北师大版八年级上第一章勾股定理导学案

1、1.1 探索勾股定理学习目标、重点、难点【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系【重点难点】1、了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题2、勾股定理的发现知识概览图直角三角形勾股定理勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2变式a2=c2-b2b2 =c2-a2新课导引【问题链接】如右图所示的是正方形瓷砖拼成的地面的示意图，观察图中阴影部分，很显然，两个小正方形 P，Q 的面积之和等于大正方形R 的面积，即AC2+BC2AB2，这说明在等腰直

2、角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方在一般直角三角形中，两条直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?【点拨】 对于任意的直角三角形， 两条直角边的平方和等于斜边的平方这就是本节要学习的教材精华知识点 1勾股定理如图 1-l 所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系：C 的面积 B 的面积 +A 的面积现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2

3、 c2拓展(1) 由勾股定理的基本关系式a2+b2 c2 还可得到一些变形关系式，如：a2 c2-b2 (c+b)(c-b)， b2 c2-a2(c+a)(c-a)等(2)在方格中，利用数格子计算面积的方法判断：在钝角三角形中，三边长分别为a，b,c，c为最大边长，则a2+b2c2；在锐角三角形中，三边长分别为a,b,c，则 a2+b2c2 知识点 2勾股定理的证明如图 1-2所示，将四个全等的直角三角形拼成正方形(1)如图l-2(1) 所示， S正方形 ABCD(a+b)2c2×1，所以2 2c2+42aba +b(2)如图l-2(2) 所示， S正方形 EFGHc2 (a-b)2

4、+4× 1，所以c2a2 22ab+b如图 1-3所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯（ ab）(a b)2×11 22 22形 S 梯形 ABCD 2ab+c ，所以 a +b c 22规律方法小结(1)数形结合思想：把问题中有关数的关系转化为图形的关系来解决(2)方程思想：列方程解决问题(3)割补方法：由图形的分割或补充，寻找题目中条件与结论的联系，进一步得出结论，课堂检测基础知识应用题1、在 ABC 中， C90°(1)若 a8，b 6，求 c；(2)若 c 41，b40，求 a2、如图 1-4 所示，某人欲横渡一条河，由于水流影响，实

5、际上到达的地点C 偏离欲到达地点B24 m，结果他在水中实际游了40 m，求该河流的宽度综合应用题3、有一根 70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30cm，40cm 的木箱中，能放进去吗 ?4、如图 1-9 所示， A，B 两点都与平面镜相距 4 米，即 ACBD4 米，且 A， B 两点相距 6 米，即 AB 6 米，一束光由 A 点射向平面镜， 反射之后恰好经过 B 点，求 B 点与入射点的距离5、如图1-10 所示，在高为3 米，斜坡长为5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米毯需花多少元 ?若楼梯宽2 米，每平方米地毯需30 元，那么买这块地探索创新题6、在

6、 ABC 中， BC=a,AC=b,AB=c，若 C=90°，如图1-12（1）所示，根据勾股定理，得a2+b2=c2；若 ABC 不是直角三角形，如图1-12（2）(3)所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与 c2 大小关系，并说明你的结论体验中考1、已知直角三角形两边长为3 和4，则第三边长为2、如图 l-13 所示，等腰三角形ABC 中，ABAC，AD 是底边上的高线，若AB5 cm，BC6 cm，则 ADcm学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查勾股定理及其变式的简单应用解：在 ABC 中， C90°， a2+b2c2(1) a2+b2c2

7、，c2 a2+b282+6264+36100， c10(2) a2+b2c2，a2 c2-b2 412-402(41+40)(41-40)81，a9，规律方法已知直角三角形的两边长， 求第三边长，关键是弄清已知什么边长， 求什么边长，用平方和还是用平方差若用平方差，则注意运用平方差公式，使计算简便2、解：如图 1-4 所示， ABC 90°，由勾股定理，得AB2AC2-BC2，即 AB2 402-2421024， AB32，该河流的宽度为32 m3、分析由于木棒长为 70 cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以

