数项级数判敛法

1、1、正正项项级级数数及及其其判判敛敛法法 二二. 数项级数判敛法数项级数判敛法正项级数定理定理 2 2（比较（比较判别法）判别法） （1 1）若若 1nnv收收敛敛，则则 1nnu也也收收敛敛； （2 2）若若 1nnu发发散散，则则 1nnv也也发发散散。 11:,.注 级数收敛 并不能推出也收敛nnnnuv 定理3.（比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式） 设设 1nnu和和 1nnv均均为为正正项项级级数数，且且Lvunnn lim，则则 （1 1）当当 L0时时， 1nnu与与 1nnv具具有有相相同同的的敛敛散散性性； （2 2）当当0 L，且且 1nnv收收敛敛时时， 1nnu

2、也也收收敛敛； （3 3）当当 L，且且 1nnv发发散散时时， 1nnu也也发发散散。 设设 1nnu为为正正项项级级数数，若若 nnnuu1lim，则则 （1 1）当当时时 1 ，收收敛敛 1 nnu； （2 2）当当1 时时，发发散散 1 nnu； （3 3）当当时时 1 ， 1nnu可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散。 定定理理 4 4（比比值值判判别别法法 或或 DAlembert 判判别别法法） ( (此此时时需需改改用用其其它它判判别别法法) ) 定定理理 5 5（根根值值判判别别法法 或或 C Ca au uc ch hy y 判判别别法法） 设设 1nnu为为正正项项级级数

3、数，且且 nnnulim，则则 （1 1）当当时时 1 ， 1nnu收收敛敛； （2 2）当当时时 1 （或或 nnnulim）时时， 1nnu发发散散。 （3 3）当当时时 1 ，不不能能判判别别。 关于正项级数判别法的选择:1!当级数的一般项中含有或或时,nnnnnuuann常用比值判别法;当中含有或时,nnnuan常用根值判别法;当中 含 有或 其 他 种 类 的 函 数 时 ,nun常用比较判别法;证明题常用比较法 或级数收敛*的定义.(比较对象的选取方法:适当缩放;等价或同阶无穷小;泰勒公式等.)例 1判定级数的敛散性： 11(1)2nnn1122nnn11:2解与级数比较nn112

4、而级数收敛nn112级数收敛nnn（2）1) 1(1nnn 解：11) 1(1nnn（ , 2 , 1n） ， 而113121111nnn，发散， 1) 1(1nnn发散。 例2判别下列正项级数的敛散性 （1）12sin1nnn 解：对级数的通项先作分析： 122sin1limnnnn，而12nn发散， 12sin1nnn发散。 ( 当n时，n2sinn2，从而nn2sin1 n2。) 11(2)(1cos)nn2221111c o s()12limlim112nnnnnn 211:解与级数比较nn211而是收敛的级数npn11(1cos)级 数也 收 敛nn11(3)lnnnn1lnlnli

5、mlimlim (1)11lnnnnnnnnnnnn 11:解与 级 数 比 较nn11而是调和级数,发散nn11ln级数也发散nnn2:,ln!,(1)注 为更好地使用比较法,我们应了解下列几个无穷大之间的大小关系: 当时 nnnnnnnanna311sin(4)nnn331sin2nnn312:解与级数比较nn3311212而是收敛级数nnnn311sin级 数也 收 敛nnn:!注 本题用比较法的极限形式不太合适111(5)(cos1)2nnn2424211:cos12!4!1cos1(0)2!111cos1(0)()2 分析 由知 与 是同阶无穷小 当 故 与 是同阶无穷小 当xxxx

6、xxxnnnn2402211cos112:lim2411cos112lim1241:. 解 而 由收 敛 知原 级 数 也 收 敛xnnxxxnnnn例 3判定下列正项级数的敛散性。 （1）13tan2nnn； 解：nnnnnnnnuu3tan23tan2limlim111132332lim1nnn， 级 数13tan2nnn收 敛 。 （ 2）155nnn； 解：nnnuu1limnnnnn5) 1(5lim551 （3）)34(951) 13(8521nnn， 解：1431423limlim1nnuunnnn， 原级数收敛。, 15)1(5lim5nnn 级数155nnn发散。 例 4讨论

