中考数学全国试题汇编二次函数中三角形面积最大值综合压轴题

1、学习好资料欢迎下载2017 中考数学全国试题汇编二次函数中三角形面积最大值综合题28（ 2017 甘肃白银）如图，已知二次函数yax2bx4 的图象与 x 轴交于点B 2,0 ，点 C 8,0 ，与 y 轴交于点 A （ 1）求二次函数 yax 2bx4 的表达式；（ 2）连接 AC, AB ，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B,C 重合），过点 N 作NM / / AC ，交 AB 于点 M ，当AMN 面积最大时，求N 点的坐标；（ 3）连接 OM ，在（ 2）的结论下，求 OM 与 AC 的数量关系解：（ 1）将点 B，点 C 的坐标分别代入 yax2bx 4 ，得： 4a2b4

2、0 ，64a8b401 分解得： a1 ， b3 42该二次函数的表达式为y1 x 23 x 4 3 分42（2）设点 N 的坐标为（ n，0）（2 n8），则 BN n2，CN8 n B（-2，0）, C（8，0）, BC=10.学习好资料欢迎下载令 x 0，解得： y4 ，点 A（ 0， 4）， OA=4，MNAC， AMNC8 n 4 分ABBC10OA=4，BC=10， SV ABC1120 5BC OA4 1022分11） 4=（）SV ABNBN OA（2n+ 22 n+ 22又 Q SVAMNAMCN8n ,SV ABNABCB10 SV AMN8 n SV ABN1 (8n)(

3、n2)1 (n 3)25 61055分当 n=3 时，即 N（3，0）时，AMN 的面积最大7分（3）当 N（ 3， 0）时， N 为 BC边中点 .1M 为 AB 边中点， OMAB.28 分 ABOB 2OA 241625，ACOC 2OA2641645， AB1 AC,29 分OM1AC10分424（2017 海南） .抛物线 yax 2bx3经过点 A 1,0和点 B 5,0。（ 1）求该抛物线所对应的函数解析式；（ 2）该抛物线与直线y3 x 3 相交于 C、 D 两点，点 P 是抛物线上的动点且5学习好资料欢迎下载位于 x 轴下方。直线 PM / / y 轴，分别与 x 轴和直线

4、CD 交与点 M 、 N 。连结 PC、PD ，如图 12-1，在点 P 运动过程中， PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结 PB ，过点 C 作 CQ PM ，垂足为点 Q ，如图12-2。是否存在点 P ，使得 CNQ 与 PBM 相似？若存在，求出满足条件的点明理由。P 的坐标；若不存在，说【分析】 （1）由 A、 B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（ 2）可设出 P 点坐标，则可表示出 M 、 N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得 C、D 的坐标，过 C、D 作 PN 的垂线，可用 t 表示出 PCD的面积，利用二次函数的性

5、质可求得其最大值；当 CNQ与 PBM 相似时有=或=两种情况，利用 P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标【解答】 解：（ 1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5 ，0），解得，该抛物线对应的函数解析式为y=x2x+3；（ 2）点 P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，学习好资料欢迎下载可设 P（ t ，t 2t+3）（ 1 t 5），直线 PM y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M 、N， M（t， 0）， N（t ， t+3）， PN= t+3（t2t+3） =（t ） 2+联立直线 CD与抛物线解析式可得，解

6、得或，C（0，3）， D（7，），分别过 C、 D 作直线 PN 的直线，垂足分别为E、F，如图 1，则 CE=t， DF=7 t，=S += PNCE PNDF= PN=（t ） +S PCDPCN S PDN+2= （ t ）2+，当 t=时， PCD的面积有最大值，最大值为；存在学习好资料欢迎下载 CQN=PMB=90°，当 CNQ与 PBM 相似时，有=或=两种情况， CQPM，垂足为 Q， Q（t， 3），且 C（0，3）， N（t， t+3）， CQ=t， NQ= t +33= t， = ， P（ t，t 2t +3）， M（t ，0）， B（5，0）， BM=5t ，P

7、M=0（t 2t+3）=t 2+t3，当=时，则 PM=BM，即t2+t 3=（5t ），解得 t=2 或 t=5（舍去），此时 P（2，）；当=时，则 BM=PM，即 5t=（t2 +t 3），解得 t=或 t=5（舍去），此时 P（，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ 2，）或（，）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、 方程思想及分类讨论思想等知识 在（ 1）中注意待定系数法的应用，在（ 2）中用 P 点坐标表示出 PCD的面积是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键 本题考查知

