常微分方程课件12后面一些以后再看

1、1.2 基本概念基本概念定义定义1 1 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数导数未知函数导数（或微（或微分）的关系式称为微分方程分）的关系式称为微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为个，则这样的微

2、分方程称为常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程。都是常微分方程。1 常微分方程常微分方程如如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2 偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定义定义2 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的微分的阶

3、数阶数称为微分方程的阶数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdxdy是一阶微分方程； 0 (2) ydxxdy是二阶微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程是四阶微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶二、微分方程的阶如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn阶微分方程的一般形式为( , ,)0, ,.nnnnnndyd ydyd yF x yx ydxdxdxdxd yyxdx这里是的已知函数而且一定含有是未知函数是自变量 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程是线性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin

4、35 )4(2244txdtxddtxd三、 线性和非线性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如,.nndyd yydxdxn的左端为 及的一次有理式则称其为 阶线性方程1.如果方程 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2. n阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程四、 微分方程的解定义4:,),(满足条件如果函数Ixxy;)() 1 (阶的连续导数上有直到在nIxy, 0)(),(),(

5、,(:)2(xxxxFIxn有对( )( , ,)0.ndyd yyxF x yndxdxI则称为方程在 上的一个解例2sin ,cos0(,).yx yxyy 验证都是微分方程在上的一个解证明:sin ,yx对由于cos ,sinyx yx (,),x 故对有 yyxsin0 xsinsin0(,).yxyy 故是微分方程在上的一个解cos0(,).yxyy 同理是微分方程在上的一个解1 显式解与隐式解( , )0y(x),F( , ,)0,( , )0nnx yxIdyd yx ydxdxx y如果关系式所确定的隐函数为方程的解 则称是方程的一个相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式

6、解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.yxyx 和和隐式解:. 122 yx2 2 通解与特解通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnn

7、nncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例例3.62y2y3cy2321的通解是微分方程验证yyececexxxxxxecece23212cy证明: 由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(8621233226.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的通解又由于3 3 1 321321ccccccccc2

8、222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 021233226.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的解注2:.),(,0),(),(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3: 类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如sin ,cos0.yx yxyy都是方程的特解12sincosycxcx可在通

9、解中分别取:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csin ,yxcos .yx定义63 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件和边值条件（见附录I）,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy时当.1,)1(0)1 (000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1: n n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,)(,)(

10、nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1020,045421的特解并求满足初始条件的通解是方程验证)(,y)y(yyyececyx-xyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21

11、cex)ec (4-4x21cex解且xxxxeeee4442121cccc0.045421的通解是方程故yyyececyx-x有由初始条件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程组得1, 321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(, 2)0(045yyyyyx-xeey43五、积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程( , )dyf x ydx( ),yxxy的解所表示平面上的一条曲线称为微分方程的积分曲线.( , ),.yx cxy 而其通解对应平面上的一族曲线称这族曲线为积分曲线族2 方向场( , ),( , ),( , ),( , ),( , )f x yDDx yf

12、 x yx ydyDf x ydx 设函数的定义域为在 内每一点处 都画上一个以的值为斜率 中心在点的线段 称带有这种直线段的区域 为方程在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.( , )( , ),.dyf x yf x ykkdx方程的等斜线为其中 为参数例5.dyyxdx研究方程的方向场 积分曲线的每一点(x,y)上的切线斜率 为f(x,y)。dydx若方向场已描绘好，求微分方程经过点(x0,y0)的一条积分曲线就是在区域D内求一条曲线经过(x0,y0)，并使得其上每一点处的切线向量与方向场在该点的方向向量共线。例6( , )|2,2.Dx yxydyydx 在区域

13、内画出方程的方向场和积分曲线积分曲线积分曲线方向场方向场积分曲线积分曲线y=y（x）的极值点与拐点应满足的极值点与拐点应满足220000dyf ( x,y ),dxd yf ( x,y )f ( x,y )f ( x,y )dxxydyfx , ydx方向场示意图方向场示意图 积分曲线积分曲线 例7.dxdy2的方向场和积分曲线研究方程yx xy-2-1012-2-1012vprogram main1vIMPLICIT REAL*8 (A-H, O-Z)vdimension x(0:100), y(0:100),t(2,0:100,0:100)vvopen(600,file=ex.dat)vw

14、rite(600,*)variables=x,y,u1,u2 v write(600,*) zone i=,33 ,j=,33,F=POINT v v do i=0,32v do j=0,32v x(i)=-2.0+4.0*dble(i)/dble(32)v y(j)=-2.0+4.0*dble(j)/dble(32)v t(1,i,j)=1.0v t(2,i,j)=x(i)*2-y(j)v write(600,*) x(i),y(j),t(1,i,j),t(2,i,j)v end dovend dovclose(600)vend注意：n阶微分方程可化为一阶微分方程方程组。如 1, , ,1.

15、48nnzg t z zz1211.51,nnyz yzyz取取变换则可可用用下下列列一一阶方方程程组代代替替：六、六、微分方程组微分方程组n,nnny,yt,ygdtdyydtdyydtdyydtdy2113221,.,n,i,y,yt,yfdtdyn,ii2121程程组组因因此此以以后后仅仅考考虑虑一一阶阶方方向量形式为向量形式为)491., (t;dtdyfy其中其中nnnnnyyytfyyytfyyytftyyy,.,.,.,.,.2121221121yfy（7）驻定与非驻定方程）驻定与非驻定方程如果方程组右端不含自变量t, ,1.50ndDdtfyyyR则称为驻定（自治）的。驻定（自

16、治）的。右端含t的微分方程(1.49)称为非非驻定（自治）的驻定（自治）的,（8）相空间、奇点和轨线）相空间、奇点和轨线不含自变量、仅含有未知函数组成的空间称为相空间相空间。积分曲线在相空间的投影称为轨线轨线。 0 的解，f yy = y tyy为平衡解平衡解(驻定解、常数解),又称为奇点奇点(平衡点).对驻定方程组(1.50),方程组表示为相空间的点, 它满足微分方程,故称。是方程的显然，的1.51称为,的点解驻定奇点y yy y, ,x xx xy y, ,x x0 0y yx x, ,Y Y0 0, ,y yx x, ,X X同时满足)51.(1 1yx,Ydtdyyx,Xdtdx自治系

17、统（或驻定方程组）：自治系统（或驻定方程组）：右端不显含t相平面是相平面是xy平面平面例例 1 xdtdyydtdx.sintycost,xy)x,(t,方程组有特解它在的积分曲线是一条螺旋线(如图 (a),三维空间中)Asin(ty)Acos(tx,A为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解通解 其中,于是, 方程组的轨线就是圆族(图 (b).为任意常数。(a)（b）A=1=0 ，时，相平面上的相平面上的 所有轨线所有轨线v1、求通解（一阶微分方程）v2、求定解（初值问题），分析论证解的存在唯一性，及微分方程解析理论。v3、庞加莱定性理论，分析解的大范围性态分布、周期性等。v4.

18、李雅普诺夫稳定性理论。v5.解的动力系统理论、非线性系统震动理论等。v6、最新进展：研究特殊的解和方程，如混沌、孤立子和分形。1.2.3常微分方程的发展历史 学习学习常微分方程常微分方程的目的是用微积分的思想，结合线性代的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，学会和掌握常微现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析、非线性系统理论等后续课程打下基础、微分几何、泛函分析、非线性系统理论等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，学习数学建模的一些同时，通过这门课本身的学习和训练，学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性基本方法，