华东师范数学分析-一般项级数

1、3 一般项级数 三、三、AbelAbel判别法和判别法和DirichletDirichlet判别法判别法 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多, 所以对一般项级数的收敛性讨论只限于某些特殊类型级数.一、交错级数一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质二、绝对收敛级数及其性质一、交错级数 11234( 1)(1)nnuuuuu(0)若级数的各项若级数的各项un 符号正负相间符号正负相间, , 即即定义定义1 1 交错级数：交错级数：定理定理12.11 (Leibniz判别法判别法) 若交错级数若交错级数 (-1)n+1un满足满足: :(i);nu数数列列单单调调递递减减(

2、ii) lim0,nnu (-1)n+1un收敛收敛.证证 : :记记交错级数交错级数 (-1)n+1un的部分和数列的部分和数列Sn:211232221()(),mmmSuuuuu21234212()()().mmmSuuuuuuun单减单减,上式中上式中(ui-ui+1) 0, 21mS递递减减数数列列, ,21220mmmSSu(ii)又又， 0(),m+1(-1)=nnu2212(1)2(1) 1,mmmmSSSS21mS2mS 2(1) 1mS2(1)mS2.mS是是递递增增数数列列从而从而 S2m, S2m-1 是一个区间套是一个区间套. .由区间套定理由区间套定理, , | |S

3、 R, 使得使得 212limlim.mmmmSSS,nS数数列列收收敛敛+1(-1)./ /nnu即即级级数数收收敛敛+1+2+3| -|=|-(-)-|nnnnS Suuu+100,Nst nNpN 对对, ,总总和和有有12mmmpuuu 12mmmpuuu由柯西准则知级数由柯西准则知级数un也收敛也收敛.注注: :级数级数un绝对收敛绝对收敛 |un|收敛收敛,可用正项级数判别法可用正项级数判别法=nu=|nu定义定义2 2 级数级数un为为绝对收敛级数：绝对收敛级数：|nnuu收收敛敛即即收收敛敛2.!2!:!nnnn 解解+11!limlim(1)! | |nnnnnnunun 绝

4、对值收敛否？绝对值收敛否？对任何实数对任何实数 都都绝对收敛绝对收敛.例例1 级数级数 21!2!nnnnn 正正项项级级数数lim1nn 01,1!nnn !sinnnx例例E1.1:E1.1:级数 绝对收敛？1)-(1nn!n|nxsin|解：解：21)-(1n22) 1-(1nn收敛，! nnxsin绝对收敛121nn 若级数若级数un收敛收敛, ,但但| un |不收敛不收敛, ,定义定义 un为为条件收敛条件收敛: :Th:Th:级数级数| un |收敛收敛 un收敛收敛1=1( 1)1)1:(nnn例例收敛收敛条件条件11(2( 1)(!21nn绝对收敛绝对收敛2100( 1E1(

5、7)31nnnn，2100|=31nnnun210021003131:nnnnnn解解 ()n23 n1 1使使发散，发散，12121nkk1611213213nnkkC n3 3 n2 2使使发散，发散，12112111 -ikCiinnki11 -121inkk ni ni-1使使发散，发散，1231-21111111112121122111411622iinnikknnnkk nnkkkCki为原级数的一个重排为原级数的一个重排, , 发散发散，重排后级数可发散重排后级数可发散= ,nuA收敛级数收敛级数 nnauau收敛收敛=,aA 12111()mmnknnknaaauau1=mkk

6、Aa?= ,=nnuAvB =nnuvAB2. 级数的乘积级数的乘积将级数将级数un与与vn中每一项所有可能的乘积列表如下中每一项所有可能的乘积列表如下 1 1121312 1222323 132333123nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu v这些乘积这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数可以按各种方法排成不同的级数, 常常用的排序用的排序: :按按正方形正方形顺序或按顺序或按对角线对角线顺序顺序. 122 11 112313233 1323322213nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu

7、 vu vuu vu vuu vvuu vvv1 32333u vu vu v1 11 2222 1u vu vu vu v323 1u vu v12312313223 1131221233132nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu vuuuu vu vvu vu vuvvv1111 22u vuuvv1 3223 1u vu vu v对对 角角 线线 顺顺 序序正正 方方 形形 顺顺 序序特点特点:书写第书写第n个正方形个正方形: uivn(i n)+unvi(inn)特点特点:书写第书写第n条对角线条对角线: uivj+ (i ,i+j=n),性质性质3 (Th12

8、.14柯西定理柯西定理) 若若un 、 vn都都绝对收敛绝对收敛, 所有所有ui uj按按 顺序排列所得顺序排列所得wn绝对收敛绝对收敛, 且和等于且和等于AB.211,11nrrrrr 例例2 等比级数等比级数 绝对收敛绝对收敛1 21()nnr将将按按对角线顺序对角线顺序排列排列, 则得则得 11122113223121()()(1)u uu uu uu uu uu ur112-11()nnnu uu uu u()rr 222()rrr11(),nnnrr 21123nrrnr注注: 级数乘积在幂级数级数乘积在幂级数(CH14)中有重要应用中有重要应用.1nnrP25Ex. 5; 6三、一