8、利用空间的最大长度解：能放进去理由如下：如图 l-6 所示，连接 A1C1，AC1，在 RtA1BlCl 中，A1C12A1Bl2+B1C12 502+3023400在 RtAA1C1 中，ACl 2AAl2+AlC12 402+34005000，5000702 ， AC1 70(cm)70cm 长的木棒能放入这个木箱中【解题策略】解决此题的关键在于明确ACl 的长即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力4、分析解决此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解解：作出

9、 B 点关于 CD 的对称点 B，连接 AB，交 CD 于 O 点，则 O 点就是光的入射点，连接OBACBD， ACO BDO 90°， AOC BOD， AOC BOD， OCOD 1 AB3 米2在 RtODB 中， OD2+BD2OB2， OB232+42 25， OB 5(米)即 B 点与入射点的距离是 5 米【解题策略】 勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用5、分析 从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC 的长，竖直方向的长度和为BC 的长，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出 AC 的长

10、，再求 AC+BC 即可解：在 Rt ABC 中， AC2+BC2AB2，AC2 AB2-BC252 -3216， AC4(米)地毯长度为 AC+BC4+3 7(米)，地毯的总面积为7× 214(平方米 )，需花 30×14420(元 )6、解：若 ABC 是锐角三角形，则有a2 +b2c2；若 ABC 为钝角三角形 (C 为钝角 )，则有a2+b2c2理由如下：(1)当 ABC 是锐角三角形时，过点A 作 ADCB，垂足为 D，设 CDx，则有 DBa-x.根据勾股定理，得b2-x2c2-(a-x)2，即 b2 -x2 c2 -a2+2ax-x2,a2+b2c2+2axd

11、0，xO， 2ax 0 a2+b2c2(2)当 ABC 是钝角三角形时 ( C 为钝角 )，过点 B 作 BDAC，交 AC 的延长线于点D设CDx，则 BD2a2-x2根据勾股定理，得 (b+x)2+a2-x2=c2，即 b2+2bx+x2 +a2-x2 c2，a2+b2+2bxc2b0,x0,2bx0 a2 +b2c2【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列方程，休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想体验中考1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长，显然要用勾股定理， 不过第三边不一定是斜边，所以要分情况讨论 当第三边为斜边时， 32+4252，第三边长为

12、5；当 4 为斜边长时， 42-327，所以第三边长为7.故填 5或 7.2、分析在 ABC 中， AB AC，ADBC， BD 1BC 1× 6 3(cm)在 RtABD 中，22AD2 AB2 -BD2 52 -3216， AD4(cm)故填 4规律·方法 解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形，然后利用勾股定理求解1.2 能得到直角三角形吗学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用2、进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型3、会通过边长判断一个三角形是否是直角

13、三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论【重点难点】1、探索并掌握直角三角形的判别条件2、运用直角三角形判别条件解题知识概览图勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数称为勾股数新课导引【问题链接】 小明的爸爸为了画直角三角形，找来了长度分别为 12 cm， 40 cm 的两条线，采用固定三边的方法， 画出了两个图形， 如下图所示， 小明的爸爸所画的两个三角形是直角三角形吗?怎样判定一个三角形是直角三角形呢 ?点拨它们都是直角三角形判定方法就是本节要学习的内容了教材精华知识点 1勾股定理的逆定理如

14、果三角形的三边长a,b,c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形拓展（1）勾股定理与其逆定理的关系：勾股定理是已知直角三角形，得到三边长的关系，它是直角三角形的重要性质之一； 而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形， 这是直角三角形的判定， 也是判断两直线垂直的方法之一， 二者的条件和结论刚好相反(2)勾股定理的逆定理的延伸：如果三角形三边长， ，满足2 2c2，那么这个三角形是a b ca +b直角三角形；如果 a2+b2c2，那么这个三角形是钝角三角形；如果a2+b2c2，那么这个三角形是锐角三角形(3)勾股定理的逆定理的应用：应用勾股定理的逆定

