(新课标人教A)数学必修一：3-2-1函数模型及其应用课件

1、3.2函数模型及其应用3. 2.1几类不同增长的函数模型【课标要求】1 .掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直 线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2 .会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.【核心扫描】1 .利用函数模型解决实际问题.（重点）2 .三种函数模型性质的比较.3 .在实际应用中选择哪种函数模型.（难点、易混点）A, KEQIANTANJIUXUEXI 挑战自我i点点落实 自学导引01课前探究学习1-三种函数模型的性质函数性质y = (a>l)y=log/(o > 1)y=(n>0)在(0, +)上的增减性图象的变化随兀增大逐渐 随X增大逐

2、渐随“值而不同2三种函数的增长速度比较(1)在区间(0, +00)上 5 函数 y=aa>l)9 y = logX«> 1)和 y =x»0)都是 增函数,但增长速度 不同，且不在同一个“档 次”上.(2)随着x的增大，产增长速度越来越快，会超过并远 远大于 %的增长速度5而y=logc/(a> 1)的增长速度一越来越慢-(3)存在一个兀0 ,当兀勿时，有劭”1。9异 .想一想：函数y=x2与y = 2工在(4, +° 0)哪一个增长得更快些?名师点睛1 .几类函数模型的增长差异对于指数函数户必。1)和幕函数y-x»O),通过探索可以发

3、现，在区间(0, +°°)上，无论”比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，展会小于但由于/的增长速度快于%”的增长速 度因此总会存在一个刊，当无次时,有#.对于对数函数股I眸和幕函数E3"在区间(0,+ ° °)上，随着 x的增大，:log“x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与兀轴平行一样， 尽管在x的一定变化范围内，log“x会大 于Z,但由于log八的增长速度慢 于岸的增长速度，因此总会存在一个兀0,当兀兀。时，有log£/xvxn.综上所述，在区间(0,+°°)上，尽管函数y=0x(a>l),y=k)g

4、aX(d>l)和歹二 兀”(0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且 不在同一个“档 次”上，随着%的增大，y=八>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大 于的增长速度，而y = log冰(a> 1)的增长速度则会越来越慢， 因此，总会存在一个兀。，当x>xo时，有logax<x <a 112 .解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解、认真审题. 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背 景中概括 出来的数学实质.在此基础上，分析出已知什么，求 什么，涉及哪些知 识.审题时要抓住题目中的关键量，善于联 想、化归，实现应用问题向数 学问题的转化.

5、第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地设自变量为兀，函数为y,并用兀表示各相关量，然后根据已知条 件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系 式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解 答，求得结果.第四步：再转译成具体问题作出解答.循循善诱触类旁通亦 KETANGJIANGLIANHUDONG 02课堂讲练互动题型次函数模型的应用【例1】某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为 25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为 了净化环境，工厂设计两套方案

6、对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：I厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方 米污水需付14元的排 污费.问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约 资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？思路探索根据题意建立两种方案的函数模型，由给出的量分 别计算比较，得出结论.规律方法读懂题意是解决数学应用题的关键所在，对于本题，选择方案一 或方案二的依据是什么？这将决定着我们所建立的数

7、学模型，要想“节 约资金”，一方面我们可以直接计算排污费用，另一方面我们也可以从 工厂获利人手，即获得较大利润【变式1】学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每个2元，铅笔每枝 0.5元.该店推出两种优惠方法；（1）买一个软皮本赠送一枝精美铅笔； （2）按总价的92%付款.某位同学需买软皮本4个，铅笔若干枝（不少 于4枝），若购买铅笔兀枝，总付款为y （角），试分别建立两种优惠办 法中y与兀之间的函数关系式.题型二指数函数模型的应用【例2】某城市现有人口总数为go万人,如果年自然增长率为1.2%,试 解答下面的问题: 写出该城市人口总数刃万人）与年份无（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城

8、市人口总数（精确到01万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到I?。万人（精确到年）.（1.012n=l.127,1.012 廿二 1.196,1.012”= 1.210）思路探索已知增长率问题，建立指数函数模型求解.解(1)1年后该城市人总数为y=100+100X1.2%=100X(l+ 1.2%).2年后该城市人口总数为100X(1+ 1.2%)+100X(l +1.2%)x 1.2% = 100X(1 + 1.2%)2.3年后该城市人口总数为尸 100 X(1 + 1.2%)2+100 X(1 + 1.2%)2 X 1.2%二 100X(1 + 1.2%)2X (1 + 1.2%

9、)二 100X(1+ 1.2%)3.兀年后该城市人口总数为100X(1 + 1.2%)© WN).(2) 10 年后人口数为 100X(1+ 1.2%)i。112.7(万).(3)设兀年后该城市人口将达到120万人，即100X(1 + 1.2%)*= 120,x=logi.oi21-20A 16(年).因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人.规律方法 指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、一银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示 为y=N （1+#（其中V为原来的基础数，为增长 率，兀为时

10、间）的 形式,另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可 转化应用.【变式2】某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%,按单利计算，5年后收回本金和利息，另一种是年利率9%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？ 5年后， 这种投资比另一种投资可多得利息多少元？（注：单利是指当年的本金转 为下一年初的本金，复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金）.解T本金为100万元，按单利计算时，年利率为10%,5年后的本利和为100(1+10%X5)=150(万元)，按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为100( 1 + 9%)5

11、= 100X 1.095 153.86(万元).由此可见,按年利率9%的复利计算投资要比年利率10%的单 利计算 更有利，5年后多得利息3.86万元.题型三对数函数的模型【例3】(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子 的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数e = 51og2营， 单位是m/s,其中0表示燕子的耗氧量-(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？审题 指导由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量 赋值，求出另外的量.规范解劄由题知，当燕子静止时，它的速度八二。,代入题 给公式可得：0=

12、51og2 等，解得 2=10.即燕子静止时的耗氧量是1。个单位.（6分）（2）将耗氧量0=80代入题给公式得：80v - 51og?询=5 log28=15 m/s.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. （12分）【题后反思】本题是属于直接以对数函数为模型的应用题，解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对 数运算性质或换底公式进行运算求解.【变式3在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度e(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量zn(kg)的关系000%-.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速I度可达12km/s?误区警示 未读懂题意，未能列出正确的函数关系式而出错【示例】某厂转换机制，两年内产值的增长率都是。则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了多少？错解设 第一年某月的产值为b则第二年相应月的产值是b(l+d)ll.所以这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了曲突破对增长率问题