(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理

1、§ 7.2 一元二次不等式及其解法1 .解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ；2 2) 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不 等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2. 一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(aw0)的形式.当a>0时，解集为 ;当a<0时，解集为 .若关于x的不等式ax>b的 解集是R,则实数a, b满足的条件是 .3. 一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不

2、等式，称为 不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 .(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2 +bx+ c<0)(其中a>0)的形式，其对应的方程 ax2+bx+c= 0有两个不相等的实根 xi, x2,且X1VX2(此时A = b24ac>0),则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集.(4) 一元二次不等式的解：函数、方程与不等式A >0A = 0A <0二次函数y= ax2+ bx+ c(a>0)的图象f二次方程

3、ax2+ bx+ c= 0(a> 0)的根后两相异实根Xi, X2( Xi < X2)后两相等实根bX1=X2五无实根ax2+ bx+ c>0 (a>0)的解集Rax2+ bx+ c< 0 (a>0)的解集x| Xi< X< X2?4.分式不等式解法f X x)(i)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0,左边化为一H-的形g(X)(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如:f (x)g(X)>0f(x) g(x) >0；f (X)g(X)<0f(x)g(x) <0;f(x)f(x)g (x)>0,r&g

4、t;0 ?g(x)g(x)W0;f(x)f(x)g (x)&0,、W0 ?g(x)g(x)W0.自查自纠1.(1)同解不等式(2)同解变形2.xix >axix <aa=0, bv 03.(i)二次(2)解集(3)两边中间b x| xvxl或x>x2 x xw 2a31 / 26A= x| x2 (2014 课标I )已知集合2x-3>0, B= x| 2W x<2,则 An B=()A. -2, -1B. 1, 2)C. 1, 1D. 1 , 2)解：.= x| xR3 或 xw1 , B= x|2wxv2, .An B= x| -2<x<-

5、 1 = -2, - 1.故选 A.设 f(x) = x C. 100, 2 U(2, 十0°)+bx+1 且 f(1)=f(3),则f(x)>0的解集为()A. x|xC RB. x|xwl, xC RC. x|x>1D. x|x< 1解：f(-i)= i-b+i = 2- b, f (3) = 9+3b+1= 10+3b,由 f( 1) = f(3),得 2 b=10 + 3b,解出b=2,代入原函数，f(x)>0即x22x+1>0,x的取值范围是xwl.故选B.已知9<y<2,则x的取值范围是 2 x()1A. (2, 0) U 0,

6、21B. 2, 21D. (8, 2)U 2,十oo，,1，,解：当 x>0 时，x>2；当 x<0 时，x<2.所以x的取值范围是x<2或x>2,故选D.不等式2x2 x<4的解集为解：由2x2x<4得x2- x<2,解得一1<x<2,即不等式2x2x<4的解集为x| 1<x<2.故填x| -1<x<2.（2014 武汉调研）若一元二次不等式2kx2+kx-3<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 .82kv0,解：显然kw0.则八八 解得kC（ 3, 0） .故填（一3,0）.A<

7、0,类型一一元一次不等式的解法已知关于 x的不等式（a+ b） x+ 2a 3bv0的解集为 一8, 1 ,则关于x的不等式（a3b）x+b2a>0的解集为. 31解：由（a+b）xv 3b2a 的解集为 一0°, - - ?3得 a + b>0,且3b2a =-1, a+ b 3从而 a=2b,贝U a+b=3b>0,即 b>0,将 a = 2b代入（a 3b）x+b-2a>0,得一bx- 3b> 0, x v 3,故填x|x v 3.【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax> b（aw0）的形式.挖掘隐含条件 a +3b- 2a1 ,

