海南大学数字信号处理课件(第三版)第1章时域离散信号和

1、第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言引言 1.2 时域离散信号时域离散信号 1.3 时域离散系统时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言引言 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论

2、与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.2 时域离散信号时域离散信号 区分模拟信号、连续时间信号、离散信号和数字信号 对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 其中抽样频率Fs=1/T，单位：周期每秒。( )(

3、),at nTax tx nTn 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 离散时间信号的表示：1. x(n)表示一个离散时间信号（或序列），n取整数整数，取值范围： -n。当n为某个具体值时，表示序列的一个样本值。2、枚举法表示序列 x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.13、图形表示4、公式Matlab： x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 序列的基本知识点序列的基本知识点)()()(njxnxnx

4、imrenjenxnnx25. 021)()25. 0cos()(1.实序列和复序列 例如：2.离散时间信号分有限长序列和无限长序列 （1）x(n),N1nN2，序列长度：N=？ （2）补零或零填充：通过加入零值样本来延长序列的运算 （3）无限长序列分：左边序列、右边序列和双边序列第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 理由：复杂信号常常是表示成基本信号的线性组合后再进行分析。是信号分析的基础。 1. 单位采样序列(n) 它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号

5、如图所示。 0, 00, 1)(nnn1.2.1 常用的典型序列常用的典型序列knknkn, 0, 1)(第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 101231n (n) (t)t0( a )( b ) 图单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2. 单位阶跃序列u(n) 单位阶跃序列如图1.2.2所示。(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1) knknknunnnu, 0, 1)(,0, 00, 1)(0( )()ku nnk( )( )nnu

6、nm? 用u(n)表示序列x(n)=1,n 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 u(n)01231n 图1.2.2 单位阶跃序列 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 3. 矩形序列RN(n) 1, 0nN-1 0， 其它n 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)= 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 R4(n)01231n图1.2.3 矩形序列 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时

7、域离散信号和时域离散系统 4. 实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数 如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.2.4 实指数序列 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 5. 实正弦序列 x(n)=Acos(n+) 式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) x(n)=sin(n)第第1章章

8、时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T上式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式： sf第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 6. 复指数序列 x(n)=e(+j)n 式中为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： x(n)=e jn x(n)=cos(n)+jsin(n) 由于n取整数，下面等式成立： e j(+2M)n= e jn, M=0,1,2第

9、第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 单频序列单频序列tjetx)(角频率为 的模拟信号jwkTkjkTteetxkx)(数字信号角频率=T，有时用0表示数字频率给出了模拟角频率和数字角频率之间的关系式第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 常用序列的常用序列的matlab产生产生Program1-1：delta(n)Program1-2: u(n)Program1-3:Program1-4:a=1.2,k=0.2,N=31a=0.9,k=20,N=31a=-0.1,b=pi/3, k=1，N=40第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离

10、散信号和时域离散系统 正弦序列和复指数序列的特性正弦序列和复指数序列的特性 两个指数序列，当w满足一定条件时，不可区分 两个正弦序列，当w满足一定条件时，不可区分第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 7. 周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -n1，表示内插，可得到一个具有更高抽样率的序列，称为上抽样运算；R1，表示抽取，可得到一个具有更低抽样率的序列，称为下抽样运算；3.序列的抽取与插值(抽样率变换运算)y(-1)= x(-13)y(0)= x(03)y(1)= x(13)解： * 序列的抽取：指将原来的序列每

11、隔M个样点保留 一个样点，去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。 y(n)=x(Mn)如图所示，取M=3,则y(n)= ？其分解过程见下例Program1-8* 序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等 间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。分解过程如下：其他02,0)/()(LLnLnxnyProgram1-9利用基本运算，可产生较为复杂的信号例如：x1(n)=sin(0.05*2*n) x2(n)=sin(0.15*2*n) x3(n)=sin(0.25*2*n)合成新信号: x(n)=x1(n)+x2(n)/3+x3(n)/5Program_1_10第第1章章 时

12、域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.3 时域离散系统时域离散系统 功能：对一个给定的输入序列进行处理得到一个输出序列。设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=Tx(n) (1.3.1) 其框图如图1.3.1所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.3.1 时域离散系统 y(n)x(n)T离散时间系统通常称为数字滤波器。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 常见离散时间系统常见离散时间系统所有的基本运算都可以看做是