8、识点较多，综合性较强，难度较大224.在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线ya xhk 的伴随直线为学习好资料欢迎下载ya xh k .例如：抛物线 y2x12的伴随直线为 y2 x 1 3 ，即3y2x1.（1）在上面规定下，抛物线yx12的顶点为.伴随直线4为；抛物线 y x24与其伴随直线的交点坐标为1和；2（2）如图，顶点在第一象限的抛物线ym x14m 与其伴随直线相交于点 A, B(点 A 在点 B 的右侧 )与 x 轴交于点 C , D.若 CAB90 , 求 m 的值；如果点 P x, y 是直线 BC 上方抛物线的一个动点，PBC 的面积记为 S ，当 S 取得最大值27

9、 时，求 m 的值 .4【分析】 （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可 求得其交点坐标；（ 2）可先用 m 表示出 A、B、C、 D 的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、 AB22和 BC ，在 Rt ABC中由勾股定理可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值；由 B、 C 的坐标可求得直线 BC的解析式，过 P 作 x 轴的垂线交 BC于点 Q，则可用 x 表示出 PQ 的长，进一步表示出 PBC的面积，利用二次函数的性质可得到 m 的方程，可求得 m 的值【解答】 解：（ 1） y=（x+1） 24，学习好资料欢迎下载

10、顶点坐标为（ 1， 4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1） 4，即 y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，其交点坐标为（ 0， 3）和（ 1， 4），故答案为：（ 1， 4）； y=x3；（ 0， 3）；（ 1， 4）；（ 2）抛物线解析式为 y=m（x1）24m，其伴随直线为 y=m（x1） 4m，即 y=mx5m，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得 A（ 1， 4m）， B（2， 3m），或，在 y=m（ x1）2 4m 中，令 y=0 可解得 x=1 或 x=3， C（ 1，0）， D（3，0），222222 AC =4+16m ， AB =1+m ， B

11、C=9+9m ， CAB=90°，222222，解得 m=（抛物线开口向下， 舍去） AC +AB =BC，即 4+16m +1+m=9+9m或 m=，当 CAB=90°时， m 的值为；设直线 BC的解析式为 y=kx+b， B（ 2， 3m）， C（ 1， 0），解得，直线 BC解析式为 y= mx m，过 P 作 x 轴的垂线交 BC于点 Q，如图，学习好资料欢迎下载点 P 的横坐标为 x， P（ x，m（x 1） 24m）， Q（x， mxm）， P 是直线 BC上方抛物线上的一个动点， PQ=m（x1）2 4m+mx+m=m（x2x 2） =m （x ） 2 ，

12、S PBC×（） PQ=（） 2m，=21x当 x=时， PBC的面积有最大值m， S取得最大值时，即m=，解得 m=2【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识在（ 1）中注意伴随直线的定义的理解，在（ 2）中分别求得A、B、C、D 的坐标是解题的关键，在（2）中用x 表示出 PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中24（2017 湖北恩施）如图，已知抛物线y=ax2+c 过点（ 2， 2），（ 4，5），过定点 F（0，2）的直线 l：y=kx+2 与抛物线交于 A、B 两点，点 B 在点

13、A 的右侧，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）当点 B 在抛物线上运动时，判断线段 BF与 BC的数量关系（、 =），并证明你的判断；（ 3）P 为 y 轴上一点，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形， 设点 P（0，m），求自然数 m 的值；学习好资料欢迎下载（ 4）若 k=1，在直线 l 下方的抛物线上是否存在点 Q，使得 QBF的面积最大？若存在，求出点 Q 的坐标及 QBF的最大面积；若不存在，请说明理由【考点】 HF：二次函数综合题【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；（ 2）设 B（x， x2+1），而 F（0，2），利用两点间的距

