高考数学必考点解题方法秘籍解题建议理

1、2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：解题建议我们对高考解题的基本建议是（6条）：明确解题过程；夯实解题基础；防止解题错误；掌握解题策略；精通三类题型；运用答题技术（1）明确解题过程；（四步程序）理解题意思路探求书写解答回顾反思（2）夯实解题基础；（四个因素）知识因素能力因素经验因素情感因素（3）防止解题错误；（四种类型）知识性错误逻辑性错误策略性错误心理性错误（4）掌握解题策略；（四个策略）模式识别差异分析层次解决数形结合（5）精通三类题型；选择题填空题解答题（6）运用答题技术 提前进入角色迅速摸清“题情”执行“三个循环”做到“四先四后”（先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异）答题“一慢

2、一快”立足中下题目，力争高上水平立足一次成功，重视复查环节运用解题策略于分段得分：分解分步缺步解答引理思想跳步解答以退求进退步解答正难则反倒步解答扫清外围辅助解答1 测试复习成果 提供复习导向1-1 第一阶段复习要做到“四过关”（1）能准确理解书中的任一概念；（测试1，测试4）（2）能独立证明书中的每一定理；（测试1，测试2）定理从两个方面提供重要方法；要会定理的正用、逆用、连用、变用、巧用、活用潘承洞教授1979年出高考题，只出了一道题：“叙述并证明勾股定理”，得分不全国做对的人不到001（百里挑一），潘教授不敢承认是他出的；1981年考余弦定理呈两极态势；2010年四川高考证明两角和的余弦

3、公式，50万考生做对的仅几百人（千里挑一），议论纷纷； 2011年陕西考余弦定理，也是议论纷纷；2012年陕西考三垂线定理及逆定理没有议论了（3）能熟练求解书中的所有例题；（4）能历数书中各单元的作业类型（统计）（真正做到“四过关”可望高考得120分，得分率080）课本类型统计1-2 第二阶段复习要抓住五个方向如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习、全面覆盖的话，那么第二阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高了 （1）第一阶段中的弱点； （2）教材体系中的重点；（3）高考试题中的热点；（4）中学数学的解题方法体系；（5）应试的技术:针对性、实用性、系列化这五个方面是复习工作的继续深入与

4、自然提高，也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近（这五个方面与近几年的高考题相结合，可望高考得130分，得分率086）1-3 “四过关”测试大家“四过关”没有呢？测试1：（是否形成良好的认知结构，脑子里有无思维路线图）例1-1 闭上眼睛，你能回忆起几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！文科必考内容：共20个知识板块，约260课时、180个知识点；理科必考内容：共21个知识板块，约290课时、210个知识点）例1-2 当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！（思维概念图） 图1 例1-3 对于您能写出多少个等式？越多越好！（思维概念图） （同角关系） （诱导公式） （和差倍半公

5、式）=sin=(1+cos)tg=2sin=2cos=测试2：四过关了吗？（认知结构，思维能力，经验题感，情感态度）例2 余弦定理的3个话题例2-1 余弦定理记得住、会证明吗？思路1（向量证明）：分析要证 ，只需证 ，只需证 ， 只需证 图2 如图2，最后一式显然成立，故有证明如下（由繁到简、三项变一项）（把数量转变为向量）（向量运算、变三项为两项）（向量运算、变两项为一项）（把向量还原为数量）思路2（坐标证明） 如图3，在中，设，由向量数量积的定义,有 图3 （把向量变为坐标）（坐标运算） （坐标运算），（把向量变为数量）得 可见，余弦定理是向量数量积定义的一个特例 如果在单位圆上，记，则