13、一个基本离散时间系统；复杂的离散时间系统是由两个或两个以上的基本离散时间系统组合得到。例1：累加器（由多个加法器组成）)() 1()()(nxnylxnynl第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 10)(1)(MkknxMny例2：M点滑动平均滤波器。 这种系统通常用于平滑数据中的随机噪声。若信号s(n)在n0时被噪声d(n)污染，其观察数据为x(n)=s(n)+d(n)。假定未污染的原始信号为：s(n)=2n(0.9)nProgram-1-11: 举例：M=3;M=5观察图形，有延时，M点滑动平均滤波器的延时为（M-1)/2Program-1-12:从混合信号中滤

14、除高频分量 (举例：M=2;M=3) s1(n)=cos(2*0.05n) s2(n)=cos(2*0.47n) x(n)=s1(n)+s2(n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例3：线性内插器L离散时间系统x(n)x1(n)y(n)因子为L的内插器分两步：1，x1(n)是x(n)序列两个样点间插入L个零形成的序列 2，离散时间系统对x1(n)中的零值重新“填入”，填入的数 据是根据x1(n)中非插入零的样本值计算的线性内插器。例如：因子为2和3时的内插器的输入输出关系分别为： y(n)=x1(n)+0.5(x1(n-1)+x1(n+1) y(n)=x1(n)

15、+2/3(x1(n-1)+x1(n+1)+1/3(x1(n-2)+x1(n+2)Program1-13第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 线性系统 ：最广泛使用的一种离散时间系统。 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 那么线性系统一定满足下面两个公式： T x1(n)+x2(n)= y1(n)+y2(n) Ta x1(n)=ay1(n) 离散时间系统分类离散时间系统分类-线性系统线性系统第第1章章 时域离散信号和时域离散系统

16、时域离散信号和时域离散系统 满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成： y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n) 上式中，a和b均是常数。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例1： 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。 证明 y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(

17、n) 因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统。 0( )( )sin()4y nx nn第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例2：y(n)=x2(n)例3：y(n)=x2(n)-x(n-1)x(n+1)例4：y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)= 2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2)Program2-16第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这

18、种系统称为时不变系统，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0) 时不变系统时不变系统第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例1:检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。 解 y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此该系统是时不变系统。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例2:检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解 y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)

19、 Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n0)Tx(n- n0) 因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明 所代表的系统不是时不变系统。 0( )( )sin()4y nx nn第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例3：y(n)=x(Mn)例4：y(n)=x(n/L),n=kL,k为任意整数；其他时y(n)=0例5： y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)= 2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2)Program-1-15第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 设系统的输入x(n)

20、=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n) h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。 线性时不变系统输入与输出之间的关系线性时不变系统输入与输出之间的关系第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 h(n)的求解的求解例1：LTI系统的输入输出关系为： y(n)=a1x(n)+a2x(n-1)+a3x(n-2)+a4x(n-3)求h(n).例2：求累加器的h(n).例3：求线性内插器对应的h(n

21、)。例4：nllxny)()(y(n)=x1(n)+0.5(x1(n-1)+x1(n+1)求y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)= 2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2)的h(n).第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 LTI离散时间系统的时域特性离散时间系统的时域特性LTI系统同时满足线性和时不变性。这类系统容易用数学形式分析和描述，因而比较容易设计。LTI特性使得LTI离散时间系统可由它的h(n)完全描述：即若知道了h(n),就可得到系统对任意输入的输出响应。设系统的输入用x(n)表示，可表示成单位采样序列移位加权

22、和为( )() ()mx nx mnm第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例： x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6)计算该信号通过线性时不变系统h(n)的响应。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 ( )( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( )( )mmmy nTx mnmy nx mnmy nTx m h nmx nh n根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质 例：已知x1n x2n= yn，试求y1n= x1n x2nm。 结论： y1

23、n= ynm+k)例：xn 非零范围为 N1 n N2 ， hn 的非零范围为 N3 n N4 求： yn=xn hn的非零范围。结论：N1N3 n N4N2例：若系统为h(n)，当输入为x(n)时，输出为y(n)。当输入为 x(n)，系统为 h(n-m)时，求输出。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 有限长序列的卷积和求解 ：公式法、图解法、列表法 例：设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：因为 上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3， R4(

24、n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式： 44( )( )()my nR m R nm第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 0m3 n-3mn 因此， 03303, ( )1146, ( )17nmm nny nnny nn 当 当 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为 n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.3.2 例1线性卷积 R4(n)0

25、123n01mR4( m)23R4(n)0123nmR4(m)0123mR4(1 m)2111110123mR4(2 m)11023ny(n)1112344567第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 列表法：Program-1-16:conv用来求两个有限长序列的卷积和。x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积服从交换律、结合律

