北航10.2无穷积分的收敛判别法

1、10.2 10.2 无穷积分的无穷积分的Dirichlet和和Abel收敛判别法收敛判别法20110309一、一、 柯西收敛原理柯西收敛原理证：证：10.5定理收敛收敛xxfad )( , , 00aA 对对总有总有只要只要 , 0AAA .d )( xxfAA收敛收敛xxfad )( 存在存在)(limd )(limAAFxxfAaA , , 00aA 对对总有总有只要只要 , 0AAA ) ()(AFAF.d )( xxfAA二、二、 绝对收敛绝对收敛10.6定 理收收敛敛xxfad)( 收敛收敛xxfad )( 证：证：收收敛敛xxfad)( xxfAAd )( . , , 00aA 对

2、对总有总有只要只要 , 0AAA xxfAAd | )(| xxfAAd | )(|过过曾曾用用辅辅助助函函数数的的方方法法证证 aadxxfdxxf)( ,)(称称收敛收敛如如.绝对收敛绝对收敛 )( ,)(发发散散，但但收收敛敛如如 aadxxfdxxf adxxf)(称称.条件收敛条件收敛绝对收敛绝对收敛收敛收敛收敛收敛.绝对收敛绝对收敛 条条件件收收敛敛反反例例： dsin 1xxx fx , a 在在上上x fx 1fx dx 1xfx dx 例：设例：设连续可微函数连续可微函数，递减趋于递减趋于0 0，则，则 收敛的充分必要条件收敛的充分必要条件。收敛收敛 1fx dx 220,0

3、,2lim02AAAAAAAA Af x dxf A dxf AAf A 证明：若证明：若收敛，收敛， 221121212211122211,3AAAAAAAAxfx dxA fAA fAfx dxA AAA fAA fAfx dxxfx dx 而而有 ， ，有 ， ， 1xfx dx 11afx dxxfxxfx dx limxxfx 0,0,AAAAAAAA AAxfx dxAfx dxAf AAf Axfx dx limxxfx 另一方面另一方面收敛，则收敛，则因此问题归结为证明因此问题归结为证明存在存在 存在，得证存在，得证 AAfA 上上式式中中令令，三、三、 第二积分中值定理第二积

4、分中值定理证明略去证明略去1210.7定理,非负递减非负递减gbaRf ;d )()()d()(xxfagxxgxfaba ,非负递增非负递增gbaRf .d )()()d()(xxfbgxxgxfbba 使使得得则则,ba 使使得得则则,ba （推广的第二积分中值定理）（推广的第二积分中值定理）10.8定理使使得得则则中中单单调调在在设设 , , ,babagbaRf xxfbgxxfagxxxfbabad )()(d )()()dg()( 非非负负递递减减令令单单调调减减时时当当),()()(,bgxgxhg xxfahxxhxfabad )()(d )()( xxfbgagad )()(

5、)( xxfbgxxfagaad )()(d )()( 证：证：.)()()(,可可得得令令单单调调增增时时当当xgbgxhg 第二积分中值定理的特点就在于它将两第二积分中值定理的特点就在于它将两个函数的乘积的积分化为一个函数的积个函数的乘积的积分化为一个函数的积分来处理分来处理.xxgxfAA)d()( xxfAgxxfAgAAd )()(d )() ( xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd )()(d )() ()d()( , AA ?d )()(xxfAFAa ?)(xg 收收敛敛xxgxfa)d()( 四、四、Dirichlet判别法判别法 9 .11定理定理;),(d )()(

6、1有有界界在在 axxfAFAa, 0)(lim,), 2 xgagx且且上上单单调调在在:满足下面两个条件满足下面两个条件和和设设gf.)d()(收敛收敛则则xxgxfa 证明：证明：xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd )()(d )() ()d()( , AA 由推广的第二积分中值定理由推广的第二积分中值定理xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd )()(d )() ()d()( MAFFxxfA2) ()(d )(,1 由由MFAFxxfA2)()(d )( , , 0,200AAAaA 由由.)(,) ( AgAg总有总有,4)d()(, 0 MxxgxfAAAAA 时时当当收

7、收敛敛原原理理知知由由Cauchy.)d()(收敛收敛xxgxfa 例例2证证1满满足足条条件件收收敛敛dsin1xxx , 21coscosdsin1 AxxA2, 0,1)(满满足足递递减减趋趋向向于于xxg .dsin1收敛收敛xxx xxxxxxxxx22cos21sinsinsin2 11,d21 ,d22cos发发散散收收敛敛xxxxx.dsin1发散发散xxx 五、五、Abel判别法判别法 10.11定定理理:满足下面两个条件满足下面两个条件和和设设gf,d )( 1收敛收敛xxfa ,),)( 2上单调有界上单调有界在在axg.)d()(收敛收敛则则xxgxfa 证明：证明：总总有有时时当当由由, , 0,100AAAA ,)(,2Mxg 由由xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd )()(d