概率论与数理统计课件第十一讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第十一讲第十一讲主讲教师：郭念国主讲教师：郭念国河南工业大学理学院河南工业大学理学院 前面讨论了随机变量及其分布。前面讨论了随机变量及其分布。 如果我如果我们知道了随机变量们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关的概率分布，那么，关于于 X 的全部概率特征也就知道了。的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布是较难然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。些数字特征就够了。 因此，在对

2、随机变量的研究中，确定随因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。机变量的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：最常用的数字特征是：期望和方差。期望和方差。4.1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 概念引入：概念引入： 某车间对工人生产情况进行考察，车工某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。是一个随机变量。如何定义如何定义 X 的平均值？的平均值？4.1 数学期望数学期望第四章第四章 数字特征数字特征若统计了若统计了100天小张生产产品的情况，发现：天小张生产产品的情况，发现： .2

3、7. 1100213100172100301100320可以得到这可以得到这100天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为32天没有出废品；天没有出废品；30天每天出一件废品；天每天出一件废品；17天每天出两件废品；天每天出两件废品；21天每天出三件废品。天每天出三件废品。可以想象：可以想象：若另外再统计若另外再统计100天，其中不出废天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的的100天一般不会完全相同，即另外天一般不会完全相同，即另外100天每天每天的平均废品数也不一定就是天的平均废品数也不一定就是1.27。n0天没有出废品天没有出废品;

4、n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到这可以得到这n天中，每天的平均废品数为天中，每天的平均废品数为(假定每天至多出三件废品假定每天至多出三件废品) 一般来说一般来说, 若统计了若统计了n天天,这是以频率为这是以频率为权的加权平均权的加权平均nnnnnnnn32103210由频率与概率的关系，由频率与概率的关系， 不难想到：不难想到：求废品数求废品数X的平的平均值时，用概率替代频率，均值时，用概率替代频率，得平均值为：得平均值为：32103210pppp这是以概率为这是以概率为权

5、的加权平均权的加权平均这样，就得到一个确定的数这样，就得到一个确定的数 随机变量随机变量X的期望的期望(均值均值) 。 定义定义1: 设设X是离散型随机变量是离散型随机变量, 概率分布为概率分布为 PX=xk=pk , k=1,2, 。 也就是说：离散型随机变量的数学期望也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。是一个绝对收敛的级数和。1)(kkkpxXE1|kkkpx如果如果 有限有限, 则称则称为为X 的数学期望的数学期望(或均值或均值)。 在在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛取可列无穷个值时，级数绝对收敛可以保证可以保证“级数之值不因级数各项次序的改级数之值不因级数各

6、项次序的改排而发生变化排而发生变化”，这样，这样E( (X) )与与X取值的人为取值的人为排列次序无关。排列次序无关。例例1： 有有4只盒子，编号为只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有。现有3个个球，将球逐个独立地随机放入球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。只盒子中去。用用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，码，E(X)。解：解：首先求首先求X 的概率分布。的概率分布。X 所有可能取的所有可能取的值是值是1, 2, 3, 4。X=i 表示表示i号盒中至少有一号盒中至少有一个球，个球，i=1, 2, 3, 4。 为求为求 PX=1，考虑，考虑 X=

7、1 的对立事件：的对立事件：1号盒中没有球号盒中没有球，其概率为，其概率为 (3/4)3，因此，因此； 434431133333XPX=2 表示表示 1号盒中没有球，而号盒中没有球，而2号盒中至少号盒中至少有一个球有一个球，类似地得到：，类似地得到：； 4232333XP. 414 ,412333333XPXP于是，于是，. 1625 4144123 42324341)(33333333333XE 1.1.两点分布：两点分布：X B(1, p), 0 p 1，则，则 E(X)= 1 p + 0 (1- -p) = p . 常用常用离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 2. 2.二项

8、分布：二项分布：X B(n, p)，其中，其中 0 p 0 ，则，则 E(X)= .!)( ,2, 1 ,0,! 10kkkkkekkekkXEkekkXP，所以因.1!1)!1()!1(01111mmkkkkemkmekek4.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，密度函数是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在在数轴上取很密的点数轴上取很密的点 x0 x1 x2, 则则X 落在小落在小区间区间 xi , xi+1) 的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(在小区间在小区间xi, xi+1)上上阴影面积阴影面积iixxf)()(1iii