14、离公式得到BF2=x2+（x2+1 2）2，再利用配方法可得到22BF=x+1，由于 BC=x+1，所以 BF=BC；=（ 3）如图 1，利用菱形的性质得到 CB=CF=PF，加上 CB=FB，则可判断 BCF为等边三角形，所以 BCF=60°，则 OCF=30°，于是可计算出 CF=4，所以 PF=CF=4，从而得到自然数 m 的值为 6；（ 4）作 QEy 轴交 AB 于 E，如图 2，先解方程组得 B（1，3+），设Q+（ t，t2 1），则 E（t ，t 2），则 EQ=t2 t 1，则 SSEQB= ?（1+ +QBF=S EQF+）?EQ= ?（1+）?）（t2

15、+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题【解答】解：（1）把点（ 2，2），（ 4，5）代入 y=ax2+c 得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（ 2） BF=BC理由如下：设 B（x， x2+1），而 F（0，2）， BF2=x2+（ x2+12） 2=x2+（ x21）2=（ x2+1） 2， BF= x2+1， BCx 轴，学习好资料欢迎下载 BC= x2+1， BF=BC；（ 3）如图 1，m 为自然数，则点 P 在 F 点上方，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形， CB=CF=PF，而 CB=FB， BC=CF=BF， BCF为等边三角形， BCF=60°，

16、 OCF=30°，在 RtOCF中， CF=2OF=4， PF=CF=4， P（ 0， 6），即自然数 m 的值为 6；（ 4）作 QEy 轴交 AB 于 E，如图 2，当 k=1 时，一 次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则 B（1+，3+），设 Q（t ， t2+1），则 E（t ，t+2）， EQ=t+2（ t 2+1）= t2+t+1， S QBF EQF+S EQB（）（）（t2+t+1）=（ t=S=? 1+?EQ= ? 1+ 2）2+ +1，当 t=2 时， S QBF有最大值，最大值为+1，此时 Q 点坐标为（ 2，2）学习好资料欢迎下载25（2017 山东东营

17、）如图，直线 y=x+分别与 x 轴、 y 轴交于 B、C 两点，点A 在 x 轴上， ACB=90°，抛物线y=ax2 bx经过 A，B 两点+（ 1）求 A、B 两点的坐标；（ 2）求抛物线的解析式；（ 3）点 M 是直线 BC上方抛物线上的一点，过点M 作 MHBC于点 H，作 MD y 轴交 BC于点 D，求 DMH 周长的最大值【分析】 （1）由直线解析式可求得 B、C 坐标，在 RtBOC中由三角函数定义可求得 OCB=60°，则在 RtAOC中可得 ACO=30°，利用三角函数的定义可求得 OA，则可求得 A 点坐标；（ 2）由 A、B 两点坐标，利

18、用待定系数法可求得抛物线解析式；（ 3）由平行线的性质 可知 MDH= BCO=60°，在 RtDMH 中利用三角函数的定义可得到 DH、MH 与 DM 的关系，可设出 M 点的坐标，则可表示出 DM 的长，从而可表示出 DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值【解答】 解：（ 1）直线 y=x+分别与 x 轴、 y 轴交于 B、C 两点， B（ 3， 0）， C（0， ）， OB=3， OC= ，学习好资料欢迎下载 tan BCO= = ， BCO=60°， ACB=90°， ACO=30°，=tan30°=，即=，解得 AO=1，

19、A（ 1，0）；（ 2）抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点，解得，抛物线解析式为y=x2+x+；（ 3） MDy 轴， MHBC， MDH= BCO=60°，则 DMH=30°， DH= DM，MH= DM，DMH 的周长=DM DH MH=DM+DM+DM=DM，+当 DM 有最大值时，其周长有最大值，点 M 是直线 BC上方抛物线上的一点，可设 M （t，t 2+t +），则 D（t ，t +）， DM=t2+t+），则 D（t ，t+）， DM=2t+（t+）=2+t=（ t 2，t +t） + 当 t=时， DM 有最大值，最大值为，此时DM=×

20、;=，即 DMH 周长的最大值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次学习好资料欢迎下载函数的性质、方程思想等知识在（ 1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（ 2）中注意待定系数法的应用，在（ 3）中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中25（ 2017 山东聊城）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（ 0，6），与 x 轴交于点 B（6，0），点 P 是线段 AB上方抛物线上的一个动点（ 1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（ 2）当点 P 移动到抛物线的什么位 置时，使得 PAB=

21、75°，求出此时点 P 的坐标；（ 3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P的横坐标以每秒1 个单位长度的速度变动，与此同时点M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止，当两个移点移动t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S关于 t 的函数表达式，并求t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？【考点】 HF：二次函数综合题【分析】 （1）由 A、 B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（ 2）过 P 作 PCy 轴于点 C，由条件可求得 PAC=60&

