Lecture22-PowerSeries

1、2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤判别正项级数敛散性的方法与步骤不满足不满足发散发散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收敛收敛发散发散不定不定 比较审敛法比较审敛法其它方法其它方法积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限1. 收敛收敛 部分和数列部分和数列 有有极限极限nu nS必要条件必要条件lim0nnu 1limnnnuu limnnnu 1 1 1 复习复习3. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法Leibniz判别法判别法:为收敛级数为收敛级数概念概念: 设设1nnu 绝对收敛绝对收敛若若 收敛，称收敛，称1nnu 1nnu 条件收敛条件收敛若若 发散，称发散，称1nnu

2、 1nnu 10nnuu lim0nnu 则交错级数则交错级数收敛收敛1( 1)nnnu 第三节第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数幂级数 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设设为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数, 称称( ) (1,2,)nuxn 121( )( )( )( )nnnuxu xu xux 对对若常数项级数若常数项级数敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;收敛收敛, 称称

3、为其为其收收 0,xI 01()nnux 0 x若常数项级数若常数项级数发散发散, 称称所有所有为其为其发散点发散点, 发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .01()nnux 0 x则在收敛域上有则在收敛域上有注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点 x 的收敛问题的收敛问题, 实质上是实质上是数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题.在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 ( ) ,S x称为级数的称为级数的和函数和函数 , 并记作并记作1( )( )nnS xux 若用若用表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即( )nSx1

4、( )( )nnkkSxux 令余项令余项( )( )( ),nnr xS xSxlim( )( ) ,nnSxS x lim( )0nnr x 例如例如, 等比级数等比级数级数发散级数发散 ;有和函数有和函数 201nnnxxxx 它的收敛域是它的收敛域是( 1,1) , ( 1,1),x 011nnxx 它的发散域是它的发散域是(,11, ，）及或写作或写作| 1.x 又如又如, 级数级数20(0) ,nnnxxxn 当当 时收敛，时收敛，| 1x 当当 时，时，0 | 1xlim( ),nnux 所以级数的收敛域仅为所以级数的收敛域仅为| 1.x 解解由比值判别法由比值判别法1( )(

5、)nnuxux 11 1nnx1()1nx 即即 或或 时，原级数绝对收敛时，原级数绝对收敛.0 2xx 1( 1)1()1nnnnx 例例1. 求级数求级数 的收敛域的收敛域 .1(1)1,1x 若若11,x11,x原原级数发散级数发散.当当 时，级数时，级数0 x 1( 1)nnn 收敛收敛;当当 时，级数时，级数2x 11nn 发散发散;(, 2)0,). 故级数的收敛域为故级数的收敛域为1(2)1,1x 若若20 x即即时，时，(3)|1| 1,x若若0 2,xx 或或二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 即是此种情形即是此种情形. .形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数

6、幂级数, 其中数列其中数列称为幂级数的称为幂级数的系数系数 . 00()nnnaxx 201020()()aa xxaxx0()nnaxx(0,1,)nan 下面着重讨论下面着重讨论的情形的情形, 00 x 即即0nnna x 2012nnaa xa xa x例如例如, 幂级数幂级数01,11nnxxx 收敛收敛 发散发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数处收敛，则对满足处收敛，则对满足的一切的一切 x 幂级数都幂级数都绝对收敛绝对收敛.证证:Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛0nnna x 0 xx 在在0| |xx 反之反之, 若当若当时该幂级数发散时该幂级数发散

7、,0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 则对满足不等式则对满足不等式0| |xx 收敛收敛,00nnna x 设设则必有则必有0lim0,nnna x 于是存在于是存在常数常数 M 0, 使使0|(1, 2,)nna xMn当当 时时, 0 xx 故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .00nnnnnnxa xa xx 00nnnxa xx0nxMx 收敛收敛,00nnxMx 也收敛也收敛,0nnna x 收敛收敛 发散发散证证:Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛,00nnna x 设设则必有则必有0lim0,nnna x 于是存在于是存在常数常数 M 0,

8、 使使0|(1, 2,)nna xMn用反证法证明用反证法证明.故假设不真故假设不真. 证证 毕毕反之反之, 若当若当时该幂级数发散时该幂级数发散 ,0 xx 假设有一点假设有一点满足满足且使级数收敛且使级数收敛 ,1x10 xx 面的证明可知面的证明可知,则由前则由前与所设矛盾与所设矛盾,级数在点级数在点也应收敛也应收敛, 0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当的的 x , 原幂级数也原幂级数也发散发散 . 时幂级数发散时幂级数发散,则对一切则对一切0 xx 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点, 则则R = 0 时时,幂级数仅在幂级数仅在 x =

9、0 收敛收敛 ;R = + 时时,幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径称为收敛半径 ， 在在R , R 外外发散发散;(R , R ) 称为收敛区间称为收敛区间.幂级数在幂级数在 收敛收敛 ;(+ ), 收敛收敛 发散发散Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛定理表明：定理表明：的收敛域是以原点的收敛域是以原点为中心的区间为中心的区间.0nnna x 0,R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .在在xR 定理定理2. 若若的系数满足的系数满足证证:则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:原级数收敛原