6、可见，余弦差角公式是向量数量积定义的一个特例例2-2 一个流行的几何证明其证明过程是对角分三种情况讨论，得出 （1）当角为直角时，由勾股定理，得 ，所以，当角为直角时，命题成立（2）当角为锐角时，如图4，过点作对边的垂线，垂足为，则 ， 在中，用勾股定理，得，消去并把代入，得 图4 （消去） （把代入消去） （展开）， （把代入消去）所以，当角为锐角时，命题成立 （3）当角为钝角时，如图5，过点作对边的垂线，交的延长线于，有 ， 在中，用勾股定理，得 ，消去并把代入，得 （消去） 图5 （把代入） （展开）， （把代入）所以，当角为钝角时，命题成立 综上（1）、（2）、（3）可得，在中，当角为

7、直角、锐角、钝角时，都有 同理可证，问题在于，当角为锐角时，角还可以为直角或钝角（既有知识性错误，又有逻辑性错误）例2-3 余弦定理的逆命题（怎样叙述，真假如何） 对应余弦定理的符号等式，交换条件与结论，我们给出逆命题为： 逆命题1 若为正实数，有，则对应的线段构成一个三角形，且边的对角为，边的对角为，边的对角为证明 由，有，得，又因为正实数，所以同理，由， 有 ，所以，对应的线段可以构成一个三角形记这个三角形为，而边的对角为，边的对角为，边的对角为，由余弦定理，有但由已知又有所以 由余弦函数的单调性，得，即边的对角为同理，得边的对角为，边的对角为 逆命题2： 对于正实数，及，若有，则对应的线

8、段构成一个三角形，且边的对角为证明 由，有，得，即 ，又因为正实数，有 所以，对应的线段可以构成一个三角形记为，而边的对角为，由余弦定理，有但由已知又有所以 由余弦函数的单调性，得，即边的对角为测试3：四过关了吗？（认知结构，思维能力，经验题感，情感态度）例3-1 （空间图形的最短路程）如图6，一圆柱体的底面周长为24cm，高为4cm，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程为 图6 解 把圆柱体沿母线展开，得图7所示的矩形，从点到点的最短路程就是线段的长因为的长是底面圆的周长的一半12cm，高的长是4cm，所以在中，由勾股定理得cm 图7 同意的举手不同意的站起来反思（1）合理成分

9、例3-1中有三个“化归”是很好的：化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题； 化归2：把一个空间问题转化为平面问题；化归3：把一个平面问题转化为解直角三角形（用到两点之间直线距离最短）（2）认识封闭但是，在把空间图形展平时没有注意到由点到点有两类路径：只走侧面（有两条路线），展平后，转变为“两点之间直线距离最短”；既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（认识封闭1），更没有看到第二类路径的多样性（认识封闭2）（逻辑性错误）如图8，将圆柱的

10、侧面展开为矩形、上底面展开为母线上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离： 第一条，如例3-1所述，是沿侧面展平后的直线距离，有第二条，是先沿侧面走母线，然后走圆的直径，展平后有由于，所以比更小 图8那么，是不是任何情况下都有呢？例3-2 如图6，一圆柱体的底面周长为16，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是( )解 如图8，沿用例3-1的解法，有 ， ，但，所以那么，什么时候小、什么时候小呢？（3）问题探索考虑更一般性的情况例3-3 如图6，一圆柱体的底面周长为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程解 如图8，沿用例3-1的解法，

11、有 ， （1）（2）（3）记常数为，可见，与的大小关系有三种情况：当时，沿侧面爬行的路程最短，为；当时，先竖直向上爬到的正上方，再沿直径爬到点的路程最短，为；当时，两种爬行方式的路程一样看上去，这种讨论已经很细致了，然而，这依然有认识的封闭（4）进一步思考事实上，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的路径，除了以上两种之外，还存在无穷多条从到的路径如图9所示：，其中是侧面上的最短距离（侧面展平后的直线距离），是上底面两点之间的直线距离图9下面，我们来讨论的最值设圆心角，则，展平后，为圆与矩形的切点，为折线，在直角中，有，在中用余弦定理，有 ，得的长度为函数 ，（）闭区间上的连续函数必有最大最小