8、b>0且=三是解本题的关键.a+ b3解关于x的不等式：(m24)xv2.解：(1)当 m24 = 0 即 m= 2 或 m= 2 时，当m 2时，原不等式的解集为？，当m 2时，原不等式的解集为 R(2)当 n2- 4> 0,即 m< 2 或 m> 2 时，x<m2.(3)当 n24v 0,即一2v2 时，x>-.m- 2类型二一元二次不等式的解法解下列不等式： x27x+12>0; (2)-x2-2x+3>0;(3) x2-2x+ K0; (4) x2-2x+2>0.解：(1)方程 x2 7x+ 12 = 0 的解为 xi=3, x2=

9、 4.而y = x27x+12的图象开口向上，可得原不等式x27x+12>0的解集是x|xv 3或 x>4.(2)不等式两边同乘以一1,原不等式可化为x2+2x 3W0.方程 x2+2x3= 0 的解为 xi = 3, X2=1.而y = x2+2x 3的图象开口向上，可得原不等式一x2- 2x + 3>0的解集是x| 3<x<1.(3)方程x22x+1 = 0有两个相同的解 xi = x2=1.而y = x22x+1的图象开口向上，可得原不等式x22x+1<0的解集为？.(4)因为 AV0,所以方程 x2-2x+2=0无实数解，而y = x2-2x+2的图

10、象开口向上，可得原不等式x2 2x+2>0的解集为R【点拨】 解一元二次不等式的步骤： (i) 将二次项系数化为正数； (2) 解相应的一元二次方程； (3) 根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； (4) 写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合(2015 贵外梗拟)关于x的不等式 x2 ( a i) x a<0 的解集中，恰有3 个整数，则实数a 的取值范围是解：原不等式可化为(x1)( xa)<0 ,当a>1时，得1<x<a,此时解集中的整数为 2, 3, 4,则4<aw5；当a

11、<1时，得 a<x<1,此时解集中的整数为一 2, 1, 0.则一3wa< 2,故 aC 3, 2)U(4, 5,故填 3, - 2) U(4, 5.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系（2015 贵州模拟）已知不等式 ax2 +bx+ 2>0的解集为x| 1<x<2,则不等式 2x2+ bx+ a<0的解集为（）-11A. x|x< 1或x>2B. x| 1<x<2C. x|2<x<1D. x| x<-2 或 x>1解：由题意知由韦达定理得x= 1, x=2是方程ax2+bx+2= 0的两根

12、，且a< 0.b -1+2=-, a2（1） X2=- aa= -1, b=1.不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2+x1<0.-1 ,解得一1 vxv2.故选B.【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根 与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正 负.已知不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为x|2 <x< 3,则不等式cx2- bx+ a>0的解集为 .解：二.不等式ax2 + bx+c>0的解集为x|2 vx<3,b一 = 2 + 3,aa< 0,且2和

13、3是方程ax2+ bx+ c= 0的两根，由根与系数的关系得c一 = 2X3, aa<0.b= 5a, 即 c = 6a,a<0.代入不等式cx2- bx+ a>0,得 6ax2+ 5ax+ a>0(a< 0).即 6x2+ 5x+ 1 < 0,解得x< ；. 23故填 x| 一；vxv 一；. 23类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mX(m+ 1)x +K0.解：当m=。时，不等式为一(x 1) <0,得x1>0,不等式的解集为x|x>1；1(2)当 mO 时，不等式为 mxm(x 1) < 0.，1当RK 0,

14、不等式为 xm(x- 1) >0,.<1,，不等式的解集为x|xv1或x>1 .mm当m>0,不等式为 x- (x- 1) < 0. m(I )若1<1,即 m> 1 时， m1不等式的解集为 x|m< x<1 ；(n)若 1>1,即 0v m< 1 时， m一一一,1不等式的解集为 x|1vxvm；(出)若1=1,即m= 1时，不等式的解集为？. m【点拨】当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对 m铲0与m= 0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确

