北师大版八年级上数学一元一次函数教案

1、学习必备欢迎下载第六章一元一次函数6.1 函数一、常量和变量在行程问题中，当速度 v 保持不变时，行走的路程s 是随时间的变化而变化的，那么在这一过程中，是常量， 而和是变量 . 当路程 s 是个定值时， 行走的时间t 是随速度 v 的变化而变化，那么在这一过程中，是常量，而与是变量 .概念：在一个变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.注意 变量和常量往往是相对的，是相对某个变化过程的. 如： s,v,t 三者之间，在不同研究过程中，变量与常量的身份是可以互相转换的.例题 1：指出下列关系式中的常量和变量：（ 1）；（ 2）（; 3）（a、 h 为已知数）二、函数

2、的定义问题 1 小明暑假第一次去北京汽车驶上A 地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是 95 千米 / 小时已知 A 地直达北京的高速公路全程为 570 千米，小明想知道汽车从 A 地驶出后 ,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系 ,并据此得出相应的值 ,显然 ,应该探求这两个变量的变化规律 为此 ,我们设汽车在高速公路上行驶时间为 t 小时 ,汽车距北京的路程为 s 千米 ,根据题意 ,s 和 t 的函数关系式是s570 95t说明：找出问题中的变量并

3、用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的 s、t 是两个变量，s 是 t 的函数， t 是自变量， s 是因变量问题 2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来他已存有50 元 ,从现在起每个月节存 12 元试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的关系式分析：我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为 y 元 ,得到所求的函数关系式为：y 50 12x函数的概念：一般地，在某个变化的过程中，有两个变量x 和 y，如果在x 允许的范围内给定一个 x 值，相应地就唯一确定了一个 y 值，称 x 是自变量， y 是因变量， y 是 x 的函数. 如问题 1 中路程的 s 是时间 t 的函数，问题

4、2 中存款数 y 是月份数 x 的函数 .例题 2 中国淡水资源总量约为亿立方米，则人均占有淡水资源y（立方米）与人口数x 的关系为.例题 3 写出下列问题的函数关系式，并指出自变量和因变量.(1) 面积为 10cm2 的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2) 长为 8(cm) 的平行四边形的周长L(cm) 与宽 b(cm) ；学习必备欢迎下载(3)食堂原有煤120 吨，每天要用去5 吨， x 天后还剩下煤y 吨；(4)汽车每小时行40 千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）(5)汽车以 60 千米 /时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；(6)

5、圆的面积y（ cm2）与它的半径x（ cm）之间的关系；(7)一棵树现在高50cm，每个月长高2cm， x 月后这棵树的高度为y（ cm）三、对函数定义的理解（ 1）在一个变化过程中必须有两个变量x 和 y，如 x+y=3 、 x-y=5 、 y=5x+6 等 .（ 2）对于自变量 x 的取值，必须要使代数式有意义，如y=2x+1 中自变量可以在实数范围内取值； y2x 1 中被开方数要满足2x1 0 ，即 x1，另外，在实际问题中，自2变量 x 的取值必须要有实际意义，如人数、多边形变数、机器数等要为正整数，时间要为非负数等 .（ 3）函数的实质是揭示两个变量时间的关系. X 每取一个值，

6、y 要有一个且有且只有一个值与之对应，否则y 就不是 x 的函数，如，yx 在实数范围内， y 就不是 x 的函数，因为在 x<0 时， x 取一个值，如 x=-2 ， y 没有一个值与它对应，所以在x<0 时， y 就不是 x 的函数：再如 yx x0 ，当 x=4 时， y2 ，此时 y 有两个值与 x 对应，所以 y 也不是 x 的函数 .（ 4）判断两个函数是不是同一个函数，应该根据自变量的取值范围，函数 y 的取值范围，函数解析式是否一致来判断. 如 y=x 和yx2的 x 可以取任意实数，中 x 取，其中x不等于 0 的实数，所以 yx2不是同一个函数 .x与 yx例题

7、 4 求下列函数自变量的取值范围（ 1） yx42（ 2）x2x 32y35x（ 3） yxx 12（ 4）y3xx8x152x1学习必备欢迎下载例题 5 小强在劳动技术课中要制作一个周长为与一腰长 x（ cm）的函数关系式，并求出自变量80cm 的等腰三角形， 请你写出底边长x 的取值范围 .y（cm）四、函数值对于一个函数，当自变量 x=a 时，我们可以求出与它对应的 y 的值，我们就说这个值是当 x=a 时的函数值 . 注意 对于一个函数，可能有若干个函数值，x 取不同的值，函数的值可能不相同，因此应该说明自变量x 取什么值的时的函数值 . 如函数 y=x-3 ，当 x=0 时的函数值为

