浅谈n行列示的求法

1、本科生毕业论文设计浅谈n级行列式的计算方法学 部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级：2015届1班学 生：王圆圆指导教师：赵晓清论文编号：2015230302131目 录中文摘要、关键词 1引言（绪论） 21、n级行列式的定义及其性质 21.1、n级行列式的定义 21.2、n级行列式的性质 32、n级行列式的计算方法 3 2.1、 定义法 32.2、 化三角形行列式法 32.2.1、 “爪”字消横竖法 32.2.2、 “么”字两撇相互消 62.3、 镶边法 72.4、 拆边法 82.5、拆项法 102.6、 递推公式法 112.7、 数学归纳法 122.8、 范德蒙行列式法 12结论 13

2、参考文献 13 英文摘要、关键词 14 浅谈n级行列式的计算方法摘要：行列式产生于解线性方程组，然而它的应用早已超出了它的范围。行列式的计算是学习高等代数的基石，是成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等许多数学分支的重要工具，因此对行列式的教学应予以重视。理论上，任何一个n级行列式都可以按照定义进行计算，但是当级数较高时直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的。因此，本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和技巧进行如下总结：定义法、化三角法、镶边法、拆边法等方法。并对相应方法应用在例题中进行了分析和解答，通过一系列的方法和特征的介绍，提高了学生对行列式的认识，

3、对以后矩阵乃至向量的学习都十分有益。关键词： n级行列式 化三角法 归纳 总结引 言行列式的计算是行列式这章很重要的内容,也是学习线性代数的一个难点。如果行列式的阶数不超过3 的，行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（如三角行列式）也可按行列式的定义求值，可是对于一般的n阶行列式，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。教材中对于行列式的计算也只是零散的讲解了一部分。因此，我将对行列式的计算方法进行了深入的归纳汇总，并通过一些典型的例题介绍n级行列式计算的一些方法及其技巧。1、 n级行列式的定义及其性质1.1、 n级行列式的定义n级行列式

4、D=等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1,2，,n的一个排列。这里每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带有负号。即这一定义可以写成=，这里表示对所有n级排列求和。例如：D=.1.2、 n级行列式的性质性质1、行列互换，行列式不变.即=性质2、对换行列式两行的位置，行列式反号，即=性质3、行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，就相当于用k乘此行列式，即=k.如若k=0,即有：行列式中有一行为零，那么行列式为零。性质4、如果行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和,即=+性质5、如果行列式中有两行相同

5、，那么行列式为零。所谓的两行相同，即两行的对应的元素都相等。性质6、如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。2、 n级行列式的计算方法2.1、定义法 n 阶行列式按照定义展开包含n!项。也就是说当n=5 时，已经包含120项。所以利用行列式的定义进行运算基本不现实。但是，如果对于一些行列式的零元素( 若有)分布比较有规律，如上( 下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解。例1、 计算n级行列式行列式的值。=解析：根据行列式的定义，行列式展开后的每一项都是来自不同行、不同列的n个元素的乘积。所以该行列式只含有一个非零项.这一项的逆序

6、数为n。因此，=.2.2、化三角形行列式法 若能把一个行列式经过适当的变换化为上（下）三角形行列式，那么其结果可简化为行列式主对角线上元素的乘积，因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。在这里，特殊提及下爪型行列式与么型行列式，这两种行列式的计算主要思想都是化三角形行列式，但求解的时候必须掌握它们各自的方法，这样会简单很多，从而也减少了计算量。例2、计算4级行列式的值.解析：=12.2.1、“爪”字消横竖法所谓的爪型行列式，就是元素的分配像爪子一样，主要有以下四种情况：，。这四种情况在计算时都是从爪尖着手，向两边消零。利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，都可以把行列式化成“三角形”行

7、列式。此方法归纳为：“爪”字消横竖法。例3、计算n+1级行列式的值解析：从第二行起，将第i行的倍加到第1行（i=2,3，,n）即，D=例4、计算n级行列式的值解析：将第i列（i=2,3，,n）的-i倍都加到第1列上，得.2.2.2、“么”字两撇相互消同上，“么”字行列式，就是元素的分配像么字一样，主要有以下几种情形：，。计算时，可利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角行列式.此方法可归纳为:“么”字两撇相互消.注意:消第一撇的方向是沿着“乙”的方向,从后向前,利用an,消去cn；然后再用an-1，消去cn-1,依次类推. 例5、计算n+1级行列式的值.解：从最后一行开始将后一

8、行加到前一行，消掉第一撇，化为下三角形行列式。Dn+1=2.3、镶边法镶边法又叫升阶法，是把 n 级行列式适当地添加 m 行 m 列（m1）使得到的加边行列式更有特点，进而求出原来行列式的值。当然，镶边的过程必须保值，而且通过镶边得到的高阶行列式要比原来的行列式更容易计算。一般，凡是利用镶边法计算的行列式都具有一个明显的特征，即：除行列式对角线元素外，其余元素均相同，或任两行（列）对应元素成比例，而所镶的行和列根据需要而定。这种方法表面上是把问题复杂化，但只要加边巧妙，实际上有时可以起到事半功倍的效果。例6、计算n级行列式的值.解：第一步，加边得；第二步，从第二行起，每一行都减去第一行，得，可