15、理可以判断一个三角形是不是直角三角形在实际应用时，可用较小两边长的平方和与较长边长的平方作比较(数较大时，运用平方差公式计算较为简便 )，若它们正好相等，则三角形为直角三角形，且较长边所对的角为直角知识点 2勾股数满足 a2+b2c2 的三个正整数，称为勾股数拓展(1)对于任意两个正整数m， n(mn0)，m2+n2，m2-n2 和 2mn 这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组(2)常见的勾股数组有： 3，4，5； 6， 8，10； 8，15，17； 7，24，25； 5，12，13；9,2，15。应熟记(3)3，4，5 既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为凡是三个连续

16、整数都是勾股数(4)每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数课堂检测基础知识应用题1、判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形若是，请指出哪个角是直角(1)在 ABC 中， AC12，AB20，BC16；(2)在 ABC 中， AC3，BC4，AB6；(3)一个三角形三边长a，b，c 满足 a2-b2 c22、若 ABC 的三边长 a，b，c 满足条件 a2+b2+c2 +200 12a+16b+20c，试判断 ABC 的形状综合应用题3、如图 1-24 所示，在四边形 ABCD 中， AB3，BC4，CD12，AD13， B90°，求四边形 ABCD 的面积4、如图 1-25 所示，在正

17、方形ABCD 中， E 是 BC 边的中点， F 在 AB 上，且 BF 1 AB4(1)请你判断 EF 与 DE 的位置关系，并说明理由；(2)若此正方形的面积为16，求 DF 的长 .5、甲、乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行16 海里，乙船每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里，如果知道甲船沿东北方向航行，你能知道乙船沿哪个方向航行吗?探索创新题6、古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数， a2m，bm2-1，c m2+1，那么 a，b，c 为勾股数，你认为对吗 ?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗 ?体验中考1

18、、如图 1-27 所示，把矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A 落在点 A处(1)试说明 B E BF；(2)设 AEa， AB b， BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并说明理由。2、已知 ABC 中， AB17， AC 10，BC 边上的高 AD8，则边 BC 的长为()A21B15C6D以上答案都不对学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：(1)因为 AC2+BC2122+162 400，AB2 400，所以 AC2+BC2AB2，所以 ABC 是直角三角形， AB 边所对的 C 是直角(2)因为 AC2+BC232+42

19、 25，AB2 36，所以 AC2+BC2 AB2，所以 ABC 不是直角三角形(3)因为 a2-b2c2，所以 a2 b2+c2，所以这个三角形是直角三角形，且长为a 的边所对的角是直角【解题策略】因为题目中所给条件是与三角形的边长有关的，所以可利用勾股定理的逆定理进行判断注意要计算两条较小边长的平方和是否等于较长边长的平方2、分析由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出 a， b， c 的关系，从而判断三角形的形状解：由已知得 a2+b2+c2-12a-16b 20c+200 0， (a2-12d+36)+(b2 -16b+64)+(c2-20c+1

20、00) 0， (a-6)2+(b-8)2 +(c-10)2 0 (a-6)20，(b-8)2 0， (c-10)2 0，a-60，b-80，c-10 0， a6，b8，c 10，a2+b262+82 36+64100102 c2， ABC 是直角三角形【解题策略】在此类题中，要判断的三角形一般都是特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形解这类题时，要善于把已知的条件等式变形(配方或因式分解等 )，另外注意全面考虑问题3、分析 由 AB3，BC4，B90°，想到连接 AC，则 RtABC 的面积可求，且可求出 AC 的长在 ACD 中，三边长已知，利用勾股定理

21、的逆定理判断可知其是直角三角形， 面积可求解：连接 AC B90°， AB3，BC4，AC2 AB2+BC2 25， AC 5在 ACD 中， AC2+CD252+12225+144 169，而 AD2132169， AC2+CD2AD2， ACD 是直角三角形，且 ACD 90° SABC 1 ×3×46，SACD 1 ×5×1230，22四边形ABCD的面积为 ACD36SABC+S【解题策略】本题综合运用了勾股定理及其逆定理将不规则图形转化为规则图形是常用的解题方法在这里， 一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意：如果一个三角

