13度量空间的可分性与完备性讲课稿

1、1 3 度 量 空 间 的 可 分性与完备性精品资料1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质 为实数空间R的可分性同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必 收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域 0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密若A B，通常称A是B的稠密子 集.注1 : A在B中稠密并不意味着有A B .例如有理数在无理数中稠密；有理 数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的， 说明

2、任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) x B ， 斗 A，使得 lim d(xn,x) 0 ；n(3) B A (其中A AU A， A为a的闭包，A为A的导集(聚点集)；任取 0，有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组x A成的集合覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，贝U A在C中稠密.证明由定理1.1知B A， C B，而B是包含B的最小闭集，所以B B A，于

3、是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区 间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1)多项式函数集Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：连续函数空间Ca,b在有界可测函数集Ba,b中稠密.(3)有界可测函数集Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性 定理1.3.2可得：(4)连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1p ).因此有 Pa,b Ca,b Ba,bLpa,b.定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列Xn

4、 A，且Xn在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分 的度量空间.注3： X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn (帚2丄，rn)|i Q,i 1,2,L ,n为Rn中的有理数点集，显然Qn是可 数集，下证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x (x , X2,L ,Xn)，寻找0中的点列rk，其中rk (,*,L ,*)，使得rkx(k ).由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数x (i 1,2,L ,n)，存在有理数列rk Xi(k

5、).于是得到Qn中的点列“，其中rk (,*,L ,rnk)， k 1,2, L .现证 rkx(k ) .0，由 rkx(k )知，Ki N，当 k K 时，有|rk x | ，i 1,2,L , nJnmaxQ,K2,L ,Kn，当 k K 时，对于 i1,2丄，n，都有|rk一，因此.n仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料即rkx(k )，从而知Qn在Rn中稠密.口例1.3.2连续函数空间Ca,b是可分的.具有有理系数的多项式的全体FOa,b在Ca,b中稠密，而FOa,b是可列集.证明 显然Foa,b是可列集.x(t)

6、Ca,b，由Weierstrass多项式逼近定理知，x(t)可表示成一致收敛的多项式的极限，即0,存在(实系数)多项式P (t)，使得d(x,p) max|x(t)p(t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式Po(t) Foa,b，使得d(p ,po) max|p (t) po(t)| 2因此，d(x, po) d(x, p) d(p,po)，即 po(t) O(x,)，在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域内必有P0a,b中的点，按照定义知P0a,b在Ca,b中稠密口例133p次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于P0a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa

7、,b中稠密，便可知可数集 Poa,b在 Lpa,b中稠密.口例1.3.4p次幕可和的数列空间lp是可分的.证明取 Eo (",L ,rn,0,L,0,L )|r Q,n N，显然Eo等价于UQn，可知Eo可n 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料数，下面证Eo在lp中稠密.x (X1,X2 丄，Xn,L ) l p，|x |p ，1因此0， N N，当 n N 时,又因Q在R中稠密，对每个x(1 i|x|x|pN 12n)，存在rpQ，使得2N，(i1,2,3,L ,N)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#

8、精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料于是得N|xi 1令 X0(1,2 ,L ,N,0,L ,0,L ) E0，Nd (x),x)(1|xri |p1|Xii |p)°1p p丄( )p22因此Eo在lp中稠密.口例1.3.5 设X 0,1，则离散度量空间(X,d。)是不可分的.证明假设(x,d°)是可分的，则必有可列子集Xn X在X中稠密.又知X不是可列集，所以存在X* X，x* Xn.取2，则有O(x , ) x d°(x,x )- x2即O(X*,)中不含«中的点，与Xn在X中稠密相矛盾.思考题：离散度量空间(X,d0)可分

9、的充要条件为X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625)10=(0.101)2 0.625 2=1.25取 1; 0.25 2=0.50取 0; 0.5 2=1.00取 1.二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2),第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推.即n 1(0X1X2L Xn)2 ( Xi )10，例如i 1 21 11(0.101)2=(二 1 丁 0 石 00(0.625)!。.2 48因此0,1与子集a X (X1,X2丄，Xn,L)Xn 0或1对等

10、，由0,1不可数知A不可列.例1.3.6有界数列空间I是不可分的.l X (X1,X2L ,XL)=(Xi)| X为有界数列，对于 X (X), y (yj l，距离定义 为 d(x,y) suplx y | .i 1证明 考虑I中的子集A X (X1,X2丄，Xn,L ) Xn 0或1，则当x,y A , x y 时，有d(x, y) 1 .因为0,1 中每一个实数可用二进制表示，所以 A与0,1 对 应，故A不可列.假设l可分，即存在一个可列稠密子集 Aa，以Aa中每一点为心，以-为半径3作开球，所有这样的开球覆盖I ,也覆盖A .因A可列，而A不可列，则必有某 开球内含有A的不同的点，设

11、X与y是这样的点，此开球中心为X0，于是1 1 21 d(X, y) d(x,X0) d(x°,y)3 33矛盾，因此I不可分.1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在 R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设xn是度量空间X中的一个点列，若对任意0,存在N，当m,n N时，有d(xm,Xn)则称Xn是x中的一个基本列(或Cauchy列).定理1.3.3 (基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1)如果点列Xn收敛，则Xn是基本列；如果点列Xn是基本列，则Xn有界；(3)若基本列含有一收敛子列，