26、和分配律。它们分别用公式表示如下： x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) (1.3.9) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.3.3 卷积的结合律和分配律 h1(n)h2(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)y(n)x(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）*第第1章章 时域离散信号和时域离散

27、系统时域离散信号和时域离散系统 例1.3.5在图1.3.4中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设 x(n)=u(n) h1(n)=(n)-(n-4) h2(n)=anu(n)， |a|1 求系统的输出y(n)。 图1.3.4 例1.3.5框图 h1(n)h2(n)y(n)x(n)m(n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。 m(n)=x(n)*h1(n) =u(n)*(n)-(n-4) =u(n)*(n)-u(n)*(n-4) =u(n)-u(n-4) =R4(n) y(n)=m(n)*h2(n) =R4(n)*anu

28、(n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 =anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3) =anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)还可以将y(n)用下式表示 y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+ u(n-3)30nkkaa第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 信号的相关信号的相关实际应用中，有时需要将一个 或多个信号与参考信号做比较，确定每对信号之间的相似性并根据相似性提取额外的信息。例如：数字通信中例如：雷达和声纳应用中序列x(n)和y(n

29、)的相似性度量用rxy(l)表示，其中l表示延时。可正可负。下标xy表示x(n)为参考序列，y(n)做平移。 nxylnynxlr)()()(mxynyxlrmxlmylnxnylr)()()()()()(第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 序列x(n)的自相关序列为：用Matlab进行相关计算。x(n)=1 3 -2 1 2 -1 4 4 2,y(n)=2 -1 4 1 -2 3。求两序列的互相关序列.Program_1_17.说明：（1）求自相关序列。（2）令y(n)=x(n-4)，求互相关；（3）对x(n)加随机噪声，rand，求自相关。（4）matlab中

30、函数xcorr可以用来计算相关。nxxlnxnxlr)()()(nnxylylxnlynxlnynxlr)(*)()()()()()(第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 用matlab计算周期序列的相关性并定出周期例：x(n)=cos(0.25n),0n95,该信号受到在区间-0.5,0.5内均匀分布的加性随机噪声的干扰，如何根据受干扰的信号确定序列的周期？Program_1_18第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.3.4系统的因果性和稳定性 如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无

31、关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式： h(n)=0， n0第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 满足(1.3.13)式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件(1.3.13)式从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果

32、性条件(1.3.13)式。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.3.5 非因果系统的延时实现 0121nx(n)0111nh(n)0121nh (n)（ a ）（ b ）（ c ）0121ny(n)3 1230121ny (n)323（ d ）（ e ）第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为( )nh n 证明证明 先证明充分性。( )( ) ()( )( )()kky nh k x nky ny kx nk第第1章

33、章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 因为输入序列x(n)有界，即 |x(n)|B,-n， B为任意常数 如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即 |y(n)| ( )( )ky nBh k第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足(1.3.14)式，即 ，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：( )nh n (), ( )0()0,( )0hnh nhnh nx(n)= ( )( ) ()( )(0)( ) ()( )( )( )kkkk

34、y nh k x nkh kyh k x nkh kh kh k 令n=0 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解 由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。 1001( )limlimnNnnNNnnnah naaa只有当|a|1时 1( )1nh na第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如

35、果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例1.3.7 设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于 任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。 解 h(n)=u(n) y(n)=x(n)*h(n)= 因为当n-kM)阶线性常系数差分方程用下式表示： 01010( )()()()(),1MNiiiiNMiiiiy nb x nia y nia y nib x ni a(1.4.1)(1.4.2)或者 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 式中，x(n)和y(

36、n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i的取值最大与最小之差确定的。在(1.4.2)式中，y(n-i)项i最大的取值为N，i的最小取值为零，因此称为N阶的差分方程。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.4.2线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种： (1)经典解法。 (2)递推解法。 (3)变换域方法。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与

37、系统教研中心第3-87页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应差分方程的经典解差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)与微分方程经典解类似，与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解齐次解yh(k) 齐次方程齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0其其特征方程特征方程为为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0其根其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的称为差分

38、方程的特征根特征根。齐次解的形式取决于特征根齐次解的形式取决于特征根。当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解yn(k)形式为：形式为： Ck当特征根当特征根为为r重根重根时，齐次解时，齐次解yn(k)形式为：形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-88页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 特解特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同特解的形式与激励的形式雷同(r1） 。 （1） 激励激励f(k)=km (m0） 所有特征根均不等于所有特征根均不等于1时时;

