A 的矩阵指数函数log(A)对 A 的各元素求对数logm(A)A 的矩阵对数函数sqrt

8、(A)对 A 的各元素求平方根sqrtm(A)A 的矩阵平方根函数表 2-2 特殊矩阵生成函数指令功能指令功能diag产生对角形数组rand产生均匀分布随机数组eye产生单位数组randn产生正态分布随机数组magic产生魔方数组zeros产生全 0 数组ones产生全 1 数组size()返回指定矩阵的行数和列数2.1.2 M 文件的编写 用 MATLAB 语言编写的程序，称为 M 文件。M 文件可以根据调用方式的不同分为两类：脚本文件(Script File)和函数文件(Function File)。M 文件是一个文本文件，它可以用任何编辑程序来建立和编辑，而一般常用且最为方便的是使用 M

9、ATLAB 提供的文本编辑器。启 动 MATLAB 文 本 编 辑 器 有 多 方 法 。 菜 单 操 作 启 动 ，MATLAB 主 窗 口 的File/New/M-file；命令操作启动，在 MATLAB 命令窗口输入命令 edit，启动 MATLAB 文本编辑器；命令按钮操作启动，单击 MATLAB 主窗口工具栏上的 New M-File 命令按钮，启动MATLAB 文本编辑器。打开已有的 M 文件，也有多种方法。菜单操作打开，MATLAB 主窗口的 File/Open 命令，则屏幕出现 Open 对话框，在 Open 对话框中选中所需打开的 M 文件；命令操作打开，在 MATLAB 命

10、令窗口输入命令：edit 文件名，则打开指定的 M 文件；命令按钮操作打开，单击 MATLAB 主窗口工具栏上的 Open File 命令按钮，再从弹出的对话框中选择所需打开的 M 文件。 函数只能在函数体内对变量进行操作，也就是只能访问函数本身工作空间中的变量。M 函数文件的结构为函数定义行（function）；H1 行（函数帮助文本的第一行）；函数帮助文本；函数体；注释。注意， 函数文件编写后，保存时，其文件名必须与函数名相同；函数名不要与 MATLAB 自身的函数命令相同。2.1.3图形处理 基本二维图形处理命令简单介绍如下：1）plot（x,y）绘制由x,y所确定的曲线；2）多组变量绘

11、图：plot(x1,y1,选项1，x2,y2,选项2,）；3) 双Y轴绘图：plotyy( )函数；4）图形窗口的分割（subplot）;5) 图形编辑窗口的使用（EditFigure Properties）。2.2系统模型建立设某调节对象状态空间方程描述为将系统状态空间方程表示状态空间模型，其MALTAB仿真图为：图2-1 状态空间模型仿真图系统的状态脉冲响应：根据此调节对象的状态空间方程表达式，利用MATLAB编程求系统的状态脉冲响应，其程序如下：A=0 1 0;0 0 1;-2 1 2;B=0;0;1;C=3 0 0; D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)sys=tf

12、(num,den)impulse(sys) 程序运行结果为：num = 0 0 0 3 den = 1.0000 -2.0000 -1.0000 2.0000 sys = 3 - S3 - 2 s2 - s + 2先将原系统状态空间表达式转换成传递函数阵，再求出系统的传递函数为利用指令impulse求系统的脉冲响应，其状态脉冲响应如图2-2。图 2-2状态脉冲响应由系统的状态脉冲响应可以看出，系统是不稳定的。3 系统定量、定性分析系统定量、定性分析主要包括能观测性、能控性、稳定性分析，其目的是判断或者验证当前系统是否满足所要求的性能指标。3.1能控性、能观性分析3.1.1能观性、能观测性概念系

13、统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。输出能控性判别式

14、为： （3-1）状态能控性判别式为： （3-2）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统,如果对t0时刻存在ta，t0<ta<，根据t0,ta上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在t0,ta区间上能观测。状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。状态能观测性判别式为： （3-3）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式