9、xxxf小区间小区间Xi, Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值中的值可用可用 xi 来近似地替代。来近似地替代。iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式。的渐近和式。阴影面积阴影面积iixxf)(近似近似,iixxf )(因此因此, X与以概率与以概率 取值取值 xi 的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的的数学期望是数学期望是从该启示出发，我们给出如下定义。从该启示出发，我们给出如下定义。定义定义2：设设X是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为 f (x), 如果如果 有限，则称有限，则称

10、dxxfx)(|为为X的数学期望。的数学期望。dxxfxXE)()( 也就是说：也就是说：连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值是一个绝对收敛的积分值.例例3：设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为， 21)(|xexfx求求 E(X) 。解：解：. 0 d 21 d 21 d 21)( 0 0 |xxexxexxeXExxx 若若X Ua, b, 即即X服从服从a, b上的均匀分布上的均匀分布, 则则.)(XE若若X 服从参数为服从参数为 的指数分布，则的指数分布，则由随机变量数学期望的定义，不难计算出：由随机变量数学期望的定义，不难计算出：； 2)

11、(baXE； /1)(XE若若X 服从服从 ，则，则),(2N 这意味着：若从该地区抽查很多成年男这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为均值近似地为1.68。.68. 1)(XE 已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高X), ,68. 1 (2N例例4：设某型号电子管的寿命设某型号电子管的寿命X服从指数分布服从指数分布,平均寿命为平均寿命为1000小时小时, 计算计算 P1000X1200。解：解：由由 E(X) = 1/ = 1000，知，知 = 0.001，X的概率密度为的概率密度为.067. 0 d

12、 001. 012001000( 2112001000001. 0eexeXPx. 0, 0, 0,001. 0)(001. 0 xxexfx4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望I. 问题的提出：问题的提出： 设随机变量设随机变量X的分布已知，需要计算的量的分布已知，需要计算的量并非并非X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比的某个函数的期望，比如说是如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢？的期望。那么，如何计算呢？ 一种方法是：由于一种方法是：由于g(X) 也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由故应有概率分布，其分布可以由X的分布求的分布求出

13、。一旦知道了出。一旦知道了g(X) 的分布的分布, 就可以按照期就可以按照期望的定义把望的定义把 Eg(X) 计算出来。计算出来。 但使用该方法但使用该方法 必须先求出必须先求出g(X)的分布。的分布。一般说来，这是比较复杂的事。一般说来，这是比较复杂的事。 那么那么, 可否不求可否不求g(X)的分布，而只根据的分布，而只根据X的分布来计算的分布来计算 Eg(X) 呢？呢？ 答案是肯定的。答案是肯定的。且有如下公式：且有如下公式： 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 . ,)()(, ,)( )()(1连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk 当当X为离散型时

14、为离散型时, P(X= xk)=pk ; 当当X为连续型时为连续型时, X 的密度函数为的密度函数为 f(x)。 该公式的重要性在于：当我们求该公式的重要性在于：当我们求 Eg(X)时时, 不必求不必求g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布的分布足矣。这对求足矣。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便。的期望带来了极大方便。例例5： 设 X N(0 , 1)，求，求 E(X2)。解：解：222222 d 21 d 21)(xxexxexXE. 1102121 2222dxexexx例例 6：设国际市场上对我国某种出口商品每年设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量的需

15、求量是随机变量X(单位单位: 吨吨)。X服从区间服从区间2000, 4000 上的均匀分布。每销售出一吨商上的均匀分布。每销售出一吨商品品,可为国家赚取外汇可为国家赚取外汇3万元；若销售不出万元；若销售不出, 则则每吨商品需贮存费每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大源，才能使国家收益最大?解：解：设组织货源设组织货源 t 吨。显然，应要求吨。显然，应要求20002000t t 40004000。国家收益。国家收益Y( (单位单位: :万元万元) )是是X 的函数的函数Y=g(=g(X) )。表达式为。表达式为.),(3,3)(tXXtXtXtXg

16、由已知条件由已知条件, , 知知X X的概率密度函为的概率密度函为.4000 2000 0 4000 2000 20001)(，xxxf40002000dx)x(g20001dx)x(f )x(g)X(gE)108t14000t2(20001tdx3dx) tx4(20001624000tt2000可算得可算得当当 t = = 35003500 时，时， E( E(Y)=-2t)=-2t2 2 + 14000t-8000000 + 14000t-8000000达到最大值达到最大值 1.551.55106。 因此，应组织因此，应组织35003500吨货源。吨货源。J 说明说明 前面我们给出了求前