39、yp(k)=Pmkm+P1k+P0 有有r重等于重等于1的特征根时的特征根时; yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） 激励激励f(k)=ak 当当a不等于特征根时不等于特征根时; yp(k)=Pak 当当a是是r重特征根时重特征根时; yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励）激励f(k)=cos(k)或或sin(k) 且且所有特征根均不等所有特征根均不等于于ej ； yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-89页电子教案例例：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4

40、y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解解： 特征方程为特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根可解得特征根1=2= 2，其齐次解，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k特解为特解为 yp(k)=P (2)k , k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ，解得解得 P=1/4所以得特解：所以得特解： yp(k)=2k2 , k0故全解为故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2)

41、 ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4 3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-90页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以也可以分别分别用经典法求解。用经典法求解。 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1设设激励激励f(k)在在k=0时接入系统时接入系统，通常以通常以y(1), y(2) ,

42、 ，y(n)描述系统的描述系统的初始状态初始状态。 yf(1) = yf(2) = = yf(n) = 0 所以所以 y(1)= yx(1) , y(2)= yx(2),，y(n)= yx(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的的初始值初始值yx(j)和和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-91页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应例例：若描述某离散系统的差分方程为：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2

43、y(k 2) = f(k)已知激励已知激励f(k)=2k , k0，初始状态，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解解：（：（1）yx(k)满足方程满足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0其初始状态其初始状态yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2首先递推求出初始值首先递推求出初始值yx(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2) yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=

44、3方程的特征根为方程的特征根为1= 1 ，2= 2 ，其解为其解为 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 将初始值代入将初始值代入 并解得并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-92页电子教案3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始状态初始状态yf(1)= yf(2) = 0递推求初始值递推求初始值 yf(0), yf(1)， yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(k 2) +

45、2k , k0 yf(0) = 3yf(1) 2yf(2) + 1 = 1 yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1分别求出齐次解和特解分别求出齐次解和特解，得，得 yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(2)k + yp(k) = Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k代入初始值代入初始值求得求得 Cf1= 1/3 , Cf2=1 所以所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 （2）零状态响应零状态响应yf(k) 满足满足第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 (1.4.1)式表明，已知

46、输入序列和N个初始条件，则可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，可以求出n+1时刻的输出，因此(1.4.1)式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程。 例例1.4.1 设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求输出序列y(n)。 解解 该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。 (1) 设初始条件 y(-1)=0 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=an=2时，y(2)=ay(

47、1)+(2)=a2n=n时，y(n)=any(n)=anu(n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 (2)设初始条件y(-1)=1n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n时，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。 对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n0的方向递推，

48、是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0，求输出序列y(n)。 解n=1时，n=0时，n=-1时，n=-n时， y(n-1)=a-1(y(n)-(n) y(0)=a-1(y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1 y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2 y(n-1)=-a n-1 将n-1用n代替，得到 y(n)=-anu(-n-1)第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 matlab求解线性时不变系统的响应求解线性时不变系统的响应函数(1)y=filter(p,d,x) (2)y,sf=filter(p,d,x,si)含

49、义：假设在零初始条件下，p代表的是输入有关的系数向量，d代表与输出有关的系数向量，x代表输入。x和y的长度相同。例如：y(n)+0.7y(n-1)-0.45y(n-2)-0.6y(n-3)=0.8x(n)-0.44x(n-1)+0.36x(n-2)+0.02x(n-3)，求h(n).Program_1_19:h(n)的计算说明：（1）求h(n)也可以用impz。 （2）如何求出阶跃响应。x=ones(1,N) stepz(p,d,N), x=ones(1,N),N=40 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 滤波概念的解释滤波概念的解释两个系统 y(n)=0.5x(

50、n)+0.27x(n-1)+0.77x(n-2) y(n)=0.45x(n)+0.5x(n-1)+0.45x(n-2)+0.53y(n-1)-0.46y(n-2)系统输入为 x(n)=cos(20n/256)+cos(200n/256),0n299Program-1-20第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 什么是信号抽样 为什么要进行抽样 抽样定理的理论推导 抽样定理内容 抽样定理的应用1.5 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 什么是信号抽样？什么是信号抽样？播放音乐信号第第1章章 时域

51、离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 什么是信号抽样？什么是信号抽样？第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 x(n)=x(t)|t=nT所谓取样就是利用取样脉冲序列s(t)从连续时间信号x(t)中抽取一系列离散样本值的过程。第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 2.为什么要进行信号抽样？为什么要进行信号抽样？离散信号与系统的主要优点：1）信号稳定性好：数据用二进制表示，受外界影响小；2）信号可靠性高：存储无损耗，传输抗干扰3）信号处理简便：压缩、编码、加密等4）系统精度高：改变字长可改变系统的精度；5）系统灵活性高：改变系统的