8、 -3；当 x=3时的函数值为0， .，所以不能简单的说函数y=x-3的函数值是 3.例题 6 已知 y2x4x3（ 1）求当 x 取 1、 -1 时的函数值；（2）求当 y1、 2 时 x 的值 .3五、函数图像把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有的点组成的图形叫做该函数的图像. 反之，在函数图像上所有点的横坐标、纵坐标作为自变量、因变量满足函数表达式. 作函数图像的一般步骤是：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，

9、把所描的点用平滑的曲线连接起来 .注意 列表时自变量的取值要注意兼顾原则，既要有代表性，又不能过大或过小，以利于描点和全面反映图像情况 .例题 7 如图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据这张图回答：在这一天中，（ 1）什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少度？（ 2）20 时的气温是多少？（ 3）什么时候气温为 6？（ 4）哪段时间内气温不断下降？（ 5）哪段时间内气温持续不变？学习必备欢迎下载例题 8 星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是A 小王去时的速度大于回家的速度B小王在朋友家停留了

10、10 分钟C小王去时所花的时间少于回家所花的时间D小王去时走上坡路，回家时走下坡路例题 9 某天早晨，小强从家出发，以V 1 的速度前往学校，途中在一家饮食店吃早点，之后以 V 2 的速度向学校行进已知 V 1 V 2，下面哪一幅图能较好刻画小强今天早晨从家到学校的时间 t 与路程 s 之间的关系（）ABCD学习必备欢迎下载6.2 一次函数一、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果ykxb(k, b是常数， k0) ，那么 y 叫做 x 的一次函数 . 如：y2x1, y1 x 等都是一次函数.2特别地， 当一次函数ykxb 中的b 为0时，则ykx( k为常数，k0).这时， y叫做x 的正

11、比例函数.如 y1x, y3x 等都是正比例函数.2注意 （ 1）由一次函数和正比例函数的定义可知：函数是一次函数其解析式可化为ykx b(k, b是常数， k0) 的形式 .函数是正比函数其解析式可化为ykx(k为常数， k 0) 的形式 .（ 2）一次函数解析式y kx b(k,b是常数， k 0) 的结构特征：k 0 ；x 的次数为 1；常数项 b 可以是任意实数.（ 3）正比例函数解析式ykx(k为常数， k0) 的结构特征：k 0 ；x 的次数为 1；常数项 b=0说明 若 k=0 ，则 y=b（ b 为常数）（ 4）自变量x 的取值范围：xR.这样的函数叫做常量函数，它不是一次函数

12、.例题1 已知y(m3) xm281 ，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？2例题 2 当 m 为何值时，函数y(m2) xm 3(m4) 是一次函数？例题 3 已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时 y=7.（ 1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）当 x=4 时，求 y 的值；（ 3）当 y=4 时，求 x 的值 .学习必备欢迎下载例题 4 如果函数y(m2) xm2 3 是正比例函数，求m 的值 .二、一次函数、正比例函数的关系正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数. 用集合表示正比例函数与一次函数的关系图如图所示.一次函数正比例函数b 0时，是特殊的一次函

13、数 （正比函数）ykxb(k0)b 0时，是一般的一次函数三、一次函数、正比函数图象的主要特征一次函数 y kxb 的图象是经过点 （0，b）的直线；正比例函数y kx 的图象是经过原点（ 0,0）的直线 .如：直线 y 2x1经过点（ 0,1），y2x 1经过点（ 0，-1），y4 x 3 经过点（ 0,3），y1 x 2 经过（ 0,2）；直线 y2x, y4x, yx, y1 x 都经过原点（ 0,0） .33注意 点（ 0， b）是直线 ykx b 与 y 轴的交点 . 当 b0 时，此交点在 y 轴的正半轴上；当b<0 时，此交点在就是正比例函数.y 轴的负半轴上；当b=0时，

14、此交点在原点，此时的一次函数四、用待定系数法求一次函数的解析式（ 1）待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知系数），再根据条件例出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.（ 2）用待定系数法求一次函数的解析式：先设出一次函数的关系式ykxb( k0)，由于它有两个待定系数，需要用两个条件建立两个方程，组成方程组，借以求得k,b的值 .例题 5 汽车行驶中，司机从判断出现了紧急情况到进行刹车时，这一段汽车走过的路程称为刹车反应距离某研究机构收集了有关刹车反应距离的数据如下表：表中 x 为汽车行驶速度 （英里 /小时） ，y 为刹车反应距离 （英尺） ；m、n 为

