概率论总结复习第五章

1、第五章 大数定律及中心极限定理习 题 课二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.大数定律大数定律二、主要内容中心极限定理中心极限定理定定理理一一定理二定理二定理三定理三定理一的另一种表示定理一的另一种表示定理一定理一定理二定理二定理三定理三契比雪夫定理的特殊情况有有数数则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均个随机变量个随机变量作前作前和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量

2、 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一种表示. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则序列则序列和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量伯努利大数定理有有则则对对于于任任意意正正数数率率在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概是是事事件件的的次次数数发发生生次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件是是设设 , 0 , , ApAnnA. 0lim1lim

3、 pnnPpnnPAnAn或或辛钦定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且且具具有有数数学学期期望望服服从从同同一一分分布布相相互互独独立立设设随随机机变变量量有有则对于任意正数则对于任意正数, . 11lim1 nkknXnP独立同分布的中心极限定理则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn .111 nkknkknkknXDXEXY标准化变量标准化变量满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)

4、( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim李雅普诺夫定理, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 德莫佛

5、拉普拉斯定理恒恒有有对对于于任任意意则则的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为设设随随机机变变量量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 三、典型例题 解解. , 1 , : 4). 3, 2,1,()( , , 1221指指出出其其分分布布参参数数并并近近似似服服从从正正态态分分布布随随机机变变量量大大时时充充分分当当证证明明已已知知样样本本的的简简单单随随机机是是来来自自总总体体假假设设 niinkknXnZnkXEXXXX , , 21独独立立同同分分布布因因为为nXXX , , 22221也独立同分布也独立同分布所以所以nXXX

6、例例1,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的极限分布是标准正态分布的极限分布是标准正态分布. , 充分大时充分大时故当故当n,近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布nV , 充充分分大大时时从从而而当当n )(12224近近似似服服从从 nnVnZ . , 22422的的正正态态分分布布参参数数为为n ?1000161,6000,61,的概率是多少的概率是多少之差的绝对值小于之差的绝对值小于所占的比例与所占的

7、比例与试问在这些种子中良种试问在这些种子中良种粒粒选选今在其中任今在其中任其中良种占其中良种占现有一批种子现有一批种子解解 , 0, 1粒不是良种粒不是良种第第粒是良种粒是良种第第令令iiXi., 2, 1ni ,61)1( iXP则则,1 niinXY记记.6000,61, nnBYn则则例例2根据题意根据题意, 所求概率为所求概率为 10001616000nYP),61000( nYP,61,6000 BYn因因为为由由中心极限定理中心极限定理有有:,651000,1000 NYn近近似似服服从从 10001616000nYP所所以以 6/5100066/510001000nYP15000

8、662 1)208. 0(2 15832. 02 .1664. 0 . )975. 0)96. 1( ,( ,19.6 3 ,100 ),10, 0( 2 效数字效数字要求小数点后取两位有要求小数点后取两位有的近似值的近似值并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出的概率的概率绝对值大于绝对值大于次测量误差的次测量误差的至少有至少有次独立重复测量中次独立重复测量中在在试求试求假设测量的随机误差假设测量的随机误差NX解解, 6 .19 概概率率的的值值大大于于为为每每次次测测量量误误差差的的绝绝对对设设 p6 .19 XPp 106 .1910XP例例3 96. 110XP,05. 0)96. 1(22 , 6 .19100 的的次次数数出出现现次次独独立立测测量量中中事事件件为为设设 Xk , 05. 0 ,100 的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为则则 pnk3 kP 故故31 kP2989910005. 095. 029910005. 095.