现代控制理论

1、现代控制理论期中作业 单倒置摆控制系统的状态空间设计学院：电气工程学院班级：2009级自动化一班姓名：朱楠学号：P091813211指导教师：刁晨目录1. 单倒置摆控制系统.11.1 题目分析.11.2 倒置摆的状态空间方程.11.3 对被控对象的分析.31.4 单倒置摆系统的综合.31.5 全维状态观测器设计.42. 直线一级倒立摆.52.1 直线一级倒立摆建模.52.2 系统特性分析.102.3 系统建模.103. 设计总结.134. 参考文献.141.1 题目分析单倒置摆系统的原理图，如图1所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向

2、对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。Mumlz1.2 倒置摆的状态空间方程为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为，则摆心瞬时位置为(z+lsin)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有 即 (1)由于绕摆轴旋转运动的

3、惯性力矩与重力矩平衡，因而有 即 (2)式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为、均接近零，此时sin，cos1，且可忽略项，于是有 (3)(4)联立求解式(3) 、式(4)，可得 (5) (6)消去中间变量，可得输入变量为u、输出变量为z的系统微分方程为 (7)选取小车的位移z及其速度、摆角的位置及其角速度作为状态变量，z为输出变量，并考虑恒等式，及式(5)、式(6)，可列出系统的状态空间表达式为(8a)(8b)式中假定系统参数M = 1kg，m=0.1kg，l = 1m，g = 9.81m/s2，则状态方程

4、中参数矩阵为，(9)1.3 对被控对象的分析作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原位直立位置？这须首先进行能控性的分析。(1) 能控性分析根据能控性的秩判据，并把式(9)的相关数值代入该判据，可得(10)因此，单倒置摆的运动状态是可控的。这意味着总存在一控制作用u，将非零状态x转移到零。(2) 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程(11)解得特征值为0，0， 。4个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，须对被控系统进行反馈综合，使4个特征值全部位于根平面s左半边的适当位置，以满足系统稳定工作并达到良好动、静态性

5、能的要求。1.4 单倒置摆系统的综合采用全状态反馈。取状态变量z、为反馈信号，状态反馈控制规律为(12)设式中k0k3分别为z、反馈至的增益。则闭环控制系统的状态方程为（13）其特征多项式为（14）采用极点配置的综合方法。设希望闭环极点位置为-1，-2，-1±j,则闭环控制系统的期望特征多项式为（15）令式（14）、式（15）右边同次项的系数相等，可求得k0=-0.4，k1=-1，k2=-21.4，k3=-6状态反馈系统的结构如图2所示。全状态反馈为稳定闭环系统，当参考输入零时状态向量在初始扰动下的响应将渐近的衰减到零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置，即=0，z=0。如果不把4个

6、状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定，例如令k0k3的任何一个系数为零时，式（14）所示多项式或是缺项，或是系数值小于零，由稳定的代数判据可以看出，不满足系统稳定的必要条件。1.5 全维状态观测器设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、的信息。因此需要设置测量z、的4个传感器。正如第五章第四节所指出的，往往在一实际工程系统中并不是所有的状态信息都能检测到，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成实际上难于获取信号，从而状态反馈在实际中难于实现，甚至不可能实现。在这种情况下可设计全维观测器，解决全状态反馈实现问题。状态观测器设计钱，先要对被控

7、对象的状态作能观测性的判定。由能观测秩判据，并把式（9）的有关数值代入该判据，得（16）故被控系统的4个状态均是可观测的。这意味着，其状态可由一全维（四维）状态观测器给出估值。由第五章全维状态观测器的动态方程为（17）式中全维状态观测器以G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。全维状态观测器的特征多项式为 （18）设状态观测器的希望闭环极点为-2，-3，-2±j1（比状态反馈系统的希望闭环极点离虚轴较远），则期望特征多项式为（19）令式（18）与式（19）同同次项的系数相等，可求得，用全维状态观测器实现状态反馈的结构图如图3所示。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状