52、系数可使系统完成不同的任务第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.5.1 模拟信号数字处理框图 预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)要理解该系统的工作条件，必须分析下图中的每个接口电路。3.如何进行信号抽样？第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 如何进行信号抽样？如何进行信号抽样？2.同一音乐信号不同抽样的效果比较 caiyang1.m, Lena.jpg问题：采样周期如何选择？第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例：以10Hz的抽样率分别对频率为3Hz,7Hz和13Hz三个余弦函

53、数均匀抽样产生三个序列。即 ，得到三个序列)6cos()(1ttg)14cos()(2ttg)26cos()(3ttg)6 . 2cos()()4 . 1cos()()6 . 0cos()(321nngnngnng下图给出了原连续信号和离散信号的波形。caiyang2.m结论：不同的连续时间信号可以抽样得到相同的序列。问题：如何选择T？第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 上例中的三个序列整理后其实是同一个序列。在一定条件下，一个给定的离散时间序列和一个特定的连续时间信号可以建立一一对应的关系，并且可以从对应的抽样信号中恢复出原始的连续时间信号。采样定理就是条件。第

54、第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 3.如何进行信号抽样？如何进行信号抽样？x(n)=x(t)|t=nT如何选取抽样周期T?第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 4.抽样理论推导抽样理论推导第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 图1.5.2 对模拟信号进行采样 4.抽样理论推导|理想抽样模型第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换周期为周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(1222

55、2( )()()( )2sTsssnnstnnTTT 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 )()()(sttxFtxFT)()(21tFtxFTsamsam1(j )()2nXn sam1(j()nXnT ssam1(j )(j()nXXnT 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 j(e)TXj(j )( )edtssXx tt j ()edtnx ntnTt j ()edtnx ntnTt j enTnx ns(j )X)()()(ttxtxTs ()nx ntnT( )()nx ttnT第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散

56、信号和时域离散系统 4.信号抽样理论的推导信号抽样理论的推导-)j -(jT1)(,| )()(),()(),()(ifnsjwnTtjwnXeXthentxnxexistsandeXnxjXtx信号时域的离散化会导致其频域的周期化信号时域的离散化会导致其频域的周期化(j )(j)TwXXT 缩因子212(j)nwnXTT周期化为j12(e )(j)wnwnXXTT第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 带限带限(band limit)信号信号X(j)=0 |m称为m 为信号的最高(角)频率。m第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例: 已

57、知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示， 试分别抽样角频率sam=2.5m, 2m , 1.6m抽样时，抽样后离散序列xk的频谱。sam2.5m解：mmm20.82.5T wj(e )wX第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 sam2m mmm22T sam1.6mmmm21.251.6T wj(e )wXwj(e )wXwj(e )wX第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 sam2.5m解：sam2m sam1.6mwj(e )wXwj(e )wXwj(e )wX第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 及其

58、频谱。分析抽样得到的对连续信号进行抽样，和特性图；分别用分别画出信号及其幅频)(Hz32/Fs2HzFs),(2)(:nxtutetxexamtFs=2Hz第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 Fs=2/3Hz第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：T /m=1/(2fm) 时域抽样定理时域抽样定理fsam 2fm （或sam 2 m）抽样频率fs满足： 或抽样间隔T 满足fsam = 2fm 频谱不混叠最小抽样频率(Nyquist rate)T=1/(2fm) 频谱不混叠最大

59、抽样间隔第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 6.信号抽样的物理实现信号抽样的物理实现第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例1：已知实信号：已知实信号x(t)的最高频率为的最高频率为fm(Hz),请计请计算对各信号算对各信号x(2t),x(t)*x(2t),x(t) x(2t)抽样不混叠抽样不混叠的最小抽样频率。的最小抽样频率。解：例：已知x(t)=Sa(f0t), 试确定频谱不混叠最大抽样间隔T及抽样后的序列xn。解：所以sam=2f0，即T=1/f0。)e (jwX1nxn 若信号x(t)以T为抽样间隔抽样后的序列为n，则称该信号Nyquist-T 信号。 在所有的Nyquist-T 信号中，只有x(t)=Sa(f0t)是带限的。X(j)例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示, 试分别画出sam1=0.5m 及sam2=0.8m时，抽样后离散序列的频谱。解：sam1=0.5m , T1=2/sam1 =4/msam2=0.8m ,T2=2/sam2=2.5/mX(