双曲线知识点及配套练习

1、双曲线知识点及配套练习【知识点1】双曲线定义：平面内一动点到两个定点、的距离的差的绝对值等于定长，即若，则点的轨迹叫做双曲线，、为此双曲线的焦点；若，则点的轨迹是以、为端点的两条射线；若，则点的轨迹不存在.双曲线的标准方程：（1）两焦点在轴上时，方程为（），焦点坐标为，其中 （2）两焦点在轴上时，方程为（）焦点坐标为，其中双曲线方程的一般形式： （）【题型1】直接双曲线利用定义：1、动点到定点的距离比它到定点的距离小，则点的轨迹是（ ） （a）双曲线 （b）双曲线一支 （c）一条射线 （d）两条射线2、已知、，动点满足，则点的轨迹是（ ） （a）双曲线 （b）与对应的双曲线下支 （c）与对应的

2、双曲线上支 （d）两条射线3、双曲线上一点到一个焦点距离为，则它到另一个焦点距离为 4、是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，则 5、已知两圆:，：，动圆与两圆、都相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）（a） （b）（） （c） (d) 或【题型2】强化双曲线标准方程：1、已知方程中，则方程表示的曲线是（ ） （a）焦点在轴上的双曲线 （b）焦点在轴上的椭圆 （c）焦点在轴上的椭圆 （d）焦点在轴上的双曲线2、若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 3、已知双曲线的实半轴，半焦距，且焦点在轴上，则它的标准方程是 4、已知双曲线的一个焦点为，则实数的值是 5、双曲线（）的焦点坐标是 6

3、、已知椭圆与双曲线的焦点相同，则实数 7、判断方程（）所表示的曲线.【题型3】利用待定系数法求双曲线方程：1、焦点在轴上，焦距为，且过点的双曲线的标准方程是 2、设双曲线与椭圆有共同焦点，且有一个交点的纵坐标为，求双曲线方程.4、已知双曲线焦点在同一坐标轴上且关于原点对称，点和点在双曲线上， 求双曲线的方程.【题型4】定义和方程的应用：1、双曲线方程的左右焦点分别为、，直线过点交双曲线的左支于、两点，且 ，则的周长是 2、已知椭圆与双曲线，、是它们的焦点，是椭圆与双曲线的一个交点， 则的大小是 3、已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为 4、已知双曲线的左、右焦点、，是双曲线

4、上的一点，若，则 5、为双曲线上的一点，为一个焦点，以为直径的圆与的位置关系是 6、设、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，求的面积.【知识点2】双曲线的渐近线 （1）焦点在轴上的（），其渐近线方程为；（2）焦点在轴上的（），其渐近线方程为.相同渐近线的双曲线：（）与（，）相同焦点的双曲线： （）与（）共轭双曲线：双曲线与双曲线（）等轴双曲线：（），其渐近线方程为【题型5】利用双曲线的渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线的渐近线方程为（不同时为），则可设此双曲线方程为，其中不等于零的待定常数.1、双曲线的虚轴长为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 2、与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线的标

5、准方程为 3、与双曲线有共同渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程是 4、已知双曲线的渐近线为，焦点为椭圆的一对顶点，则其方程为 【题型6】双曲线的渐近线的应用：1、双曲线的两条渐近线的夹角大小为 2、以双曲线的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程为 3、已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）a.(,) b. (,) c. , d. ,4、已知双曲线，为上的任意一点，（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.【知识点3】直线与双曲线的位置关系：与双曲线有两个公共点、与双曲线只有一个公共点、与

6、双曲线没有公共点直线与双曲线的位置关系的判断：设直线， 双曲线，把直线方程代入双曲线方程中，整理得： (1)直线与双曲线相交：. 若且，方程有两个不等实根，则直线与双曲线有两个公共点；. 若，则方程为一次方程，直线与双曲线只有一个公共点，这时直线与渐近线平行；(2)直线与双曲线相切若且，方程有两个相等的实根，这时直线与双曲线只有一个公共点；(3)直线与双曲线相离若且，方程没有实数根，则直线与双曲线没有公共点.直线与双曲线有两个不同的公共点，这时所得的弦长计算公式：直线与 双曲线交于，两点，则【题型7】研究直线与双曲线的交点个数：1、过点可以作_ _ 条直线与双曲线有且只有一个公共点2、过点且与

7、双曲线只有一个交点的直线有( )a1条 b2条 c3条 d4条3、已知直线与双曲线，试讨论实数的取值范围，使得直线与双曲线： （1）没有公共点；（2）有两个公共点；（3）只有一个公共点；（4）交于异支两点；（5）交左支两点【题型8】直线与双曲线相交所得的弦长问题：1、过双曲线的右焦点作直线交曲线于a、b两点，若，则这样的直线存在 ( )a 0条 b 1条 c 2条 d 3条2、过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求.3、斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为2，求直线的方程.4、双曲线的中心在原点，焦点在轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点，若，且，求双曲线的方程.【题型9】直线与双曲线位置关系的综合应用：1、已知双曲线，过点能否作一条直线，使得它与双曲线交于、两点且以为线段的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由2、已