22、形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是不是直角三角形4 、分析 平面内不重合的两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和 DE 都过 E 点，说明它们相交，若只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况垂直，从图中观察EF 与 DE 是垂直的，设正方形边长为 a，利用勾股定理，用含 a 的代数式分别表示 DE2，EF2，DF2，再利用勾股定理的逆定理判定 DFE 为直角三角形，由此得到 DEEF.解： (1)EFDE.理由如下：设正方形边长为a，则 ADDC a， AF 3 a， BF 1 a，BEEC 1 a442在 RtDAF 中， DF 2 AD2+AF2a

23、2+( 3 a)2 a2+ 9 a2 25 a241616在 RtCDE 中， DE2 CD2+CE2a2+( 1 a)2a2+ 1 a2 5 a2244在 RtEFB 中， EF2 FB2+BE2 ( 1 a)2+( 1 a)2 1 a2+ 1 a2 5 a24216416DE2+EF2 5 a2+ 5 a2 25 a2DF 2，41616 DFE 为直角三角形， DEF 90°， EF DE(2)正方形的面积为16，a216DF 2 25 a2 25 ×1625， DF 51616【解题策略】此题考查的是勾股定理与其逆定理的综合运用，也可以用相似三角形的知识去解5、分析

24、根据题意画出图1-26，由于甲船的航向已知，若能求出两船航向所成的角，就能知道乙船的航向了解：如图 1-26 所示， PQ16× 1.5 24(海里 )， PR 12×1.5 18(海里 )， QR30(海里 )222222因为 24 +18 30 ，即 PQ +PR QR ，又因为 QPS 45°，所以 RPS45°，即乙船沿西北方向航行同理，乙船也可能沿东南方向航行所以乙船沿西北或东南方向航行【解题策略】由勾股定理的逆定理，我们得到了QPR 的度数，从而求得了乙船的航向6、分析显然 c 最大，只要验证 a2+b2c2 是否成立即可解：对，理由如下：当

25、 m 1 且 m 为整数时， c-am2+1-2m (m-1)2 0，则 c a，又 c-b(m2+1)-(m2-1)20，则 cb，从而得知 c 最大a2 +b2(2m)2+(m2-1)2 4m2+m4-2m2+1m4+2m2+1(m2 +1)2c2，即 a2+b2c2又由题意知 a，b， c 均为正整数，所以 a， b， c 为勾股数当 m 2 时， a4，b3，c5；当 m 3 时， a6，b8，c10；当 m4 时， a=8，b15，c17；体验中考1、解：(1)由题意得 B F=BF， BFE BFE，在矩形 ABCD 中， ADBC， BEF BFE， BFE= BEF，BFBE

26、BEBF(2) a，b，c 三者存在的一种关系是 a2+b2c2理由如下：连接 BE，则 BE=B E，由 (1)知 BEBF=c，由已知 AE2+AB2 BE2 AE a， ABb， a2+b2c2【解题策略】a，b，c 三者之间的关系不唯一，还可以是：a，b，c 三者存在的一种关系是a+b c理由如下： 连接 BE，则 BE BE，由(1)知 BEBFc, BEc，在 ABE 中，AE+ABBE， a+bc2、分析 此题分两种情况 ABC 为钝角三角形当 BAC 为钝角时，可利用勾股定理求出BD15，CD6，所以 BC BD+CD21当 ACB 为钝角时， D 在 BC 的延长线上，可利用

27、勾股定理求出 BD 15，CD 6，所以 BCBD-CD 9故选 D1.3 蚂蚁怎样走最近学习目标、重点、难点【学习目标】1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理 )解决简单的实际问题2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念3、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想【重点难点】1、探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题2、利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题知识概览图三边关系一勾股定理验证直角三角形应用直角三角形的判定一勾股定理的逆定理一应用新课导