10、级数收敛;原级数发散原级数发散.1) 当当 时时,2) 当当 时时,则则 0nnna x 1lim,nnnaa 1;R ;R 3) 当当 时时,0 .R =+ 0= 0 111limlimnnnnnnnnaxaxa xa x 1) 若若0, 当当| 1,x 即即时时,1x 当当| 1,x 即即时时,|1|x 说明说明: :据此定理据此定理的收敛半径为的收敛半径为0nnna x 1limnnnaRa 因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径1.R 则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,原级数绝对收敛原级数绝对收敛,对任意对任意 x因此因此2) 若若0, ;R 3) 若若则对除则对除 x = 0

11、以外的一切以外的一切 x 原级数原级数发散发散 ,因此因此 , 0 .R 对端点对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:对端点对端点 x = 1, 收敛收敛; 发散发散 . 例例2. . 求求幂级数幂级数 231( 1)23nnxxxxn 1limnnnaRa limn 1n11n 1 级数为交错级数级数为交错级数111( 1),nnn 级数为级数为11,nn 故收敛域为故收敛域为( 1,1. 1 limlim nnnnaRa 例例3. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :解解:(2)所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! =

12、1001(1);(2)!.!nnnnxn xn1 limlimnnnnaRa 1(1)!n 1!nlim(1)nn 所以收敛域为所以收敛域为(,) . (1)!n !n1lim1nn 0 (1)例例4. 求幂级数求幂级数的收敛半径的收敛半径 .级数级数缺少奇次幂项缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,由比值审敛法求收敛半径由比值审敛法求收敛半径.故直接故直接220(2 )!( !)nnnxn 1( ) limlim( )nnnnuxux 22(1)!(1)! nn 2(1)nx 22 ! nn2nx22(21)(22)lim(1)nnnxn 24x 时级数收敛时级数收敛当当241x

13、 12x 即即时级数发散时级数发散 当当241x 12x 即即故收敛半径为故收敛半径为 1.2R 解解: 例例5. 求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域.解解:此级数发散此级数发散;此级数条件收敛此级数条件收敛;1(1)2nnnxn 1,tx令令 级数变为级数变为112nnntn 1limlimnnnnaRa 112(1)nn 12(1)lim2nnnnn 2 12nn当当 t = 2 时时, 级数为级数为11,nn 当当 t = 2 时时, 级数为级数为1( 1),nnn 因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为22,t 故原级数的收敛域故原级数的收敛域为为212,x 即即13.x 三、幂级数的运

14、算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数设幂级数及及的收敛半径分别的收敛半径分别令令则有则有 :用部分和的极限证明用部分和的极限证明 .为常数为常数)为为0nnna x 0nnnb x 12,RR 12min,RRR 0nnna x 0(nnna x 1|xR 00nnnnnna xb x 0(),nnnnabx |xR 00nnnnnna xb x0,nnnc x |xR 其中其中0nnkn kkca b 说明说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如例如, 设设 但是但是0nn

15、na x 1 0(1,0,1, 2,)naan0nnnb x 1x011,1,0,2, 3,nbbbn 它们的收敛半径均为它们的收敛半径均为,R 0nnna x 0nnnb x 11x 21nxxx其收敛半径只是其收敛半径只是 1.R 幂级数的和函数有下列重要性质：幂级数的和函数有下列重要性质：12321()()()nnn xxxxxxx , ,1 1( )( )0 11nn,x,sxx ,s x,x. 对一般的函数项级数，此结论不成立，对一般的函数项级数，此结论不成立， 例如：例如：收敛域为收敛域为 ，但，但 在在 处非左连续处非左连续.1x ( )s x( 1,1 (1) 幂幂级数级数 的

16、和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间( )s x(,)R R 内连续内连续, 在端点收敛在端点收敛, 则在端点单侧连续则在端点单侧连续.0nnna x 收敛半径不变，但收敛域收敛半径不变，但收敛域可能可能发生变化发生变化,内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.(2) 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间0nnna x ( )s x(,)R R 例：例：21( ),nnxf xn 11( ),nnxfxn 22(1)( ),nnnxfxn 收敛半径都是收敛半径都是1, 收敛域分别是收敛域分别是 1,1, 1,1), ( 1,1) 0 ( )()nnns xa x

17、即即0()nnna x 11.nnnna x (3) 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间(收敛半径不变收敛半径不变)0nnna x ( )s x(,)R R (,)xR R 内可积内可积,且对且对 可逐项积分可逐项积分.以上性质称为幂级数的解析性质以上性质称为幂级数的解析性质000 ( )d()dxxnnns xxa xx 即即00dxnnna xx 10.1nnnaxn 例例6. 求幂级数求幂级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数时级数发散发散,1nnn x ( ) .S x从而当从而当 时，时，( 1,1)x 1

