函数极值的求法

1、函数极值的求法函数极值的求法一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x函数极值的求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设

2、函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定

3、点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x函数极值的求法( (1 1) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值. .( (2 2) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .( (3 3) )如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符符号号相相同同, ,则则)(xf在在0

4、 x处处无无极极值值. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)函数极值的求法xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)函数极值的求法例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,

5、( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx函数极值的求法593)(23 xxxxfmm图形如下图形如下函数极值的求法 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值; ;( (2 2) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件

6、) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值函数极值的求法例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 2

7、0243)(23 xxxxf图形如下图形如下函数极值的求法mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 函数极值的求法例例3 3解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.m函数极值的求法三、小结三、小结极值是函

8、数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)函数极值的求法思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.函数极值的求法思考题解答思考

9、题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点函数极值的求法当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 函数极值的求法一、一、 填空题：填空题：1 1、 极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质. .2 2、 若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处

10、到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、 函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _ ；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、 已知函数已知函数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为为极极_ y小值 ； 当小值 ； 当时时_ x，为为极极_ y大值大值. .练练 习习 题题函数极值的求法一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),无；无； 4 4、1 , 0 ,)1( ,13eee; ;二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(, ,极小值极小值 ), 2, 1,