12、则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限 占八、证明设斗 X , x X，且耳X 贝u0 , NN，当nN时，d(xn,x)-，从而 n，m N 时，d(Xn , Xm ) d(Xn,X) d(X, Xm )2 2即得Xn是基本列.设Xn为一基本列，则对1，存在N，当n N时，有d(XN 1 ,Xn)1，记 M maxd(Xi,XN J,d(X2,XN J,L ,d(XN,XN 1),1 1，那么对任意的 m,n，均有d(Xn，Xm) d(Xn,XN J d(Xm，XN J M M 2M，即Xn有界.(3)设Xn为一基本列，且XnJ是Xn的收敛子列，Xn kX(k ).于是，0, N1 N，当 m

13、,n 汕时，d(Xn,Xm)2 N，当 k N?时，d(Xn_x)-.取N maxM,N2，则当 nN，k N 时，n k k N，从而有d(Xn,X) d(Xn,Xnk) d(Xnk,X)，故 Xnx(n ) .注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收 敛列吗？例1.3.7 设X (0,1)， x, y X，定义d(x, y) x y，那么度量空间(X,d)的 点列Xn丄 是X的基本列，却不是X的收敛列.n 1证明对于任意的0,存在N N，使得N -，那么对于m N a及n N b，其中a,b N，有XnXm11a bN b 1N a 1(N a 1)

14、(N b 1)maxa,bd ( Xn , Xm)a b 1(N a 1)(N b 1) Na Nb N，即得Xn是基本列显然lim丄 0 X，故Xn不是X的收敛列.n n 1或者利用Xn 丄是R上的基本列，可知0， N N，当n,m N时有n 11n 1 m 1于是可知Xn- 也是X上的基本列口n 1如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义134 完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的度量空间例138 n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的

15、各坐标收敛，以及R的完备性易得.口例139连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g) max| f (t) g(t) |)t a, b证明 设Xn是Ca,b中的基本列，即任给 0,存在N，当m,n N时，d(Xm,Xn)即maXXm(t) X.(t)，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数故对所有的 t a,b, Xm(t) Xn(t)x(t)，使Xn(t)在a,b上一致收敛于 x(t)，即 d(Xm,x)0(n),且x Ca,b.因此Ca,b完备.1例 1.3.10 设 X C0,1，f (t),g(t) X，定义 d!(f,g)J f(t) g(t) dt，那么

16、(X,dJ 不是完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)01 fn(t)n (t 才1fn(t)C0,1的图形如图1.3.1所示.显然fn(t)0t21t112I2n11t12n1C0,1，n 1,2,3,L 因为 d1(fm,fn)是下面右图证明设中的三角形面积，所以10 , N ，当 m, nN时,图 1.3.1fn(t)C0,1图像及有关积分示意图于是fn是X的基本列下面证 fn在X中不收敛若存在f (t)使得1由于 d/fnf)o|fn(t) f(t)|dta(fn,f)0(n).1 12 -n1 I fn(t) f (t) | dt2120 I f(t)|dt11 1

17、-2 -n|1的三个积分均非负，因此dl(fn,f) 0时,f (t)每个积分均趋于零推得o t 0,41 t(加可见f(t)不连续，故fn在x中不收敛，即Co,1在距离a下不完备.口表1.3.1常用空间的可分性与完备性度量空间距离可分性完备性n维欧氏空间n(R ,d)d(x,y)J1(x2y)VVX可数0 当xy时VV离散度量空间(X,d。)d° (x, y)X不可数1当xy时XVd(f,g)max|f(t) g(t) |t a ,bVV连续函数空间Ca,bbddf,g)a")g(x) dxVX有界数列空间ld(x,y)sup| xi 1y丨XVdp(x,y)| x1IP

18、 p yi |VVp次幂可和的数列空间lpi 1p次幕可积函数空间(Lpa,b,d)d(f,g) (a,b|f(t)1g(t) |p dtVV由于有理数系数的多项式函数集F0a,b是可列的，以及 Pa,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知闭区间 a,b上多项式函数集 Pa,b、连续函数集 Ca,b、 有界可测函数集 Ba,b、p次幕可积函数集 Lpa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p次幕可和的数列空间lp也是可分空间，而有界数列空间 I和不可数集 X对应的 离散度量空间(X,do)是不可分的.从上面的例子及证明可知，n维欧氏空间 Rn是完备的度量空间，但

19、是按照欧氏距离X (0,1)却不是完备的；连续函数空间 Ca,b是完备的度量空间，但是在积分定义的距离1a(f,g) o| f(t) g(t)dt下，C0,i却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同 一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的我们还可以证明p次幕可和的数列空间lp是完备的度量空间， p次幕可积函数空间Lpa, b(p 1)是完备的度量空间，有界数列空间的完备性通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定理1.3.4 (闭球套定理)设(X,d)是完备的度量空间，Bn O(Xn, n)是一套

20、闭球：I Bn .n 1的基本列.当m n时，有如果球的半径n 0(n)，那么存在唯一的点xB1B2 LBnL .证明(1)球心组成的点列xn为X xm Bm Bn ( O(Xn, n)，可得0,取N，当n N时，使得d(Xm,Xn)n匸日 、U疋当m,nN时，有(2.4)d ( xm , Xn ) n所以&为X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间,所以存在点 x X，使得lim Xnx .令n(2.4)式中的m ，可得d(x,xO即知 x Bn, n 1,2,3,L，因此 xIBn .n 1(3) x的唯一性.设还存在y X，满足从而 d(x,y) d(x,x

21、n) d(xn,y)注4:完备度量空间的另一种刻画:2 n 0(ny In 1)，于是X y口Bn，那么对于任意的n N，有x,y Bn，设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：Bl B2 LBn L，其中Bn O(Xn, n)，当半径n Og )，必存在唯一的点X I Bn n 11大家知道nim(1 -)n e，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用对 于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用那么是否对于任一不完备的 度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.定义135等距映射