正弦定理教案

1、2011年度桂林市未来数学教师教学技能大赛教学设计作品 学校：广西师范大学院系：数学科学学院课题：正弦定理作者：丘 娇正弦定理的教学设计一、教学设计理念在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，这样做有悖学生的认知规律。数学课堂不仅是知识的传授（给学生吃鱼），应该是良好学习习惯的养育，有效学习方法和策略的积淀（教会学生去捕鱼，教会学生去发现新的捕鱼方法）。因而，如何设计好每一节课，让学生知其然，知其所以然；如何基于学生学习心理认知规律，养育学生高效学习数学的习惯和方法是教师们最头痛的问题。建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观

2、点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。二、学情分析（一）学习的知识起点学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，有了一定观察分析、解决问题的能力，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工

3、具。（二）学习的经验起点学生虽然有有了一定观察分析、解决问题的能力，但定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。三、教材分析（一）教材的地位与作用“正弦定理”是普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）（人教版）第一章第一节的主要内容。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。因而，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是

4、三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。（二）重难点及突破方法教学重点：正弦定理的探索、证明及正弦定理的简单应用。突破方法：通过让学生动手操作、观察、猜想、比较、归纳、推导正弦定理等方法，准确把握正弦定理的证明过程的“来龙去脉”。运用数形结合与特殊到一般的数学研究方法以及变式练习，让学生掌握正弦定理的证明以及如何运用正弦定理进行计算，拓展与应用，达到熟练运用正弦定理。教学难点：正弦定理的探索过程及证明中涉及的思想方法。突破方法：教师恰当引导，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向

5、设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在定理证明阶段，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识脚手架，让学生展开联想，带领学生直接参与分析问题、解决问题，力求引导学生寻找合理的知识方法，体会到正弦定理的美。四、目标设计（一）知识与技能目标（1）让学生从已有的知识经验出发，通过对任意三角形的边与对角关系的探索，准确把握正弦定理的证明过程的“来龙去脉”；（2）经历运用数形结合及从特殊到一般的数学思想方法探索正弦定理的过程，掌握正弦定理的内容及证明方法；（3）初步学会运用正弦定理解决解

6、斜三角形的两类基本问题。（二）过程与方法目标（1）让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，搭建知识脚手架，让学生展开联想。（2）引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，及数形结合、由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。(3)通过举例、练习，在运用定理的过程中提高观察、分析、归纳、应用的能力，培养数学的分类讨论思想。（三）情感态度与价值观目标（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。（2）培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形

7、函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（3）在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。【设计意图】注重生长性目标，知识与技能目标明确，可随堂检验目标是否达到；过程与方法目标，搭建知识脚手架，让学生展开联想，带领学生直接参与分析问题、解决问题。从目标设计开始重视培养学生的数学智慧（即向学生渗透数形结合、特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力）渗透指引学生建构数学智慧树的长远目标。五、教法和学法分析（一）教法分析根据本课的特点、学情以及目标

8、设计，采用问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法，即在教学中，采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段设计“观察与分析”、“归纳与概括”、“应用与反思”等活动，凸显教学流程设计这条明线；同时通过新旧知识的连接点设问，搭建知识脚手架，让学生展开联想，带领学生直接参与分析问题、解决问题，注重引导学生学会学习、寻找合理的知识方法这条暗线，促进全体学生全面参与，为各类学生搭建认知发展跃进、有效和高效学习提供有效支点，促进全体学生全面参与，为各类学生搭建认知发展跃进有效和高效学习提供有效支点。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得

9、以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率（二）学法分析教学过程应该努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力；改变了定理教学中简陋的处理方式（简单直接呈现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用练习），渗透学习方法的引领，良好学习习惯的养育，数学思想方法的体悟，。“用教材教，而不是教教材”这些需要教师恰当引导，搭建知识脚手架：通过让学生参与教学过程，有意识养育学生良好的学习习惯（如阅读教材的好习惯，猜想验证、反思解题的好习惯），有意识指导学生应用有效的学习方法进行学习（如何观察与分析、归纳与概括、联想与类比等）。六、教学过程设计学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循

10、学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：创设问题情景，激发学生学习数学的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，增强学习的信心，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。问题驱动，导入新课 以直角三角形作为切入点，让学生运用特殊到一般的研究方法，结合数形结合的数学思想方法，对定理重新认识。观测特例，提出猜想以问题为导向设计教学情境，引导启发学生从最直观的几何层面、数形结合层面、向量分析层面进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，

11、在“合作”中增知，在“探究”中创新。证明猜想，得出定理通过例题讲解，让学生初步学会运用正弦定理进行简单运算，实现教学目标、实现学习效益上的一大飞跃：从“会学”到“创造学”。例题讲解，形成技能自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。故事结束，首尾呼应（一）问题驱动，导入新课【师生互动过程】教师向学生展示问题，通过让学生动脑想并解决问题的过程，引导学生积极思考问题的同时引出本节课的课题，向学生呈现知识的自然发生过程，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程。问题1：“懒羊羊的一个三角形模型坏了，只剩下如右图（1）所示的部分

12、，A=47°,B=53°，AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，喜羊羊说：“这太简单了。”你能扮演喜羊羊去帮这个忙吗？这应归纳为什么数学问题？引出：解三角形已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。【设计意图】激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。故事内容紧扣本节课的主题与重点。问题2:解三角形需要用到三角形的边角知识，同学们对三角形的边角知识知道多少呢？答：在任意三角形中有大边对大角，小边对小角问题3：，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地得到这个边、角关系准确的量化表示呢?引出课题：正弦定理【设计