7、级数)0( )( ! 1xnxnnn的收敛性。 nnnnnnnxnnxnuu)( ! )1( ! 1limlim11 exnxnn)11 (lim， 当 ex，即1ex时，级数收敛； 当ex，即1ex时，级数发散； 当ex时，比值法失效。 凡是用比值审敛法判定的发散级数，都必有0limnnu。 enn )11 (， 1)11 ()11 (1nnnnnenxuu) , , 3 , 2 , 1(n， 故0limnnu，所以级数发散。 15.(1)2例 nnn1:limlimlim1222解 nnnnnnnnnnu 12级 数收 敛nnn（2）)0()1(1anannn 解：anannanunnnn

8、nnn1lim)1(limlim 当1a时，级数收敛；当1a时，级数发散； 当1a时，根值判别法失效。 但01)11 (1lim)1(limlimennnunnnnnn， 当1a时，级数发散。 2 2、变变号号级级数数及及其其判判敛敛法法 （一一）交交错错级级数数及及其其判判敛敛法法形如,) 1() 1(1432111nnnnnuuuuuu 其中), 2, 1, 0(nun的级数称为交交错错级级数数。定定理理 6 6（莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法）若交错级数)0()1(11nnnnuu满足条件： （1） 1nnuu ), 2, 1(n；（2）0limnnu ；则该交错级数收敛，且其和1uS，1

9、 nnnurr 满足余项。 变号级数（1）111) 1(nnn解：1111nnunnu) , 2 , 1(n， 且01limlimnunnn，111) 1(nnn收敛。 例 6判定下列交错级数的敛散性： （2）121( 1)lnnnn (类似可得收敛) （3）12112) 1(nnnn 解：设212)(xxxf，则212)(nnunfn， )(xf在) , 1 内单调减少， 从 而)( 12)(2Nnnnnf单 调 减 少 。 即1nnuu) , 3 , 2 , 1(n，又012limlim2nnunnn，级数12112)1(nnnn收敛。32(1)( )0(1 ) xfxxx 判定 单调减少

10、 nu的方法： （1）差差值值法法：判定01nnuu； （2）比比值值法法：判定11nnuu； （3）导导数数法法：设)(nfun，判定在内 ) ,a0)( xf， 从而)(xf，则当足够大时 n，nnuu1。 （二二）绝绝对对收收敛敛与与条条件件收收敛敛1 1 绝绝 对对 收收 敛敛若级数1nnu收敛，则称原级数1nnu绝绝对对收收敛敛。 定定理理 7 7 若1nnu收敛，则1nnu必收敛。 nnnuuuuu3211 （1）nnnuuuuu3211 （2） 1nnu收敛1nnu收敛； 但 1nnu收敛1nnu收敛； 例如：111) 1(nnn收敛，但11nn发散。 若用比值判别法或根值判别法

11、判断出1 nnu发散时，则可断定1nnu也发散。 2 2 条条 件件 收收 敛敛若级数1nnu发散，但级数1nnu收敛，则称级数1nnu为条件收敛。例 7.证明级数14sinnnn绝对收敛。 证证明明：4sinnn41n，14sinnnn也收敛， 故14sinnnn绝对收敛。 而级数 p141nn收敛， 解： 218 :( 1).2例判别级数的敛散性nnnn2211( 1)22nnnnnnn2112(1)21limlim122nnnnnnunun21.2正项级数收敛nnn21( 1).2原级数绝对收敛nnnn1lnnnn也发散， （1）nnnnln) 1(1 故nnnnln) 1(1非绝对收敛

12、。设xxxfln)(， 解：11lnln) 1( nnnnnnn， ln1,(3)nnnn11,而发散nn例 9.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛。 )( , 02ln22ln1)(2exxxxxxxxxxf，xxxfln)(在),(2e内单调减少， 故nnnfln)(当8n时也单调减少，又02lim211limlnlimxxxxxxxx，0lnlimnnn。由Leibniz法可知， nnnnln) 1(1收敛，且为条件收敛。 （2）11( 1) (1 cos)nnn （常数0） 解:设1( 1) (1cos)nnun ， 当n时，11cosnun 2112 n ， 211cos1lim12