9、见，我们将其化成了一个爪形行列式；第三步，将第i行（i2）的-2mi-1倍加到第一行，得=2.4、拆边法拆边法又叫做降阶法，它是计算行列式的又一主要方法。主要思想是应用行列式的展开定理与行列式的性质,将一个n级行列式化为n个n-1级行列式的代数和。一般我们选择含零元素较多的行（列），可先利用性质将行列式的某一行(某一列)化成仅含一个非零元素,然后按此行(列)展开,化成低一级的行列式。以此类推，我们便可以将一个n级行列式拆边化为许多个2级行列式，使问题简化得以计算。例7、计算4级行列式的值.解：第一步，将第2列的-3倍加到第3列，可得；第二步，按照行列式的第二行展开可得，=-；第三步，将第2行的

10、-3倍加到第1行及将第2行的4倍加到第3行得，-=-（-1）2+1=-358例8、计算4级行列式解析：先将第三行的元素化成只含一个零，得=.2.5、拆项法拆项法是将已知行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用行列式的拆项性，拆成一些我们熟悉的两个或若干个行列式的和。在计算一个行列式时元素从分布上呈现以对角线、上三角、下三角三部分特征的这类行列式适用于拆分法。例8、计算n级行列式的值.解：第一步，将行列式第一行进行拆分，可得Dn=+;第二步，将上式右边第一个行列式第i行（i=2,3,n）减去第1行的i倍，然后，提取每一行的公因子；将第二个行列式第1列提取公因子，然后用第i行减去第1行

11、的yi倍（i=2,3，,n），最后提取每一行的公因子,即Dn=+y1=+y1=+n! y1；综上所述，当n=2时，；当n3时，Dn=0.2.6、递推公式法想用此方法一定要看行列式是否具有较低级的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。递推法是根据行列式的特点，把一个n级行列式表示为具有相同结构的较低级行列式（比如，n-1级或n-1级与n-2级等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低级初始行列式（比如二级或一级行列式）的值，便可递推求得所给n级行列式的值，这种计算行列式的方法我们称之为递推公式法（有时计算时需要利用D1 D2的值）。例9、计算五

12、级行列式的值。D5=解：D5=2D4-D3=22D3-D2-D3=-6=12-6=6.2.7、数学归纳法数学归纳法也是计算n级行列式的主要方法之一，特别是用来证明n级行列式的值。一般情况下，当Dn与Dn+1是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求解。这里主要是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。先通过计算一些初始行列式D1、D2、D3等，找出它们的结果与级数之间的关系，用不完全归纳法对Dn的结果提出猜想，然后用数学归纳法证明其猜想成立。例10、计算下列n级行列式解：仔细观察行列式的特点，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当n=2时，=当n=3时，=假设当n=k时

13、，有则当n=k+1时，把按第一行展开，得=所以，对于任意的正整数n，有.2.8、范德蒙行列式法范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果。例11、计算行列式的值解：看到行列式可以想到把应求行列式转化成范德蒙行列式，如下：=10=-10=-10（2-1）（3-1）（4-1）（3-2）（4-2）（4-3）=-120.例12、计算n级行列式的值解析：把第1行的-1倍加到第2行，把新的第二行的-1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n-1行的-1

14、倍加到第n行；可得可见，上述最后一个行列式是一个范德蒙行列式，因此结 论行列式的计算是非常灵活的，往往方法不同，难以繁简差别程度甚大。有时几种方法可以同时交叉使用，但最终的目的是使计算过程简洁、方便。因此。我们要擅于选择适当的方法，掌握这些方法与技巧，只有我们掌握了这些方法，我们才能更有效的计算行列式的值。本文对这些技巧进行了探讨归纳，但是也只是总结了一部分,还有一些常用方法和技巧由于篇幅有限在这里就不一一列举。参考文献1王作忠.行列式计算方法与技巧J.民营科技,2010.2王萼芳，石生明.高等代数M.高等教育出版社,2003.3北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M。2版.北京:

15、高等教育出版社，2003.4王艳霞.N种行列式的几种常见的计算方法J.山西大同大学学报,2008.Introduction to the calculation methods of N level determinantAbstrac: Determinant produced in solving linear equations, but its application is beyond the scope of it already. Determinant of the calculation is the foundation of learning advanced algeb

16、ra, is to become a analytic geometry, mathematical analysis, differential equations, probability statistics and many other important branch of mathematics tools, therefore the determinant of teaching should attach importance to it. In theory, any a level n determinant can be calculated according to

17、the definition, but when the series high direct calculation, by definition but not with the aid of computer is sometimes not possible. Therefore, this article on the basis of summarizing the existing conventional determinant calculation methods, the methods and techniques for calculating the determinant summarized as follows: definition, trigonometry, edge, edge method and other methods. And the corresponding methods are analyzed and soluti