3.4基本不等式第一课时ppt课件

1、（第一课时）1;.2 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。客。3思考：这会标中含有怎样的几何思考：这会标中含有怎样的几何图形？图形？思考：你能否在这个图案中找出一思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？些相等关系或不等关系？4ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S =

2、=ab2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：S S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？56ADBCEFGHba22ab： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab7思考：你能给出不等式思考：你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法） 2)(ba8结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总

3、有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和不小于它们积的两数的平方和不小于它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围：a,bR0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？90,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？102abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证

4、要证，只要证2(_)0显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba11特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的的， 叫做正数叫做正数a，b的的；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个两

5、个数的数的算术平均数算术平均数它们的它们的几何平均数几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b012你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab13你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出

6、基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab14重要不等式基本不等式（均值不等式）适用范围文字叙述“=”成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的两个正数的算术平

7、均数不小于它们的几何平均数几何平均数两数的平方和不小于它们两数的平方和不小于它们积的积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式15 例例1：(1)如图如图,用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m. 2xyxy2 10020,xy 2()40 xy当且仅当当且仅当 时，时，等

8、号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. xy此时此时x=y=10. x=yABDC1001010 xyxxyy解，可得若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，x+y有最小值有最小值_.2 P22xyxyP16例例1：(2)如图，用一段长为如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积

9、是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m22xyxy得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m21892即即x=y=9xyABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时，时，xy有最大值有最大值_；214S21422xySxyxyS 17各项皆为正数；各项皆为正数；和或积为定值；和或积

10、为定值；注意等号成立的条件注意等号成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).14“和定积最大，积定和最小”18变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最

11、大面积是多少？的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得19变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩

12、形的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m22xyxyxyABDCx + y不是不是 定值定值.2=24为为 222xyxy得得 2xy 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m224122即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x

13、=2y2241226xyxxyy解，可得20变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=x ，BC=242x ， x242xABDC21变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：

14、设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m21(242 )2 (242 )2xxxx212242()7222xx当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)AB242xDC22变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积

15、是多少？的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m2(242 )yxx令因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72222422(6)72yxxx 则(012)x23例：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为例：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为，深为3m。如果池底每。如果池底每平方米的造价为平方米的造价为150元，池壁每

16、平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？最低总造价是多少？3mxy分析：水池呈长方体形，它的高是分析：水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。么值时水池总造价最低。24元。水池总造价为，宽为解：设底面的长为zymxm,根据题意，得)3232(12034800150yxz)(720240000yx，可得由容积

17、为34800m160048003xyxy因此，由基本不等式与不等式的性质，可得由基本不等式与不等式的性质，可得xyyx2720240000)(7202400003mxy25即即时，等式成立，即当4029760016002720240000yxyxzz所以，将水池的地面设计成边长为所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。元。26巩固练习：巩固练习：1、做一个体积为、做一个体积为32m3，高为，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？2、如图，有一张单栏的竖向

18、张贴的海报，它的印刷面积为、如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2（图中阴影部分），上、下空白各宽（图中阴影部分），上、下空白各宽2dm，左右空白，左右空白各宽各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是，则四周空白部分面积的最小值是_dm2.1dm2dmmyx45627221R,2( ) ,a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时, ,等等号号成成立立(2)( 0, 0)2abababab，当且仅当时，等号成立。小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取