12、值，不作展开测试4 三视图（江苏不考）如图10，给出正方体（为了避免相关方向的线被重合（比如与重合），图形作了一些技术性的调整）例4-1 （1）请画出正方体的三视图（三个正方形，请保留）（2）若在正方体中截去一个三棱锥，得到如图11的几何体，请画出图11的三视图（在保留图上继续，结果为图12：三个正方形都加上一条对角线） 图10 图11 图12（3）若在图11的基础上再截去一个三棱锥得到如图13的几何体，请画出图13的三视图图13结果：图11、图13的三视图均为图12，因为三视图中与 重合，与 重合，与 重合（不同的几何体有相同的三视图） 例4-2 （4）若在图11的基础上再截去两个三棱锥,得

13、到如图14的几何体，请画出图14的三视图 图14（5）再从图14几何体中截去三棱锥得到如图15的正四面体，请画出图15的三视图图15图16 结果：图14、图15的三视图均为图16，因为图14中三棱锥的三视图完全被图15的三视图重合： 正视图中，图15的重合了图14 的，图15的重合了图14的；左视图中，图15的重合了图14的，图15的重合了图14的；俯视图中，图15的重合了图14的，图15的重合了图14的结论：不同的几何体可以有相同的三视图；同一个几何体摆法不同可以有不同的三视图（概念理解、技能熟练）例4-4 （2010年高考数学福建卷文科第3题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图18所

14、示，则其侧面积等于（ ）（A） （B） （C） （D） 解 由正视图知，三棱柱是以底面 图17边长为2，高为1的正三棱柱，所以侧面积为，选（D）对不对？主视图为矩形的三棱柱不唯一，（1）左视图可以是一般平形四边（并非矩形）；（2）底面是正三角形的三棱柱其俯视图可以不是正三角形；就是说，题目给的三棱柱可以是斜三棱柱题目无解可以改为求体积高考修改题1 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图14所示，则其体积等于（ ）（ A） （B） （C） （D） 解 依题意，三棱柱的底面边长为2，三棱柱的高为1，其体积为，选（A）高考修改题2 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图14所示，则其侧面积的取值

15、范围为 解 依题意，三棱柱有两侧面为平行四边形，平行四边形的底为2、高为1，面积为2+2=4；第三个侧面为矩形，矩形的底为2、高为（为矩形面与底面的夹角），面积为得三棱柱的侧面积为（）当增大时，增大；当时，所以，侧面积的取值范围为测试5 形同而质异的三角题例5-1 若的角满足， 则 （2011年高中数学联赛一试B卷第5题）例5-2 若的角满足， 则 例5-3 若的内角满足，则 例5-4 若的内角满足，则 讲解第一、求解例5-1 若的角满足， 则 解：因为，代入已知等式并化简整理，得 又因为均为锐角，所以，故 （联赛题的参考答案）例5-2 若的角满足， 则 解：同上，把万能公式代入已知等式并化简

16、整理，得又因为均为锐角，所以，故 可见，两道题目不仅形式类似，其求解步骤也近乎雷同，只有答案与的数值差别，这个差别与已知两式中加减号的不同有关例5-3 若的内角满足，则 解 因为，代入已知等式并化简整理，得 所以，此题无解请分析，为什么例5-1与例5-3两道错题只是数字4与5交换了一下位置，就会形式上一个有解、一个无解呢？例5-4 若的内角满足，则 解 因为，代入已知等式并化简整理，得 所以，此题无解请分析，为什么例5-2与例5-4两道题目只是数字4与5交换了一下位置，就会一个有解、一个无解呢？第二、反思例5-1结论不成立证明在中，有，由正切函数在上为增函数知，得 可见，结论不成立例5-1条件

