高等数学1-第一章第六节《极限存在准则两个重要极限》课件

1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、夹逼准则一、夹逼准则第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则两个重要极限 第一章 1. 数列极限存在的夹逼准则（数列极限存在的夹逼准则（p46)机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则（夹逼准则有时又称迫敛性定理）（夹逼准则有时又称迫敛性定理）1. 数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则1. 数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则2. 函数极限存在的夹逼准则函数

2、极限存在的夹逼准则)0( Xx定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0且( 利用归结原则（或海涅定理，p37定理4）及数列的夹逼准则可证或者仿照上面的数列的夹逼准则证明方法证明。 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则)(x)(x)(x2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则时，有则当令),(, 0,min0021xxr机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则)(xgA Axh)(AxhxfxgA)()()(|)(|Axf则Axfxx)(l

3、im0所以1sincosxxx扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1o故有注 目录 上页 下页 返回 结束 xxxcos1sin1, 1coslim0 xx例例1. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcs

4、in xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnRcossinlim2Rn例例3. 求解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例4. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: 证证: nnAlimn2R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 数列极限存在的数列极限存在的单调有界定理单调有界定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则3. 数列极限存在的数列极限存在的单调有界定理单调有界定

5、理机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则注意：注意：1）收敛的数列一定有界，但不一定单调；）收敛的数列一定有界，但不一定单调；2）有界的数列不一定收敛，如果再加上单）有界的数列不一定收敛，如果再加上单调的条件的话，则数列就收敛。调的条件的话，则数列就收敛。定理的证明可参考文献：定理的证明可参考文献：华东师范大学数学系编，华东师范大学数学系编，数学分析数学分析上上册，册，p35.3. 数列极限存在的数列极限存在的单调有界定理单调有界定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则2.exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、 (p49)二、二、 两个重要极限两个重要极限的情形。而趋于取正整数证明：先考虑nx2.exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p49)二、二、 两个重要极限两个重要极限2.exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p49)二、二、 两个重要极限两个重要极限2.exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p49)二、二、 两个重要极限两个重要极限2.exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p49)二、二、 两个重要极限两个重要极限2.exxx)1(lim1 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn

7、)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p49)二、二、 两个重要极限两个重要极限当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (li

8、m1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1 (limexxxlimx例例6. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2sin13. 函数极限存在的函数极限存在的单调有界单调有界定理定理(p51)机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则4. 数列极限存在的数列极限存在的Cauchy准则准则(

9、p51)机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 极限存在准则极限存在准则内容小结内容小结1. 极限存在准则(1) 数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 数列极限存在的单调有界定理函数极限存在的单调有界定理(3) 数列极限存在的Cauchy准则2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e作业作业 P52 #1 ，#2各选3小题 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处理(p52#4)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处理第七节 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处理第七节 目录 上页 下页 返回 结束 习题处理习题处理第七节 目录 上页 下页 返回 结