15、定性，对 rk 0与m> 0进行讨论；第三层次：ml 1大小的不确定性，对 m< 1、m> 1与m= 1进行讨论.解关于 x的不等式 ax2-2>2 x- ax( a e R).解：不等式整理为 ax2+(a-2)x-2>0,当a = 0时，解集为(一8, 1.当 awo 时，ax2+(a-2)x- 2=0 的两根为一1, 2, a所以当a>0时，解集为(一8, - 1 u 2, 十00 ； a当一2vav0时，解集为2, 1 ; a当a= 2时，解集为x|x = 1；当av 2时，解集为 一1,2. a类型五分式不等式的解法x 1不等式厂二W 1的解集为2

16、x I 1x + 2 >0. 2x+1解法x + 2>0 ? 2x+1 0 -(x + 2) (2x+1) >0,2x+lw0.解：1 < 1 ? ；x1 -1<0 ? 三二2<0 ? 2x+12x+12x+1m1八得x|x >- 2或 xw 2.解法x + 2 >0 ?2x 1x+2>0,x+ 2<0,2x+1>02x+ K0.m1八得x| x>- 2或 x< - 2.一 一 .1 ,、故填x|x > 2或 x< 2.（2）不等式x-2x2 + 3x+ 2>0的解集为x 2解：x2+3x+2>

17、; 0?x-2(x + 2) (x+1)>0?（x2）（ x+2）（ x+ 1） >0,数轴标根得x| 2vxv 1或x>2,故填x| 2v xv 1 或 x>2.【点拨】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式 的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：（1）移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0,化为不等式的标准形式（注意：一定要保证 x的最高次哥的项的系数为正数 ）.（2）求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；若是分式不等式，用积和商

18、的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根.（3）标根：在数轴上按从左到右（由小到大）依次标出各根（不需标出准确位置，只需标出相对位置即可）.（4）画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根.但画线时遇偶重根不穿过（即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根 ），遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆.（5）写出不等式的解集：若不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“V”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“=”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零.若集

19、合 A= x| -K2x+1<3,B= x|x2丁。,则 An B=(A. x| -1< x<0B. x|0 <x<1C. x|0 < x< 2D. x|0 < x< 1x (x2) < 0,解：易知A=x| 1wxw1, B集合就是不等式组的解集，求出xW0= x|0vx<2,所以 An B= x|0 <x<1.故选 B. x 1(2)不等式y< 0的解集为()2x I I1A. 2，11b. 2，11C. -8, - 2 U1 , +8)1D. -00, 2 U 1 , 十0°)后 x-1(x1)

20、 (2x+1)&01解：丁1W0?得s<x W1.故选 A.2x+12x+1w。2类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x2+ax+1>0对于一切 1xC 0, 2成立，则实数a的最小值为()5A. 0B. - 2C. - 2D. 3解法一：不等式可化为ax>- x2- 1,由于xC 0, 2 ,1. a>- x + - . . f (x) =x+1在 0, !上是减函数，xx 2155 -x-xmax= - 2；a*2.解法二：令f (x) =x2+ax+1,对称轴为x= a.? a>0.(如图 1)f (0) >0a 1 0<

21、-2< 5, ？ 一 1 vav0.(如图 2)af -2 >0a>1一/2，5 ？ 一Waw 1.(如图 3)f 2 >o图2综上，a> 5.故选C.x的取值范围是()A. 1 <x< 3B. xv 1 或 x>3D. xv 1 或 x>2(2)已知对于任意的a-l, 1,函数f(x)=x2+(a4)x+4 2a的值总大于0,则C. 1 <x< 2解：记 g(a)=(x 2)2a+x 4x+ 4, a C 1? x< 1 或 x>3,故选 B.x变化的情形，解法一利用参变量分离a > f ( x) max(

22、a V f ( x) min),求出参数范g (1) >0,x2 3x + 2>0,依题意，只须?g (1) >0 x2 5x+6>0【点拨】(1) 一元二次不等式恒成立问题，对于 法，化成 a>f(x)( avf(x)型恒成立问题，再利用围.解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围.(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于 a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围.(2015 甘肃模拟)若不等式