17、不成立在中，有 （三角形中） （诱导公式），（三角形中）得 得 ，与条件 矛盾可见，结论不成立今年高考题 已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点（2012高考数学福建卷理科第20题，14分） 讲解 由知，曲线在处的切线斜率为，得，这时于是，问题来了：计算得出过点处的切线重合于轴，与题目说的“在点处的切线平行于轴”到底有没有矛盾？有人说“同一平面内，且没有公共点的直线叫平行线，而重合有无数个公共点”，有矛盾，是错题；有人说“重合可以是平行的特例”，虽然不承认“错题”，也只肯定到“不要紧”，至

18、少在客观上有了歧义（歧义题），若提前发现肯定会修改比如改为：在点处的切线斜率为0，或在点处的切线垂直于轴2 数学高考解题的建议2-1 数学高考题（1）高考题：为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的，而组织化、系统化、标准化的数学问题组织形式，称为数学试题用于高考的数学试题称为高考题（2）高考创新题：高考主要通过创新试题来考创新精神（意识）数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于诊断考生的数学创新意识与数学创新能力高考创新题主要形式有开放探索题：高考中的开放探索题是指条件完备，但结论不确定、需要探索的数学问题有时候结论是开

19、放的，但为了阅卷方便，只要求考生写出三二个，不同的考生答案会不一样；有时候叙述为“是否存在？请说明理由”,需要考生自己去探索出结论并加以证明把开放性与探索性结合起来是这类题目的显著特点（参见例6、例7）信息迁移题：高考中的信息迁移题是在题目中即时提供一个新的数学情景（或给出一个名词概念，或规定一种规则运算等），让考生学习陌生信息后立即解答相关问题（迁移）这类题目背景公平，能有效考查学生的真实水平由于高考的选拔性质，即时提供的新信息常常有一定的高等数学背景，但不是考高等数学知识即时接收信息、并立即加以迁移是两个相关的要点（参见例8、例9、例10）情景应用题：这是一类有现实情境、重视应用的题目要求

20、考生通过文字语言、符号语言、图形语言、表格语言等的转换，揭示题目的本质属性，构建解决问题的数学模型函数、方程、数列、不等式、概率统计等主体内容是高考应用题建模的主要载体阅读理解和数学建模是解题的两个关键（参见例11、例12、例13） 过程操作题：这是一类通过具体操作过程，从中获得有关数学结论的题目，可以用来考查三维目标中的“过程与方法”由于高考条件的限制，“经历过程”无法“动手实践”，只能是一些“语言描述的操作过程”，但有的描述和操作会有现实情境、而不完全是数学内部的过程与操作（参见例14、例15）归纳（类比）猜想题：这是在观察相关数学情境的基础上，通过归纳或类比作出数学猜想的一类题目本来，由

21、归纳或类比作出的猜想可能对也可能错，但考试总是要求写出正确的猜想（学生中“有一定道理”的猜想可能会被判错）应该说，这是一类探索中的题型,最好有猜想理由的说明（参见例16、例17）例6 （2010年宁夏理科第14题、5分）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）点评：这是开放题，为考生搭建了一个自主探究的活动平台，使考生的才能得到充分发挥，使不同基础、不同水平、不同志向的考生都得到成功的体验，创新意识得到发展体现新课程关于评价的新理念（数学通报2012，1任子朝 陈昂：实施课程标准后高考数学能力考查研究）例7-1 （2011年陕西理科第21题、14分）设函数定义在上，导函数（）求的单调区间

22、和最小值；（）讨论与的大小关系； （）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由（探索题）例7-2 （2012年全国高考数学陕西卷理科第21题、14分） 设函数，（，）（）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（）设，若对任意，有，求的取值范围；（）在（）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性点评：第（）、（）问都需要考生自己去探索出结论并加以证明 例8 （2010年四川理科第16题）函数定义域为，若且时总有，则称为单函数例如，函数是单函数下列命题：函数是单函数；若为单函数，且则；若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数其中