22、#176;，可设 AC=m，在 RtPAC中，可表示出 PC的长，从而可用 m 表示出 P 点坐标，代入抛物线解析式可求得m 的值，即可求得P 点坐标；（ 3）用 t 可表示出 P、 M 的坐标，过 P 作 PEx 轴于点 E，交 AB 于点 F，则可表示出 F 的坐标，从而可用 t 表示出 PF 的长，从而可表示出 PAB的面积，利用 S 四边形 PAMB=S PAB+SAMB，可得到 S 关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值学习好资料欢迎下载【解答】 解：（ 1）根据题意， 把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，抛物线的表达式为y=x2+2x+6， y=

23、 x2+2x+6= （x2）2+8，抛物线的顶点坐标为（ 2， 8）；（ 2）如图 1，过 P 作 PCy 轴于点 C， OA=OB=6， OAB=45°，当 PAB=75°时， PAC=60°， tan PAC= ，即 = ，设 AC=m，则 PC= m， P（ m， 6+m），把 P 点坐标代入抛物线表达式可得6+m=（m）2+2m+6，解得 m=0 或m=，经检验， P（ 0， 6）与点 A 重合，不合题意，舍去，所求的 P 点坐标为（ 4，+）；学习好资料欢迎下载（ 3）当两个支点移动t 秒时，则 P（t ，t 2+2t+6）， M （0，6t ），如图

24、2，作 PE x 轴于点 E，交 AB 于点 F，则 EF=EB=6t ， F（ t，6t ）， FP= t2 +2t+6（ 6t ）=t 2+3t，点 A 到 PE的距离竽 OE，点 B 到 PE的距离等于 BE， S PABFP?OE+（）FP?OB=×（t2+3t）× 6=FP?BE= FP?OE+BE =t2+9t，且 SAMBAM?OB=××，=t6=3t S=S四边形 PAMB=S PAB+SAMB= t 2+12t= （t 4） 2+24，当 t=4 时， S 有最大值，最大值为 2424（ 2017 山东滨州）如图，直线 y kxb（k、

25、b 为常数）分别与 x 轴、 y 轴交于点 A(4，0)、B(0，3)，抛物线 y x2 2x1 与 y 轴交于点 C学习好资料欢迎下载（ 1）求直线 y kxb 的解析式；（ 2）若点 P(x， y)是抛物线 y x2 2x1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标；（ 3）若点 E 在抛物线 y x22x 1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CEEF的最小值，Ay=kx+bCBOyP(x 2y)·x +2x+1思路分析：（ 1）将 A、B 两点坐标代入 ykxb 中，求出 k、b 的

26、值；（ 2）作出点 P 到直线 AB 的距离后，由于 AHC90°，考虑构造“ K 形”相似，得到 MAH、 OBA、 NHP三个三角形两两相似，三边之比都是 34 5由“ NHCNCH ”可得 xm(3m 3) ( x22x 1)d ，整理可得 d 关于 x 的二4434535次函数，配方可求出 d 的最小值；MH OB CNxP(x1，2y)Ay=kx+bC yFE x +2x+1C·（ 3）如果点 C 关于直线 x1 的对称点 C，根据对称性可知， CECE当 CFAB 时， CEEF最小解：（ 1） ykxb 经过 A(4，0)、 B(0， 3),4k b0 ，解得

27、 k 3， b 3b34 y 3 x34（ 2）过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 x 轴的平行线 MN，分别过点 A、P 作学习好资料欢迎下载MN 的垂线段，垂足分别为M 、NMAy=kx+bH OCB yNP(x，x2y)+2x+1·设 H(m， 3 m3)，则 M(4， 3 m3)，N(x， 3 m 3)，P(x， x22x1)444 PHAB， CHN AHM 90°， AM MN， MAH AHM 90° MAH CHN， AMH CNH90°， AMH HNP MA y 轴， MAH OBA OBA NHP NHCNCH 345x m( 3 m 3)(x22 x 1)d4345整理得： d4 x2x8 5，即 P(5，119)55，所以当 x8648（ 3）作点 C 关于直线 x1 的对称点 C，过点 C作 CFAB 于 F过点 F 作