23、a- 4x-2x+1>0对一切xC R恒成立，则实数 a的取值范围是解:2x-11不等式可变形为a>y = 2x 1 x 1 x14 ，令 2 =t，贝U t>0. . y= 21 x4 =tt2= t2 + 4,因此当t=2时,y取最大值1 _4,故实数 a的取值范围是1 , ，故填1-4-004'(2)对于?t足| a| W2的所有实数a,使不等式 为.解：原不等式转化为(x1)a+x22x+1>0,x2 + ax+1 >2x+a 成立的 x的取值范围设 f(a) =(x-1)a + x2-2x+1,则 f(a)f在2, 2上恒大于0,故有：f( 2)

24、 >0, >0x2-4x+3>0x2 1>0x>3 或x v1, 解得 一.x>1 或 xv 1.x< - 1 或 x>3.故填(8-1)U(3,类型七二次方程根的讨论若方程2ax2x1 = 0在(0 , 1)内有 且仅有一解，则 a的取值范围是()A. ( 0°, 1)B. (1 , +8)C. (1, 1)D. 0, 1)解法一：令 f (x) = 2ax2-x- 1,则 f (0) f (1) v0,即一1 x(2 a 2) < 0,解得 a>1.解法二：当a=0时，x=- 1,不合题意，故排除C, D；当a=- 2时

25、，方程可化为4x2 + x+1 = 0,而A=116V0,无实卞故 a=-2不适合，排除 A.故选B.【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：开口方向；判别式；区间端点函数值的正负；对称轴 x= 2与区间端点的关系.本书 2.4节有较详细的讨论，可参看.(2015 贵州模拟)已知二次函数f(x)= ax2-(a+2)x+1(a Z),且函数f(x)在(2, - 1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为.解：根据题意有f( 2)f( 1)<0 , (6 a+ 5)(2 a + 3)<0. <a&

26、lt; 26又aez,a=1.检验知合要求.不等式 f(x)>1 即为一x2x+1>1,解得一1<x<0. 故填x| -1<x<0.类型八一元二次不等式的应用(2013 上海)甲厂以x千克/小时的3速度匀速生产某种产品(生产条件要求1<x<10),每小时可获得利润是100 5x+1-x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求 最大利润.解：(1)根据题意,200 5x+13 >3 000 ? 5x- 14-3>0?5x

27、2- 14x-3>0 ? (5x +1)( x-3) >0,又 iwxwio,可解得(2)设利润为y元，则3<x<10.y= 900. 100x35x+ 1 一 x9X1045x2 x9X 104 -3 11 2+61 . x 612故 x = 6 时，yma457 500 元.【点拨】和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实 际生活结合紧密，应予以重视.(2015 河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售彳降低 x成(1成=10%),售出商品数 量就增加!(成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业

28、额为y,试求y与x之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解：(1)由题意得 y=100 1左 100 1+x .1050x.售价不能低于成本价， 100 1而-80>0. .y=f(x) =20(10 -x)(50 +8x),定义域为0 , 2.，2-113(2)由题意得 20(10 x)(50 + 8x) >10 260,化简得 8x 30x+13W 0.解得 2w xw1.，-一1 八，x的取值范围是2, 2 .1 . 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或ax2+bx+cv 0)( aw。)的解

29、集的确定，受二次项 系数a的符号及判别式 A = b24ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有 密切联系，可结合相应的函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y = ax2+bx+c的值恒大于0的条件是a>0且 <0;若恒大于或等于 0,则a> 0且AW0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为 0这一特殊情形.2 .解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0,转f (x)f (x)化为不等式组.(注：形如一>0或一H-w 0的不等式称为非严格分式不等式) g (x)