23、的真命题是 （写出所有真命题的编号）（信息迁移）答案：解释 ：错，当时可以有（假命题，找反例）逆否命题，真命题推出必要条件，真命题提供充分条件，真命题例9 （2011江苏省数学卷第19题）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围；（2）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值（信息迁移题）点评：本题在考生理解了函数的单调性的基础上，新定义了“单调性一致”的概念，考生需要把新的定义与自己已有的知识融合，这种解决新问题的能力是考生在今后学习中非常重要的试题的第（2）问，实际是讨论不等式在区

24、间上恒成立问题，需要分类讨论，运用函数性质及实数运算的符号法则分析结果解决问题的过程中所用到的知识和方法并不深奥，但分析问题、解决问题的能力要求很高，属于对高层次数学思维和数学素质的考查学生进人高校或社会后能否继续发展，在很大程度上取决于他们的学习能力具有良好的阅读理解力是继续学习的前提近年的高考试卷对阅读理解能力，特别是对数学语言，包括文字语言、图形语言、符号语言、图表语言的阅读理解能力的考查加大了力度，教师在日常教学中应多加关注（参见本刊特约数学试题评阅组2011年高考数学试题“红黑榜”基础教育课程，2011，9）例10 （2010年天津理科第4题）对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图

25、像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） （信息迁移题）【答案】B例11 （2010年安徽理科第21题、13分） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述 ()写出的可能值集合；()假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；()某品酒师

26、在相继进行的三轮测试中，都有，(i)试按()中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由（这是数学高考中第一次出现概率题压轴）讲解 列表，计算1，2，3，4的全排列及相应的值1，2，3，4000001，2，4，3001121，3，2，4011021，3，4，2011241，4，2，3021141，4，3，2020242，1，3，4110022，1，4，3111142，3，1，4112042，3，4，1111362，4，1，3122162，4，3，1120363，1，2，4211043，1，4，2211263，2，1，4202043

27、，2，4，1211263，4，1，2222283，4，2，1221384，1，2，3311164，1，3，2310264，2，1，3302164，2，3， 1300364，3，1，2312284，3，2，131138（I）由表可见，的可能值集合为理论说明：在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，因此与的奇偶性相同，从而必为偶数的值非负，且易知其值不大于8所以X的值等于0，2，4，6，8（II）由列表的值，在等可能的假定下，得到02468（III）（i）首先，将三轮测试都有的概率记做，由上述结果和独立性假设，得 （ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测

28、得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测例12 （2011年湖北理科第17题、文科第19题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1

29、辆/小时）讲解 （）由题意：当；当时，可设再由已知得 解得 ，故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立因为，所以，当在区间20，200上取得最大值约为即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时例13 （2011年湖南理科第20题）如图1，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）或的平行面（只有一个面淋 图19雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为

30、，记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时 （）写出的表达式（）设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少解 （I）由题意知，移动时单位时间内的淋雨量为，故（II）由(I)知，当时，当时，合并得 (1)当时，是关于的减函数故当时，(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，点评：普通高中数学课程标准（实验稿）强调“发展学生的数学应用意识”，“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，这种理念在近年高考试题中体现得日渐鲜明2011年数学高考卷中又出了不少联系现实、联系生活的应用试题除例12、例13外，还有江苏的包装盒的面（体）积与正方形纸板裁剪方式的函

31、数关系的应用题、福建的商品销售量与销售价格函数关系的应用题、山东的容器的建造费与容器两端半球形半径函数关系的应用题、安徽的以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题等这些试题的背景考生都了解，所用的知识方法又是考生应知应会的，考生能否解决问题，能体现他们关注生活、关注数学应用、运用数学知识分析和解决问题的能力；同时试题充分体现了数学的文化价值与应用价值，能使学生感觉到数学有用，数学很亲切，数学就在我们身边（参见本刊特约数学试题评阅组2011年高考数学试题“红黑榜”基础教育课程，2011，9）例14 （2010年宁夏理科第13题、5分）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方