8、态变量估值误差至少以规律衰减。2.1 直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的

9、匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模

10、块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°(3

11、)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。为此,设调整时间小2 s,峰值时间小于0.5 s.对小车进行受力分析上图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车和摆杆的相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量的正方向。其中：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数L 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑带摆杆初始位置为竖直向下）u 输入,即施加在小车上的外力;y 输出.分析小车水平方向所受合力

12、，可以得到方程： （式1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： = （式2、式3）将式3代入式1可得系统第一个运动方程：（式4）为了推出系统第二个运动方程，对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程：= （式5 式6）力矩平衡方程如下： （式7）式中：合并式6、式7得第二个运动方程： （式8）设q = p +f （f 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设f 与 1（单位是弧度）相比很小，即f <<1，则可以进行近似处理：用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下： （式9）对式(3-9)进行拉普拉斯变换（推导传递函数时假设初始条件为 0。）： （式10）整理

13、后得到传递函数： （式11）其中：设系统状态空间方程为： （式12）参考相关资料得出系统实际模型参数如下：M为小车质量1.096KgM为摆杆质量0.109KgBe为小车摩擦系数0.1N/m/sL为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度0.25mI为摆杆转动惯量0.0034Kg*m*m代入相关数据得到：A=B=C=D= 将数据输入matlab进行建模a=0 1 0 0;0 -0.08831 0.6293 0;0 0 0 1;0 -0.236 27.67 0b=0;0.865;0;2.357c=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1d=0;0;0;0num,den=ss2tf(a,b

14、,c,d)num = 0 -0.0000 0.8650 -0.0000 -22.4513 0 0.8650 -0.0000 -22.4513 0 0 -0.0000 2.3570 0.0040 0 0 2.3570 0.0040 -0.0000 0den = 1.0000 0.0883 -27.6700 -2.2947 02.2 系统特性分析首先利用matlab进行仿真>> step(num,den)利用传递函数得到如下响应曲线:系统响应曲线是发散的z,p,k=tf2zp(num,den)得：p = 0 5.2576 -5.2630 -0.0829系统极点有一个在右半平面，系统不稳

15、定利用matlab命令uc=ctrb(a,b)； r=rank(uc)来判断系统能控性结果如下：2.3 系统建模利用配置极点法对系统进行校正性能指标1取超调量=20%，调整时间=2秒根据书上相关公式得：=0.456 =4.39之后求出系统的主导极点；利用公式=计算出主导极点=-2 ±3.9j再取两个实极点=-10，=-10接着利用matlab求取状态反馈矩阵K：K=acker(a,b,p)K = -85.5630 -35.0084 127.6198 22.9928利用simulink进行仿真设计：性能指标2取超调量=10%，调整时间=1.5秒根据书上相关公式得：=0.59 =4.5之

16、后求出系统的主导极点=- 2.655 ±3.63 j 再取两个实极点=-15，=-15接着利用matlab求取状态反馈矩阵K：K=acker(a,b,p)K =-202.6981 -80.2979 257.6800 44.4121仿真设计性能指标3取超调量=15%，调整时间=2秒根据书上相关公式得：=0.52 =3.869之后求出系统的主导极点=- 2±3.3 j 再取两个实极点=-10，=-10接着利用matlab求取状态反馈矩阵K：K=acker(a,b,p)K =-66.3214 -31.1617 118.7278 21.5810实验分析：性能指标1设定在超调量=20

17、%，调整时间t=2秒时，系统响应超调量在7%，调整时间在2秒左右。当性能指标2设定在超调量=10%，调整时间t=1.5秒时，实际超调量在4%，调整时间在1.5秒。性能指标3设定在超调量=15%调整时间t=2s时，实际超调量为9%,调整时间1.5s左右。从特征根的选取上来看，一般将特征根配置在原点的左边，而且离原点越远响应时间越短，但相应的反馈控制矩阵的控制力度也越大从以下数据可见一斑K1 =-85.5630 -35.0084 127.6198 22.9928；K2= -202.6981 -80.2979 257.6800 44.4121；第三组与第一组相比超调量稍微增加，而调整时间不变。3 设计总结 学习MATLAB已经一学期了，matlab是一种非常方便的仿真工具，在矩阵计算上有很大的优势，在本次的实验过程中，通过matlab只有短短的几条语句就能将系统的反馈矩阵