17、面我们给出了求g(X)g(X)的期望的方法。的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数函数 Z = = g(g(X, ,Y) )的情形。的情形。设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为的概率分布为 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 则：则：.),(),(11 ijijjipyxgYXgE设二维连续型随机向量设二维连续型随机向量( (X, ,Y) )的密度函数的密度函数为为 f (x, y), 则则: :. ),(),(),(dxdyyxfyxgYXgE 例7：设二维离散型随机向量设二维离散型随机

18、向量( (X, ,Y) )的概率分的概率分布如下表所示，求布如下表所示，求Z=X2+Y的期望的期望. . E(Z)=E(Z)= g(1,1)g(1,1) 0.125+g(1,2)0.125+g(1,2) 0.250.25 +g(2,1) +g(2,1) 0.5+g(2,2)0.5+g(2,2) 0.1250.125解：解： Y X 1 2 1 1/8 1/4 2 1/2 1/8 = 4.25.例8：设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，概率密度分相互独立，概率密度分别为别为求求 E( E(XY) )。解：解：., 0, 0 ,2)( , 0, 0 ,4)(24其他其他yeyfxexfyYxX

19、因因 G(G(X, ,Y)=XY, X 和和Y 相互独立。相互独立。. 81 2141 24 24 )()(),(00242004 dyyedxxedxdyeexydxdyyfxxyfYXgEyxyxYX所以，所以，3.1.4 期望的性质期望的性质 (1). 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;(4). 设设 X, Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); (2). 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);；niiniiXEXE11 )(niiniiXEXE11)(注意注意:由由E(XY)=E(X)E(

20、Y) 不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立推广：推广：推广：推广：(诸诸Xi 独立时独立时)。期望性质的应用期望性质的应用例例9: 求二项分布的数学期望。求二项分布的数学期望。 分析：分析：若若 X B(n, p)，则，则 X 表示表示n重贝努重贝努里试验中里试验中“成功成功”的次数。的次数。 设设则则 X = X1+X2+Xn，. , 0, , 1 次试验失败如第次试验成功如第iiXii=1,2,n. 由此可见：由此可见：服从参数为服从参数为n, p的二项分布的的二项分布的随机变量随机变量X的数学期望是的数学期望是 np。= np .因为因为 PXi =1= p,PXi =0= 1-1-p

21、 p，niiXE1)(所以所以 E(X)=E (Xi ) = p，例例10：将将 n个球放入个球放入M个盒子中个盒子中, , 设每个球落设每个球落入各个盒子是等可能的入各个盒子是等可能的, ,求有球的盒子数求有球的盒子数X 的的期望。期望。解：解：引入随机变量引入随机变量.,2,1, , 0, , 1MiiiXi个盒子中无球若第个盒子中有球若第则则 X=X1+X2+XM . .于是于是, ,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM).每个每个Xi i都服从两点分布，都服从两点分布，i =1,2,=1,2,M。因因每个球落入每个盒子是等可能的均为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/1/M,

22、 ,所以，所以，对第对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为内的概率为(1-1/(1-1/M) )。 故故n个球都不落入这个个球都不落入这个盒子内的概率为盒子内的概率为(1-1/(1-1/M) )n n ，即，即. )11 (1 )()()( )()( ,2,1 )11 (1)( .)11 (11 )11 (02121nMMnininiMMXEXEXEXXXEXEMiMXEMXPMXP，小结小结 本讲介绍了随机变量数学期望的概念、本讲介绍了随机变量数学期望的概念、性质及计算，给出了几种常用性质及计算，给出了几种常用随机变量的数随机变量的数学期望，介绍了求随机变

23、量函数数学期望的学期望，介绍了求随机变量函数数学期望的方法。方法。 概率论与数理统计概率论与数理统计第十二讲第十二讲主讲教师：郭念国主讲教师：郭念国河南工业大学理学院河南工业大学理学院 前面介绍了随机变量的数学期望。数前面介绍了随机变量的数学期望。数学体现了随机变量取值的平均水平，是随学体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。机变量的重要的数字特征。 但在一些场合，仅仅知道平均值是不够但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。的，还需了解其他数字特征。4.2 4.2 方差方差 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各

24、测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图：a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙较好乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。 中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征，用它来为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随

25、机变量取值偏离其中心度量随机变量取值偏离其中心(均值均值)的程度。的程度。这个数字特征就是我们要介绍的方差。这个数字特征就是我们要介绍的方差。4.2.1 方差的定义方差的定义 注注: 有的书上也将有的书上也将Var(X)记成记成 D(X)。 定义定义1: 设设 X 是一随机变量，若是一随机变量，若EX- -E(X)2 存在存在, 则称其为则称其为X 的方差，记成的方差，记成 Var(X)，即，即 Var(X)= EX- -E(X)2 ; (1)并称并称 为为X的标准差。的标准差。)(XVar 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X- -E(X)都起正的作用都起正的作用若若X 的