32、法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 （过程操作）例15 （本小题满分12分）如图2，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交与点再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记点的坐标为（）（）试求与的关系（）；（ ）求 图20 （2011年高考数学陕西理科第19题）（过程操作） 点评：本例通过指数函数的导数产生切线，由切线产生点列，由点列的横坐标产生等差数列、纵坐标产生等比数列并且第（）问既是等比数列的前项和，也是小矩形的面积和，它正是定积分的近似值同时，本题有牛顿

33、切线法的背景，一般地，过曲线上一点作曲线的切线交轴于点，有，可得递推公式所以，这道题也能体现数学视野例16 （2011年高考数学陕西理科第13题）观察下列等式照此规律，第个等式为 （归纳猜想题）解法1 由特殊到一般，分别找等式左右两边的规律（1）等式左边的首项：由已知等式首项分别为1，2，3，4，可猜想第个等式的首项为（2）等式左边的末项：由已知等式分别为1，3，5，7项之和，可猜想第个等式的为项之和，据等差数列通项公式，得等式左边的末项为（3）等式的右边：由已知等式右边均为项数的平方（），可猜想第个等式的右边为得第个等式为 验证知（等差数列部分和），这确实是恒等式解法2 由特殊到一般，分别找

34、等式左右两边的规律（1）等式左边的首项：由已知等式首项分别为1，2，3，4，可猜想第个等式的首项为（2）等式的右边：由已知等式右边均为项数的平方：，可猜想第个等式的右边为（3）等式左边的末项：由等差数列求和公式，得等式左边的末项为得第个等式为可见，本题以等差数列求和为载体，考查归纳猜想等差数列的通项公式或求和公式都是实质考到的（首项、项数、末项、和四要素） 例17 （2011年高考数学山东理科第15题）设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得： 当且时， 答案：解法1观察分子、分母分子为不变分母分为两部分：第一常数项为，第二一次项系数为常数项减：得 解法2观察分子、分母分子为不变分母分为两部

35、分：（）常数项为，（）下一等式的一次项系数为上一等式的两系数之和：得 即解法3 分离系数，分式对应为矩阵，则对应为矩阵的方 2-2 数学高考解题（1）平时解题是一种认识活动，是对知识（概念、定理等）的继续学习，是对方法的继续熟练，是在发生数学和掌握数学，而高考解题则是“通过解题水平来看数学思维水平”，是一种评估活动，是以解题能力的高低为考核标准、一次性笔试决定胜负的如果说平时作业要求“全做全对”的话，那么高考是加总分录取，不需要“全做全对”（2）高考解题的一般性高考解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高等学校招生考试的新试题这是一个从记忆模仿到探索发现的过程，关键在探索发

36、现，核心是通过推理、论证得出一个符合数学事实的结论一个重要的建议是化归为课堂上已经解过的题，化归为往年的高考题（或其变形）（3）高考解题的特殊性 高考解题与平时做作业的不同之处在于，解答高考题是在特定环境和特殊要求的条件下进行的，一道数学题成为高考题后，将具有不同于平时作业题的特性，如一道数学题成为高考题后，就成了一把“诊断、预测、甄别、选拔”的尺子（量表），已具有不同于平时作业题的诸多特性，如能力的代表性；（评价性质而非学习本身）分数的选拔性；（是考试就只能由成绩来说话）时间的限定性；（有速度要求、不要求全做全对）评分的阶段性（分段给分、分段扣分，做对的题会存在“潜在丢分”或“隐含失分”，而

37、不会做的题又可以得分不少）（4）高考解题需要我们迅速解决“从何处下手、向何方前进”这两个基本问题，临场的思维策略主要有模式识别，差异分析，数形结合，层次解决，当然，最重要的还是学会分析 （5）高考既是数学知识的较量又是心理素质的较量2-3 明确解题过程著名数学家、数学教育家波利亚写过一本风靡世界的书，叫做怎样解题，书中把解题过程分为四步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，并列出了一张解题表我们对解题表作通俗解说如下：（1）理解题意题目本身是“怎样解这道题”的钥匙只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑

38、关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意特别要抓好审题的“三个要点、四个步骤”“三要点”是： 要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站 要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些

39、数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构为了更接近问题的深层结构，审题

40、不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思应该是循环往复、不断深化的过程 题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示“4步骤”是：步骤1：读题弄清字面含义审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求用“定义”证明，有的题目要求用“数学归纳法”证明，

41、有的题目要求用数字回答，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做步骤2：理解弄清数学含义看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解 步骤3：表征识别题目类型信息在大脑的呈现叫做表征弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑

42、呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析”、“层次解决”、“数形结合”等措施，进入下一阶段拟定计划解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来步骤4：深化接近深层结构简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的对于变通过的、“形似而质异”的

43、、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题”因而，“弄清题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结构 经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢” （2）思路探求“拟定计划”的过程是探索解题思路的发现过程，也是一个化归过程，我们通常叫做寻找解题思路其最朴素的含义是，把待解决或未解决的问题，归结为一类已经解决或

44、者比较容易解决的问题波利亚的建议是分两步走：第一步，努力在已知与未知之间找出直接的联系化归为已经解决过的基本问题对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来（叫做模式识别）第二步，如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题等，这是最实质的曲折化归为此，在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议，促使我们产生灵感与念头（运用解题策略：以退求进、区分种种情况、正难则反、以及自始至终的数形结合等） 以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问题的一部分，看清楚、想明白了再进退是手段、进是目的，“难

45、的不会想简单的”是个好主意在具体实践中，常常是进退互化区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决在具体实践中，常常是分合并用正难则反：正面思考有困难时，可以调整思考的方向，转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反证法）在具体实践中，常常是正反相辅数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势 中学生寻找思路的一个便于操作的方法是分析法寻找思路的一个简易可行的思考是“特殊化”，先退后进、以退求进此外，模式识别、差异分析、数形结合、层次解决都是非常有效的

46、解题策略高考中的化归有两个基本的途径化归为课堂上已经解过的题因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课本”这个根本因为课本是高考命题的基本依据有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求可以说，抓住了“化归为课堂上已经解过的题”就抓住了多数考题化归为往年的高考题（或其变形）（3）书写解答就是把打通了的解

47、题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服自己、说服朋友、说服论敌高考中就是要说服阅卷老师在实现计划中“怎样表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题我们建议记住15字口诀、24字要领15字口诀：“定方法、找起点、分层次、选定理、用文字”24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范（对于网上阅卷，还要安排好书写的位置和字体的大小）（4）回顾反思 回顾的最起码要求是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的有的检验是解题的必要步骤，如分式方程、无理方程验根，其求解过程是必要条件过程，充分性并未解决

48、，验根之后，解题才算完成；有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关更深层次的回顾表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价如解题中用到了哪些知识？哪些方法？是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法?更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息它的长期积累会升华为人们

49、搜索、捕捉、分析、加工和运用信息能力的总和数学才能高考的回顾主要是复查检验，保证计算准确、推理合理、思维周密、避免过失 这4个步骤需要不断的反馈调节（如图5），即使4步完成了也存在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过反馈调节而精简；有时候思路还存在错误，通过反馈调节而纠正2-4 夯实解题基础冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素，但最基本的应有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素

50、，这也就是我们常说的解题基本功 （1）解题的知识因素（认知结构）人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件既然，解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！（参见函数思维概念图）要将知识按照自己的理解加以组织没有知识谈不上解题智慧不是别的，而是组织良好的知识体系（2）解题的能力因素（思维能力）数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其主要成分是3种基本的数学能力：运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，核心是能否掌握正确的思维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力