9、般项级数收敛性判别法一般项级数收敛性判别法: : Abel和Dirichlet判别法引理引理 (分部求和公式分部求和公式, , 也称阿贝尔变换也称阿贝尔变换) ,(1,2, ),iiv in 设设两两组组实实数数 若若令令12(1,2, ),kkvvvkn 122312111()()()nniinninnv 分部求和公式分部求和公式:证证11221,vv 1,nnnv1niiiv 11132232+)+()( 11-2)(+nnn 211()-= 322+(-) -1-1+(-)nnn +nn -1+()nnn 12(i),max;nkk 单单调调是是数数组组, ,记记(ii)(1),kkkn

10、A 对对任任一一正正整整数数有有13.nkkkAv 12231,nn 推论推论 (阿贝尔引理阿贝尔引理) 若若证证 由由(i)知知同号同号.不妨设为正不妨设为正 121232111()()()nkknnnnnkv 12231()()()nnnAA 1nnAA1(2)nA3.A % 由由(ii)11212231|()()(|)|nnnnn % 由由(i)1 122nnnna ba ba ba b收敛性的判别法？收敛性的判别法？.定理定理12.15 (Abel判别法判别法)(ii)级数级数bn收敛收敛.(i)数列数列an单调有界单调有界anbn收敛收敛0,nMaM使使证证 -Abel引理条件引理条

11、件(i)由由Cauchy收敛准则收敛准则 ,na单调有界单调有界,nb收敛收敛, 当当 n N 时时, ,对对 正整数正整数 p,有有 .n pkk nb -Abel引理条件引理条件(ii) 由由Abel引理得，引理得，.n pkkk na b 由由Cauchy收敛准则得，级数收敛准则得，级数anbn收敛收敛.例例:若级数若级数nu收敛，收敛，(0),1nnpuupnn都都收收敛敛. .对对 0， N 0, 3MP24Ex. 2(1)定理定理12.16 (Dirichlet判别法判别法)(ii)bn的部分和数列有界的部分和数列有界, 级数级数anbn收敛收敛. .证证 nb1nnnkb 部分和

12、数列部分和数列有界有界, , M 0,0,使使|,nM 对对 n, p+,(i)an单调递减单调递减, ,且且 lim0,nna12| |nnn pn pnbbb nalim0,nna又又单调递减单调递减, 且且0, 对对,NnN当当时时 有有 2.M由由Abel引理得，引理得，11|nnn pn pabab3 2M 由由Cauchy收敛准则得，级数收敛准则得，级数anbn收敛收敛.6M. |.na :( )( ):nnnniaa biibTh Abel单单调调有有界界收收敛敛判判别别法法收收敛敛-Abel引理条件引理条件(i)-Abel引理条件引理条件(ii) :( )( ):nnnniaa

13、 biibTh Abel单单调调有有界界收收敛敛判判别别法法收收敛敛:lim0:( )( )nnnnnnaDirichletiaa biibTh判判别别法法收收敛敛数数单单减减, ,部部分分和和界界列列有有例例3 3 若数列若数列an具有性质具有性质: :12,lim0,nnnaaaasincos(0,2 )nnanxanxx 和和对对任任何何都收敛都收敛.12sincos)2nkxkx证证 3sinsin22xx53+sinsin+22xx 11sin()sin()22nxnx1sin()2nx sin,2x112sincossin()sin()222%xkxkxkxsin2x1(2(0,2

14、 ),sin0,2xx 当当时时11sin(1/ 2)cos.22sin(/ 2)nknxkxx(0,2 ),x 当当时时cosnx的部分和有界的部分和有界cos.nDirichletanx由由判判别别法法得得, ,收收敛敛sin.nanx同同证证收收敛敛例例3 3 若数列若数列an具有性质具有性质: :12,lim0,nnnaaaasincos(0,2 )nnanxanxx 和和对对任任何何都收敛都收敛.sincos.nxnxnn和和都都收收敛敛(0,2 )x 对对，特例：特例：例例4 级数级数21sin( 1)nnnn收敛但不绝对收敛收敛但不绝对收敛. 解解 21sin( 1)nnnn21

15、co2%s2sinnn 111cos2( 1)( 1)2nnnnnn11( 1),nnn收收敛敛1cos2( 1)nnnn1cos(2)nnn (3)收收敛敛 例例收收敛敛21sin( 1)nnnn绝对值级数绝对值级数211sin11 cos2()2nnnnnnn111cos2,(3),nnnnn发发散散收收敛敛 例例 结结论论发发散散. .21sin( 1)nnnn为条件收敛为条件收敛. P24Ex. 2(2)(3)【小结】三、三、Abel判别法和判别法和Dirichlet判别法判别法一、交错级数收敛性一、交错级数收敛性 二、绝对收敛级数及其性质二、绝对收敛级数及其性质(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) : :(-1)n+1un(i) nu单单减减(ii)lim0nnu级数级数(-1)(-1)n+1un收敛收敛.1.定义：定义：级数级数| |un| |收敛收敛.2.性质性质(1)| |un| |收敛收敛 un收敛收敛(2)绝对收敛级数可以重排，和不变绝对收敛级数可以重排，和不变(3)绝对收敛级数的积绝对收敛绝对收敛级数的积绝