15、丢失的数据 由表中给出的有序实数对，在直角坐标系中对应的点如图所示（1）请用平滑曲线顺次连接图中各点后，估计 y 与 x 的关系最近似于哪一种函数关系，并说明估计的理由；（2）请利用估计得到的函数关系中，求出表中m、n 的值学习必备欢迎下载例题 6 已知函数的图象过点P（ -3,0）和点 Q（ 0,4），求此一次函数的表达式.例题 7 已知某一次函数ykxb 过点 A （ -4,2）且与直线y=-2x 平行，求此函数的表达式.五、函数与方程、函数与不等式之间的联系（ 1）直线 y kx b(k 0)与 x 轴交点的横坐标是一元一次方程kx b 0的解 . 求直线ykxb 与 x 轴的交点，可令

16、y=0，得到方程 kx bbb0 ，解方程得 x.就是直kk线 ykxb 与 x 轴的交点的横坐标 ;反之，根据函数的图象也能求出对应一元一次方程的解.（ 2）使一次函数ykx b(k 0) 的函数值 y>0（或 y<0 ）的自变量 x 的所有值， 就是一元一次不等式 kxb0(或 kxb0) 的解集 .五、技巧点设法找出两个变量的关系，注意条件的合理运用.例题 当 k 为何值时，函数y(k 22k) xk2 k 1 是正比函数？错解 要使函数 y(k22k)xk 2k 1是正比例函数， 只要 k 2k 11，解这个方程，得 k1=1,k 2=-2.当 k=1 或 -2 时，函数

17、y(k 22k)xk2 k 1是正比函数 .正解要使函数 y(k22k) xk 2 k 1 是正比例函数，必须k 2k1 1，k 22k0.由得 k1=1,k 2=-2.代入中检验：当 k=1 时， k 22k 1221 0 .222（-2）0 ，应舍去 .当 k=2 时， k2k （ - 2）当 k=1 时，函数 y( k22k) xk 2 k 1是正比函数 .学习必备欢迎下载6.3一次函数的图象一、正比例函数图象正比例函数的图象是一条经过原点（0,0）的直线 .二、正比例函数图象y=kx 的图象的特点正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当k>0 ， y 随x 的增大而增大；当k&l

18、t;0时，y 随x 增大而减小.特点：(1) 必过点：（ 0， 0）、（ 1， k）(2) 走向： k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时， ?图像经过二、四象限(3) 增减性： k>0， y 随 x 的增大而增大； k<0， y 随 x 增大而减小(4) 倾斜度： |k| 越大，越接近 y 轴； |k| 越小，越接近 x 轴例题 1 （ 1）正比例函数 y1 x 的图象经过第象限， y 随 x 的增大而.2（ 2）已知 y (2m1)xm 2 3 是正比例函数，且y 随 x 的增大而减小，则m 的值为.三、一次函数图象b1、一次函数图象是一条直线，为了方便，常取图

19、象与坐标轴的两个交点（0，b）和（ -,0）.k2、直线 ykxb(k0) 中， k 和 b 决定着直线的位置.（ 1） k>0,b>0直线经过第一、第二、第三象限；（ 2） k>0,b<0直线经过第一、第三、第四象限；（ 3） k<0,b>0直线经过第一、第二、第四象限；（ 4） k<0,b<0直线经过第二、第三、第四象限.直线 y kx b(k 0) 的图象可由直线y=kx 向上或向下平移 b 个单位得到， 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .

20、3、倾斜度： |k| 越大，图象越接近于y 轴； |k| 越小，图象越接近于x 轴.4、两条直线，当k 值相同时，两直线平行；当b 值相同时，两直线交于y 轴上同一点 .5、求两直线 yk1x b1 , y k2 x b2 的交点坐标的方法是解方程组yk1xb1 ，求yk2 xb2得的 x,y 的值即分别为两条直线的交点的横坐标、纵坐标.四、一次函数的性质（ 1）当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大 .（ 2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小 .（ 3）一次函数 y kx b(k 0) 和正比例函数的性质是类似的 .学习必备欢迎下载一次kkxb k0函数k ，bk

21、0k 0符号b 0b 0b 0b 0b 0b 0yyyyyy图象OxOxOx性质y 随 x 的增大而增大OxOxOxy 随 x 的增大而减小五、一次函数y=kx b 的图象的画法根据几何知识： 经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），. 即横坐标或纵坐标为0 的点 .b>0b<0b=0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<0图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小六、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数 y=kx b 的图象是一条直线， 它可以看作是由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）学习必备欢迎下载七、正比例函数和一次函数及性质正