26、取值比较分散，则方差较大。的取值比较分散，则方差较大。若方差若方差Var(X)=0，则，则 X 以概率以概率1取取常数常数。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度期望的偏离程度 。若若X 的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；均值均值E(X)X为离散型，为离散型，PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望 。,)()(,)()(212dxxfXExpXExXVarkkk X为连续型，为连续型，f (x)为密度。为密度。计算方差的一个简化公式计算方差的

27、一个简化公式Var(X)=E(X2)- -E(X)2 . 展开展开证：证：Var(X)=EX- -E(X)2=EX2- -2X E(X)+ +E(X)2=E(X2)- -2E(X)2+E(X)2=E(X2)- -E(X)2.利用期利用期望性质望性质例例1 1：设设 X 服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为P(X=k) = p(1- - p)k-1, k=1, 2, , 其中其中 0p1, 求求 Var(X)。解：解：记记 q=1- -p，则，则11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kkqp)1(qqp,1p交换求和与交换求和与求导次序求导次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式

28、级数求和公式1122)(kkpqkXE1111) 1(kkkkkpqpqkk)()(1XEqpqkk pqqpq1)1( ,22pp. 12)()(22222pqpppXEXEXVar求求 Var( Var(X) )。 例例 2：设连续型随机变量设连续型随机变量X 的密度函数为的密度函数为:.1 ,0 ,0,1 ,0 ,2)(xxxxf.1813221 22 )()( )()()(22101022222xdxxxdxxdxxxfdxxfxXEXEXVar解：解：例例3：设设X为某加油站在一天开始时贮存的油量，为某加油站在一天开始时贮存的油量，Y 为一天中卖出的油量为一天中卖出的油量( (当然当

29、然YX) )。设。设( (X, ,Y) )具有概率密度函数具有概率密度函数这里这里1表明表明1个容积单位，求每日卖出的油量个容积单位，求每日卖出的油量Y 的期望与方差。的期望与方差。. ,0, 10 ,3),(其他xyxyxf； 0 0 ),()(dxdxyxfyfY解：解：当当 y 1 1 时时, ,当0y1时,).1(23 3 ),()(21yxdxdxyxfyfyY.1 ,0 ,0,1 ,0 ),1 (23)( 2yyyyfY所以，,51)1(23)( ,83)1(23)( 21022210dyyyYEdyyyYE. 0594.0 8351 )()()(222YEYEYVar4.2.2

30、方差的性质方差的性质 (1). 设设C是常数是常数, 则则Var(C)=0;(2). 若若C是常数，则是常数，则Var(CX)=C2 Var(X);(3). 若若X1与与X2 独立，则独立，则 Var(X1X2)= Var(X1)+Var(X2);可推广为：可推广为：若若X1, X2, , Xn相互独立，则相互独立，则； )(121niiiniiiXVarCXCVar(4). Var(X)=0 P(X= C)=1，这里，这里C=E(X)。 例例4：设随机变量设随机变量X 的期望和方差分别为的期望和方差分别为E(E(X) )和和Var(Var(X) )，且，且Var(Var(X) ) 0 0，求

31、，求的期望和方差。 )()(XVarXEXY解：解：； 0 )()()()(1 )()()(1)(XVarXEXEXVarXVarXEXXVarEYE.1 )()(1 )(1 )()()(1)(XVarXVarXXVarVarXVarXEXXVarVarYVar. )()( )()( 的标准化随机变量为称的标准化，为把称XXVarXEXYXXVarXEX4.2.3 几种常用随机变量的方差几种常用随机变量的方差 1. 1. 两点分布两点分布若若 X B(1, p)，则，则 Var(X) = p(1- -p)； 2. 2. 二项分布二项分布若若 X B(n, p)，则，则 Var(X) = n p

32、(1- -p)； 3. 3. 泊松分布泊松分布若若 X P()，则，则 Var(X) = ；,!) 1( !) 1( )1( ) 1()(02202ekkkekkkXXEXXXEXEkkkk利用前面讲过的利用前面讲过的 E(X) =，得，得而而 ,!) 1(002eekkkkkkkk, )(22XE所以，. )()()(22XEXEXVar 4. 4. 均匀分布均匀分布,3)( )()( 22222babadxabxdxxfxXEba若若 X U(a, b) ，则，则利用利用E(X)=(a+b)/2，得，得.12)()(2abXVar5.指数分布 ).0( 0 , 0 , 0 ,)(xxexf