18、( )nnS xnx 11nnxnx 1()nnxx 1nnxx 1xxx 2(1)xx 解：解：从而从而()ln(1)s xxC 2( )1s xxx 1,1x ( 11)x 求得此幂级数的收敛域为求得此幂级数的收敛域为( 11 ，11( 1)nnnxn 例例7. 求级数求级数 的和函数的和函数.11( )( 1),nnnxs xn 设设则则 ( )ln(1),s xx (0)0s ( 11)x 11( 1)ln(1).nnnxxn ( 11)x 1(1)lim ln(1)xsx ln2, 1x 又又时，时，111( 1)nnn 收敛收敛11( )( 1),nnnxs xn 0( )dln(

19、1)xsttx 解解: 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例8. 求幂级数求幂级数则则的和函数的和函数 .从而从而设设0!nnxn 0( )!nnxS xn ()x 11( )(1)!nnxS xn 0!kkxk ( )S x ()x ( )exS xC (0)1, ( )e ,xSS x也即也即：0e .!nxnxn 例例9. 求级数求级数的和函数的和函数解解:01nnxn ( ) .S x收敛收敛 , x = 1 时级数发散时级数发散, 时级数时级数1x 且且1ln(1)xx 及及1x (01 )x 001dxnnxxx 011d1xxxx 001dxnnxxx 10

20、11nnxxn 0( )1nnxS xn 则则 当当 时有时有 1,1), 在在中中0 x 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , (01 )x因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:而而 x = 0 时级数收敛于时级数收敛于1, 及及( )S x1ln(1)xx 1x 0ln(1)lim1,xxx ( )S x 1ln(1) ,xx1 ,0 x 1,0)(0,1)x 解：解：002nnnnnxx101 22,nnnnnxxnx 1001( )xxnnA x dxnxdx 1nnx1xx | 1x 求得此幂级数的收敛域为求得此幂级数的收敛域为)1 , 1( 1(1),1

21、x 0(21)nnnx 例例10. 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数.0( )(21)nns xnx 设设设设11( ),nnA xnx ( )1xA xx 21,(1)x 2022,(1)nnxnxx 01,| 11nnxxx 0( )(21)nns xnx 22(1)xx 11x 21.| 1(1)xxx 101 22,nnnnnxxnx 1211 ,(1)nnnxx 即即11( ),nnA xnx 例例11. 求数项级数求数项级数解解:则则221.(1)2nnn 的的和和2111( )211nnS xxnn 1221nnxxn 12121nnxxn (0)x 12nnxxn 312nn

22、xxn 22( ),1nnxS xn ( 1,1),x 设设而而11( )22nnxxS xxn 21()22xxx(0)x 1nnxn 110dxnnxx 110dxnnxx 0d1xxx ln(1)x 212( )ln(1)24xxS xxx(0)x 131( )22nnnnxxxS xnxn故故221(1)2nnn 12S 53ln284例例12. 求极限求极限其中其中解解:易知其收敛半径为易知其收敛半径为 1,则则212lim(),nnnaaa1.a 212nnnSaaa1 ;nkkka 令令作幂级数作幂级数1,nnnx 设其和为设其和为( ),S x1( )nnS xnx 11nnx

23、nx 1nnxx 1xxx 2(1)xx limnnS)1(Sa 2(1)aa 内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或或根值法根值法,也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求 .1) 对标准型幂级数对标准型幂级数0(0)nnnna xa 2. 幂级数的性质幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算乘法

24、运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.3. 求和函数的常用方法求和函数的常用方法 利用幂级数的性质利用幂级数的性质 思考与练习思考与练习 答答:1. 已知已知处条件收敛处条件收敛 , 问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少 ?0nnna x 0 xx 在在根据根据Abel 定理可知定理可知, 级数在级数在收敛收敛 ,0 xx 时发散时发散 .0 xx 故收敛半径为故收敛半径为0.Rx 2. 在幂级数在幂级数中中,n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数16,能否确定它的收敛半径不

25、存在能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能不能. 因为因为说明说明: 可以证明可以证明比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立02( 1)2nnnnx 1nnaa 11 2( 1)2 2( 1)nn 32,lim( )nnnuxlim2( 1)2nnnx 2x 当当时级数收敛时级数收敛 ,2x 时级数发散时级数发散 ,2x 2.R3. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :(0,1.11(1) 11nnnxn ()() .()() .1(2) ( 1);nnnxn 1(3) ;!nnxn 1(4) () ;nnnx 121(5) ( 1)() .2nnnnxn (0,

26、2)( 1,1 (,) 0 x 阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家挪威数学家, 近代数学发展的先驱者近代数学发展的先驱者. 他在他在22岁时就解决了用根式解岁时就解决了用根式解5 次方程次方程的不可能性问题的不可能性问题 , 他还研究了更广的一他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群并称之为阿贝尔群. 在级数研究中在级数研究中, 他得他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路拓了道路. 数学家们工作数学家们工作150年年. 类代数方程类代数方程, 他是椭圆函数他是椭圆函数C. 埃尔米特曾说埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群后人发现这是一类交换群,解：解： 级数级数3523222xxx缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项1( )lim( )nn