13、意图】将新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。【师生互动过程】从特殊到一般的认知规律探索公式，通过观察与提问、分析与归纳、猜想与验证等活动掌握正弦定理的内容及其证明方法，使学生对知识掌握达到深知理解的水平。（二）观测特例，提出猜想问题4：我们不容易直接得到一般三角形中边和角的关系。请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？答：从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。问题5：思路非常好。在初中我们已经学过解直角三角形问题,请同学们回忆在直角三角形中, 边长和角度之间有怎样的关系？（教师课件展示图2）答：在RtABC中，

14、设BC=a,AC=b,AB=c,则有，又,则 从而在RtABC中，。（学生阐述，教师板书）【设计意图】在直角三角形中引导学生利用已有知识得出两个简洁的边角关系式, 把三角形边长与内角联系起来, 激活学生头脑中的已有知识; 然后马上提出“这种边角关系是否适用于任意三角形” 这个问题, 打破学生原有认识结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 另一方面, 从认识论的观点来看, 在已有知识基础上提出新问题, 有利于调动学生学习探究、接纳新知识的心理倾向; 以直角三角形这个特例作为切入点, 符合从特殊到一般思维的过程.（三）证明猜想，得出定理问题5：这个关系能不能推

15、广到任意三角形呢？请同学们按事先安排分组，以小组为单位进行探讨：（学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究）（图3）探讨1：在锐角三角形中，能不能像直角三角形一样直接利用边角关系求解呢?如若不能，我们应该怎样转化为直角三角形来求解呢？引出作辅助线添高探讨的证明过程（学生尝试回答，教师板书）：（1） 在锐角三角形中，如图3，作：，垂足为在中， 在中， 同理，在中， 探讨2：在钝角三角形中，我们是否也可以像锐角三角形一样通过作高来证明？请一部分小组代表上黑板展示研究的结果（学生一边展示答案，教师一边课件展示证明过程）（2）在钝角三角形中，如图4设为钝角，作交的延长线于在

16、中， 在中， （图4）同锐角三角形证明可知 【设计意图】通过作辅助线,把斜三角形转化为直角三角形,把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题,引导启发学生利用已有的知识解决新的问题. 问题6：我们可以得出怎样的结论？答：对任意三角形，我们都有：方法小结：通过作辅助线构造直角，把斜三角形转化为直角三角形。问题7：我们是否还可以用其他方法证明正弦定理？由于时间关系只探究锐角三角形，钝角三角形留给同学们课后讨论。（小组探究）探究1：观察这个式子有什么特征？答：正弦定理就是数分别与三角函数的关系比值。探究2：在前面的学习中有什么知识将数与三角函数联系呢？答：平面向量的数量积运算探究3：能否通过引入向量，归结为

17、向量运算呢？根据前面的探索方法总结，我们知道都是通过构造直角来实现的，那么我们如何既能出现直角又能出现向量呢？答：作一个垂直三角形某一条边的向量【设计意图】层层递进的四个探究，实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“向量法”，这样做有悖学生的认知规律：教师为什么取而不是，对教师说这是合乎逻辑顺理成章的事，但在整个教学关键处学生难以转过弯来，教师要想点燃学生思想火花, 突破思维瓶颈，必须在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，引导了学生从向量角度思考刚才的证明过程，为后面的教学埋下伏笔.问题8：请看图6，从向量角度来

18、看, 任何一个三角形可以看作由首尾相接的三个向量构成, 这三个向量之和等于什么?答：很容易看出其和为零向量, 问题9：如何将这个向量关系式转化成数量关系?答：(学生经过思考发现）给等式两边同时点乘非零向量, 就可以将已知的向量关系式转化成数量关系式.当向量取上的单位向量时,得到如下正弦定理的方法.（课件展示）证明：设非零向量与向量垂直 因为，所以,即 所以，同理可得因此，【设计意图】让学生从向量分析的层面重新审视前面的定理证明过程,发现其中的数学本质,拓展和深化学生思维空间,使学生感受探索创新和成功的喜悦。 (四)例题讲解，形成技能【师生互动过程】解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。引导

19、学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题，并讨论正弦定理可以解决的问题类型，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即问题10：定理结构上有什么特征，有哪些变形式？ （1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。 （2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如完善概念：一般地，把三角形的三个角、和它们的对边、叫做三角形

20、的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。【设计意图】让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性。【师生互动过程】先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的规范解题步骤。【例题讲解】例1：在中，已知，求b.分析：“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角C，再由正弦定理求其他两边。【设计意图】自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。方法小结：在三角形中，利用定理，做到知三求一【设计意图】深化学生对定理的认识和理解，学会“知三求一”。通过

21、直接套用定理促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识（五）故事结束，首尾呼应【师生互动过程】让学生动脑想、动手做，让学生作为课后作业自主完成，待下一课时请学生回答。最后我们回到故事中的问题，请同学们把它作为课后作业完成，待下一课时提问。【设计意图】把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维（六）总结归纳 加深理解【师生互动过程】以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，回顾反思学习过程，总结归纳课堂的学习方法，加强对知识的理解和掌握，养育学生建构数学智慧树的思想和方法。问题11：这节课，你学到了什么？有什么收获？学生尝试小结，教师及时补充：知识上的收获：正弦定理及其本质结构特征；技能上的收获：运用正弦定理计算：知三求一，解三角形；思想上的收获：数形结合、特殊到一般、类比转化；学法上的收获：阅读课本、归纳与概括、总结与反思。【设计意图】引导学生学会反思，归纳所学知识，总结学习方法；师生互动，检查学生的学习情况，便于形成新的教学策略，培养学生良好的学习习惯。以问题形式出现，以此培养学生的口头表达能力，