33、x.1)()()( 1)( ,2 )()( 22220222XEXEXVarXEdxexdxxfxXEx，得利用所以，6.6.正态分布正态分布. 21/)( 21)( )()(22222)(22222dtetxtdxexXEXEXVartx若若 X N( , 2)，则，则例例5：设随机变量设随机变量X N( , 2)，计算，计算(1). P - - X + + ;(2). P - -2 X +2 ；(3). P - -3 X 0, Var(Y) 0, 则称则称)( )() ,(YVarXVarYXCovXY在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 。XY 相关系数性质相关系数性质; 1|

34、 ).1 (证：证：由方差与协方差关系，由方差与协方差关系，对任意实数对任意实数b, 有有0Var(Y- -bX)=b2Var(X)+Var(Y)- -2b Cov(X,Y ),)(),(XVarYXCovb 令令则有则有Var(Y- -bX) = )(),()(2XVarYXCovYVar)()(),(1)(2YVarXVarYXCovYVar,1)(2YVar由方差由方差Var(Y)0, 知知 1- - 2 0, 所以所以 | |1。由于当由于当 X 和和 Y 独立时，独立时，Cov(X, Y)= 0 .请看下例：请看下例：(2). X 和和Y 独立时独立时, =0，但其逆不真；，但其逆不

35、真；但但=0 并不一定能推出并不一定能推出 X 和和 Y 独立。独立。 0)()(),(；YVarXVarYXCov所以，所以，证明证明:例例 1：设设 (X,Y) 服从单位服从单位 D= (x, y): x2+y21上的均匀分布，证明：上的均匀分布，证明： XY = 0。 .),( , 0 ,),( ,/1),(DyxDyxyxf,00 /)(111111112222dydydxxdxdyxXEyyyx所以，所以，Cov(X, Y)= E(XY)- -E(X) E(Y) = 0 .同样，得同样，得 E(E(Y)=0,)=0,. 0 0 )y/()(111111112222dydyxdxydx

36、dyxXYEyyyx此外，此外，Var(X) 0, Var(Y) 0 .所以，所以， XY = 0，即即 X 与与 Y 不相关。不相关。但是，在例但是，在例3.6.23.6.2已计算过已计算过: : X与与Y不独立。不独立。存在常数存在常数a, b(b0)，使使 P Y = a+bX = 1 ，即，即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关。(3). |=1但对下述情形，独立与不相关是一回事：但对下述情形，独立与不相关是一回事：前面前面, 我们已经看到：我们已经看到： 若若X 与与Y 独立，则独立，则X 与与Y 不相关；但由不相关；但由X与与Y 不相关，不一定能推出不相关，不一定能推

37、出X与与Y独立。独立。 若若(X, Y )服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X 与与Y 独独立的充分必要条件是立的充分必要条件是X与与Y不相关。不相关。 定义定义1：设设X是随机变量是随机变量, 若若E(Xk) 存在存在(k =1, 2, ), 则称其为则称其为X 的的 k 阶原点矩；若阶原点矩；若 EX-E(X)k 存在存在(k = 1,2, ), 则称其为则称其为X的的 k 阶中心矩。阶中心矩。4.3 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵4.4.1 矩矩 易知：易知：X 的期望的期望 E(X) 是是 X 的一阶原点的一阶原点矩，方差矩，方差Var(X) 是是 X 的二阶中心矩。的二阶中心矩。

38、 定义定义2：设设X和和Y是随机变量是随机变量, 若若 E(XkYm) 存在存在(k, m=1, 2,), 则称其为则称其为X与与Y的的 k+m 阶阶混合原点矩；若混合原点矩；若 EX-E(X)k Y-E(Y)m存在存在(k, m=1,2,，则称其为，则称其为X与与Y的的 k+m 阶混合中阶混合中心矩。心矩。4.4.2 协方差矩阵协方差矩阵 将随机向量将随机向量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩)(),()(),()(,)(2222211222122111221111XEXEcXEXXEXEcXEXXEXEcXEXEc排成一个排成一个22矩阵矩阵 ，则称此矩阵为则称此矩阵为(X1, X2)的方差与协方差矩阵，的方差与协方差矩阵，简称协方差阵。简称协方差阵。22211211cccc 类似地，我们也可定义类似地，我们也可定义n 维随机向量维随机向量