30、 g (x)3 .解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母 参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4 .解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式 应遵循的基本原则.5 .各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6 .对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：x 21 不等式W0的解集是（）A. ( 8, - 1) U(- 1, 2B. T, 2D. ( 1, 2即 xC ( 1, 2,故选 D.C. (8, 1) U2 , +oo) x

31、 2 一，一、 一解：n< 0? (x+1)(x-2)<0,且 xw1X I 12. （2015 湖北模拟）不等式f （x） = ax2 xc>0的解集为x|2<x<1,则函数y= f （ x）的图象为（解：由题意得1-2+1=-, a-2X1 = -c, a解得a= 1,22则 f(x) = -x - x+ 2, ，f(x) = x c=-2.+ x+2.故选C、，.,，、1v3. (2013安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x|x<1或x ,则f(10 >300,解得 10wxw30.故选 C25.若关于x的不等式2x -8x-4-

32、a>0在(1 , 4)内有解，则实数a的取值范围是()B. ( 一 4,十°°)A. ( 一 12)D ( 一 OO) 4)C. ( 一 12,+°°)解：关于x的不等式 2x28x 4a> 0在(1 , 4)内有解，即a2x28x4在(1 , 4) 内有解，令 f (x) =2x2-8x-4=2(x-2)2- 12,当 x= 2 时，f(x)取最小值 f(2)=12;当2x = 4 时，f(4) =2(4 -2) -12=- 4,所以在(1 , 4)上，-12<f (x)<- 4.要使 avf(x)有解，则a<- 4.故选

33、D6.若关于x的方程3x2-5x+a= 0的一个根大于2且小于0,另一个根大于1且小 于3,则实数a的取值范围是()B. ( -12, +oo)>0的解集为()B. x|1<x<lg2 A. x| x<1 或 x>lg2D. x|x< lg2C. x|x>lg21xx1解：可设 f(x)=a(x+1) x-2 (a<0),由 f(10 )>0 可彳# (10 +1) 10x-2 <0,从而v 1. 一. .10 <2,解得 x<lg2 ,故选 D.4. (2013 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于30

34、0后的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()B. 12 , 25A. 15 , 20D. 20 , 30C. 10 , 30x40 yA.(巴 2)解：设矩形的另一边为y m,依题意得40=、，即y = 40-x,所以x(40 D. ( 12, 0)C. (22, 0)解：设f（x） = 3x25x+a,则由题意有22+a>0,0) >2 (fa< 0,即解得12v a<0.故选D.2 + a v 0,0)0)<0(f(f12+a>0.0.)>3(f1 .7. （2015 浙江模拟）不等式log 2 x + 1+6 W3的解集

35、为 x-11,解：log 2 x + -+6 <3? log 2 x+- + 6 < log 28? 0<x+-+6<8? - 6<x+-< 2.当 x xv x vxx111>0 时，x+->2,此时 x=1;当 x<0 时，x + -< -2,此时 x + ->6,解得一32寸2V xxxxv 3+2也.故填（32小，3+2炉）U1.x x28. （2015 昆明模拟）已知a为正的常数，若不等式/下x>1 + xW对一切非负实数x恒成立，则a的最大值是x2 x解：原不等式可化为 > 1 +3-*1 + x(*),

36、令71 +x =t , t >1,则x = t 1,所以口口 (t2 1) 2 t2 1(*)即丁a 21-t=t2-2t+1 =2，对 t>i 恒成立，所以(t + 1) 2t>l恒成立又a为正的常数，所以aw2（ t+ 1）2min=8,故a的最大值是8.故填8.9.若关于x的不等式x2axaw3的解集不是空集，求实数a的取值范围.解法一:设f(x)=x2ax a.则关于x的不等式 x2- ax- aw3的解集不是空集？-a4a+ a2f (x) min w 3,即 f 2 = 4 w 3,解付 aw 6 或 a>2.解法二:x2axaw3的解集不是空集 ？x2axa+3=0的判别式 >0 ,解得aw 6 或 a>2.10.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还