15、所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。3.1.2系统的能控性、能观测性分析对系统进行能控性、能观测性分析，其MATLAB程序如下：A=0 1 0;0 0 1;-2 1 2; B=0 0 1' C=3 0 0;D=0; Qc=ctrb(A,B) rank(Qc) Qo=obsv(A,C) rank(Qo) 程序运行结果：Qc = 0 0 1 0 1 2 1 2 5ans = 3Qo = 3 0 0 0 3 0 0 0 3ans = 3由程序运行结果

16、可知，系统的能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵的秩都为3，等于系统的阶次，所以可以判断出此系统是完全能控和完全能观测的。3.2系统稳定性分析3.2.1系统稳定性概念系统稳定是系统正常工作的首要条件。只要系统的状态矩阵A的特征根全部具有负实部，系统就是状态稳定的。当状态方程是系统的最小实现时，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO（有界输入有界输出）稳定等价；当时，若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO稳定的，而系统的BIBO稳定不一定是系统的状态渐近稳定。3.2.2系统稳定性分析对系统进行稳定性分析，求出系统的零极点增益模型，通过分析系统的极点在s平面上的位置就可判断出系统的稳定性，其程序如下：A

17、=0 1 0;0 0 1;-2 1 2;B=0;0;1;C=3 0 0; D=0;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1)程序运行结果：z = Empty matrix: 0-by-1p = 2.0000 1.0000 -1.0000k = 3由程序运行结果可得，此系统没有零点，极点分别为2、1、-1，增益为3。系统有极点在s平面的右半平面，即系统的特征根出现正实部，所以根据李亚普诺夫间接法可以判断出该系统状态不稳定；BIBO稳定是基于外部的有界输入和有界输出稳定，系统没有零点，不是BIBO稳定的。4输出反馈分析4.1 输出反馈输出反馈是采用输出矢量构成线性反馈律。在经典控制理论中主要讨论

18、这种反馈形式。图4-1示出多输入多输出系统输出反馈的基本结构。图3.2 多输入多输出系统输出反馈结构图受控系统 （4.1a） （4.1. b） 或 （4.2）输出线性反馈控制律为 （4.3）式中 维输出反馈增益阵。对单输出系统，为维列矢量。闭环系统状态空间表达式可由式（4.1. b）代入（4.3）得 （4.4）整理得 （4.5）再把式（4.5）代入式（4.1）求得 （4.6）若，则 （4.7）简记 。由式（4.7）可见，通过选择输出反馈增益阵也可以改变闭环系统的特征值，从而改变系统的控制特性。输出反馈系统的传递函数矩阵为 （4.8）若受控系统的传递函数阵为 （4.9）则和存在下列关系 （4.1

19、0）或 （4.11）输出反馈只能相当于一部分状态反馈。只有当时，才能等同于全状态反馈。因此，在不增加补偿器的条件下，输出反馈的效果显然不如状态反馈系统好。但输出反馈在技术实现上的方便性则是其突出优点。输出反馈不改变系统的状态能控性,输出反馈也不改变状态能观性。4.2通过给予反馈分析对系统判断可否通过给予稳定，这是一个输出反馈问题，可以利用MATLAB编程求输出反馈后系统的特征方程，其程序如下： A=0 1 0;0 0 1;-2 1 2; B=0;0;1;C=3 0 0; D=0; syms F s; a=A+B*F*C; b=B; c=C;h=det(s*eye(3)-a) 程序运行结果： h

20、 =s3 - 2*s2 - s - 3*F + 2由实验的程序得到用U=Fy反馈的系统的传递函数为：h=s3-2*s2-s-3*F+2再根据劳斯判据进行判断系统的稳定性，建立劳斯表如下：S3    1     -1S2    -2     3F+2S1    3F     0S0   0  