13、nnn ， 2111.1,;210,;20,.则则 与与同同敛敛散散当当时时 原原级级数数绝绝对对收收敛敛 当当时时 由由莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法知知 原原级级数数条条件件收收敛敛 当当时时 级级数数不不符符合合收收敛敛的的必必要要条条件件 故故发发散散nnnun 11( (3 3) )讨讨论论级级数数 的的敛敛散散性性, ,条条件件收收敛敛? ?绝绝对对收收敛敛? ? ( (注注: : 可可正正可可负负) ) npnaa n证： （1）12nna和12nnb都收敛，)(212nnnba 也收敛。 0222nnnnbaba， 由比较判别法知12nnnba收敛，再由级数的性质 1 得1nnn

14、ba收敛。例 10如果12nna和12nnb都收敛，证明下列级数都收敛： （1）1nnnba； （2）12)(nnnba； （3）1nnna。 （2）)2()(22112nnnnnnnnbababa，12nna和12nnb都收敛，又由（1）知12nnnba绝对收敛，由级数的性质 2 可知12)(nnnba收敛。（3）12nna和12121nnnnb都收敛， 由（1）得11nnnnnnaba收敛。 （1）设常数0，且级数12nna收敛， 则级数12) 1(nnnna（ ） （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性有关与 。 例 11选选择择题题 解：为了把12) 1(nnn

15、na与12nna联系起来， 利用不等式)(2122baab， 221) 1(nanannn)1(21)1(212222nanann，12nna与121nn收敛，)1(21122nnna收敛，从而12) 1(nnnna绝对收敛，故应选（C C） 。（2）若级数1nna与1nnb都发散，则（ ） （A）)(1nnnba 发散； （B）nnnba1发散； （C）) (1nnnba 发散； （D）)(212nnnba发散。 解：1nna与1nnb都发散， 否则，由nnnbaa就推出1nna收敛， 与题设矛盾，则应选（C C） 。) (1nnnba必发散。 （A） 、 （B） 、 （D）不对。 反例：1

16、1 nn与)1(1nn都发散， 但110 )11( nnnn收敛； 1211 )1()1( nnnnn收敛； 122122 )1()1( nnnnn收敛。 （3）设)11ln() 1(nunn，则级数（ ） （A）1nnu与12nnu都收敛； （B）1nnu与12nnu都发散； （C）1nnu收敛而12nnu发散； （D）1nnu发散而12nnu收敛。 解：1nnu是交错级数，)111ln()11ln(nn， 0)11ln(limnn，则1nnu收敛。 当n时，)11 (ln22nunnn1)1(2， 而11nn发散，则12nnu发散。 故应选（C C） 。 例 12设正数列单调减少 nu，且

17、级数1) 1(nnnu发散， 试证1)11(nnnu收敛。 证：正数列单调减少 nu，0nu， 必收敛 nu，设Aunnlim，0 A则。 1) 1(nnnu发散， 0limAunn，否则与Leibniz判别法矛盾。 11111lim)11(limAuunnnnnn， 1)11(nnnu收敛。 11.11或用比较法()() 判定nnnuA 1111(1)()(2)(1)例13.设为单增有界正数列,证明下列级数收敛: nnnnnnnuuuuu2132111111lim0(1),(2).(1)()()()lim().证明:为单增有界数列, 且均为正项数列 则 所以级数收敛nnnnnnnnnnnnu

18、uaSuuuuuuuuSauuu1111111111(2)limlim0(1)(). 由 比 较 法 的 极 限 形 式 知 与同 为 收 敛 级 数nnnnnnnnnnnnnuuluuuauuuu122114.0(1,2,),例设.证明收敛nnnnnnaanSaaaS 210(1,2,),lim( 0)证明:正项单增,且为正项级数 从而或nnnnnnnaanSSSs12111110nnnnnnnnnnnaaSSSS SS SSS11121111112111()111111()()11111lim,() 考察正项级数其部分和 从而或 则级数收敛由比较法知 收敛nnnnnnnnnnnnnnnSSTSSSSSSTaSaSSaS01( )( )(0)lim0.1( )设内阶连续导数证绝对敛导xnf xf xUxfn例15.在具有二,且