28、引【问题链接】如右图所示，一架25 米长的云梯AB 斜靠在一面墙上，梯子底端B 距墙脚O 为7 米，若梯子的顶端沿墙下滑4 米到C，则梯子的底部在水平方向上是否也滑动4 米呢?【点拨】图中有两个直角三角形，运用勾股定理可建立这两个直角三角形的边的关系梯子在滑动前后的长度是不变的在RtAOB 中， AOB90°， BO7，AB 25，AO2AB2-BO2252 -72 576， AO24， CO=AO-AC24-4 20在 Rt COD 中， OD2DC2-OC2 252-202225， OD15， BDOD-OB15-78(米)，梯子的底部在水平方向上滑动了8 米教材精华知识点应用勾

29、股定理解决实际问题(1)解决两点距离问题：正确画出图形，已知直角三角形两边长，利用勾股定理求第三边长(2)解决航海问题：理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或其逆定理解题(3)解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题(4)解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题(5)解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题(6)解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题规律方法小结 运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应

30、具体问题具体分析，灵活运用所学的知识其中利用勾股定理列方程是常用方法之一课堂检测基础知识应用题1、有一圆柱形油罐，底面周长是 12 米，高是 5 米，现从油罐底部 A 点环绕油罐建梯子，正好到 A 点的正上方 B 点，则梯子最短需多少米 ?2、节日庆典，需用彩灯装饰人民广场内的圆柱形建筑物，已知它的高为5 米，底面周长为2米，用彩灯环绕6 周正好到达建筑物的顶端，则彩灯的长度至少是多少米?综合应用题3、如图 1-37 所示，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 C处，BC交 AD 于 E，AD8，AB4，求 BED 的面积4、在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只猴子爬

31、下树走到离树20m 的池塘 A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A 处(认为是沿直线跃 )，如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树有多高 ?探索创新题5、如图 l-39 所示，直线 MN 表示一条铁路， A，B 是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为 AA120 km ，BB140 km ，已知 A1B1 80 km，现要在 A1 B1 之间设一个中转站 P，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定 P 点位置，并求这个最短距离体验中考1、如图 1-43 所示，梯形ABCD 中， ABDC， ADC+ BCD90°，且 DC2AB，分别以DA，AB，BC 为边向梯形

32、外作正方形， 其面积分别为 S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 之间的关系是.2、如图 1-44 所示，在 RtABC 中， C90°，AC3将其绕 B 点顺时针旋转一周，则分别以 BA，BC 为半径的圆形成一圆环，该圆环的面积为.3、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形如图1-45 所示是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2 和 4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖 (假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上)，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线 )的概率是()A 1B 1C 1D 124510学后反思附： 课堂检测及体验

33、中考答案课堂检测1、分析环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB 展开，得到一个长方形，由两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题解：如图 1-35 所示，将圆柱体的侧面沿AB 展开，得到长方形AAB B，则 ABAB 5 米， AA BB 12 米， A 90°，连接 AB，则沿 AB建梯子，梯子最短在 RtAAB中， AB2=AA 2+AB2 122 +52 169AB 13(米)答：梯子最短需 13 米【解题策略】 (1)解答此类问题时，一定要把立体图形展开成平面图形(2)在将立体图形展开成平面图形时，必须有丰富的想象力2、分析本题不是单纯地将图形的侧面展开求解的问题，而需要展开6 次，才能构成直角三角形如图l-36 所示，边BC 的长为6 个周长，AC的长为高， AB 的长为所求的长，从而由勾股定理求解222即 AB2 122+52所以 AB 13(米 )因此彩灯的长度至少为13 米【解题策略】解决本题的关键是在平面上构造直角三角形13、分析· ，所以只要求出的长即可，而易知，由于 S BEDDEDEDEABBE AEAD-DE28-BE，在 Rt ABE 中，利用勾股定理列方程求解解： AD BC， 2 3由题意知 BCD 与 BCD 关于直线 BD 对称