21、0;              根据劳斯判据判断系统的稳定性及根的分布：由于劳斯表中的第一列出现了负数-2，可以判断特征方程h=s3 - 2*s2 - s - 3*F + 2的根并非全部在s平面的左半平面，因此判断系统是不稳定的，即此调节对象不能通过U=Fy给予稳定。5状态反馈与极点配置5.1状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参与输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。图5-1是一个多输入多输出系统状态反馈的基本结构。

22、图5-1 多输入多输出系统状态反馈结构图 (5.1)式中;、。若，则受控系统 （5.2）简记为。状态线性反馈控制律u为 （5.3）其中 维参考输入； 维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵。对单输入系统，为维行向量。把式（5.3）代入式（5.1）整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式 （5.4）若，则 （5.5）简记为。闭环系统的传递函数矩阵 （5.6）比较开环系统与闭环系统可见，状态反馈阵的引入，并不增加系统的维数，但可通过的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。5.2极点配置一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。极点配置有两种方法：采用变换矩阵

23、T，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K；基于Carlay-Hamilton理论，它指出矩阵状态矩阵A满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式的值，可以推出增益矩阵K，这种方法推出增益矩阵K的方程式叫Ackermann公式。5.3闭环系统的状态反馈设计与极点配置对系统利用状态反馈进行设计，使得闭环系统的极点配置在处，并对设计的系统进行仿真，分析系统的性能。（1）状态反馈设计与极点配置，程序如下： A=0 1 0;0 0 1;-2 1 2; B=0;0;1; C=3 0 0; D=0; %disp(

24、原系统的极点为) p=eig(A) p=-1;-2;-3; %disp('状态反馈阵为) k=place(A,B,p) %disp('配置后系统的极点为) p=eig(A-B*k)' %disp(极点配置后的闭环系统为) sysnew=ss(A-B*k,B,C,D) step(sysnew/dcgain(sysnew) num,den=ss2tf(A-B*k,B,C,D,1) sys=tf(num,den)程序运行结果：原系统的极点为p = 2.0000 1.0000 -1.0000状态反馈阵为k = 4.0000 12.0000 8.0000配置后系统的极点为p =

25、-1.0000 -2.0000 -3.0000极点配置后的闭环系统为)sysnew = a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -6 -11 -6 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 3 0 0 d = u1 y1 0 num = 0 0 0 3 den = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000 sys = 3 - s3 + 6 s2 + 11 s + 6配置后系统阶跃响应：图5-2 系统单位阶跃响应（2）对设计的系统进行仿真，分析系统的性能对原系统利用状态反馈进行设计后，使得闭环系统的极点配置在处，其传递

26、函数为：,然后对系统进行仿真，其仿真图如图5-3所示。图5-3 系统状态反馈仿真此时，系统的单位阶跃响应如图5-4所示。图5-4 仿真单位阶跃响应通过MALTAB程序运行结果得系统单位阶跃响应如图5-2，由图可得系统没有超调，上升时间为2.74s，调节时间为5s，由图中响应趋势看出系统是稳定的，这一结论也可以通过对系统进行仿真得以证实，如图5-3和图5-4。5.4已知输出求给定如果输出量y需以斜坡函数形式变化，即要求，根据第4小题之分析，对应的闭环系统给定量应为何值？对设计的结果进行仿真验证。根据要求，需要在状态反馈后的基础上，给系统一个输入，使得输出量y以斜坡函数形式变化，即要求。根据输入输出之前的关系即输出=输入×传递函数，给定值可以用输出除以传递函数得到。先将输出量拉氏变换的，取a=1即输出。根据第4小题的系统状态反馈与极点配置得到的系统传递函数为：。然后给定。计算的，再将取拉氏反变换的给定。根据以上所得，对此系统进行仿真，其仿真图如下：图5-5 系统仿真图此时的系统的响应如如5-6：图5-6 系统响应图由系统的响应图可以看出，当系统的给定为时，系统的输出是以斜坡函数形式变化的，图5-6中曲线最开始部分是平的，可能由于的系统的滞后