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文档简介
1、学习必备欢迎下载同角三角函数的基本关系【课前复习】1叙述任意角三角函数的定义2计算下列各式的值:sin 230° cos2 30° _;sin 2420° cos 2420° _;sin 4555cos45 _ ;tan6 ·cot6 _【学习目标】sin1掌握同角三角函数的基本关系式:22sin cos 1, cos2运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题【基础知识精讲】 tan , tan cot 1本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用,难点是三角函数值符号在不同象限时的确定1同角三角函数的基本关系式,反映三角函数之间的内在联系
2、它们都是根据三角函数的定义推导出来的亦可以利用单位圆用几何方法推出2对同角三角函数基本关系式的应用应注意:(1)关系式中要注意同角例如22sin cos 1 就不恒成立k(2)关系式仅当 的值使等式两边都有意义时才成立如,当 2 (kZ)时, tan ·cot 1 就不成立(3)对公式除了顺用,还应用逆用、变用、活用例如,由222sin cos 1,可变形为cos 1, cos ± 1 sin 2(sincos ) 21sin 2,1sin 2 cos2,sin · cos 2等2 2( 4)注意“ 1”的代换,可用 sin cos ,tan · cot
3、 等去代换 13用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”,至于角的表达形式是无关重要的,如:sin 22sin2coscos 2 2 1, tan 2 2 ,tan4 ·cot4 1 等4 sin 2 是( sin )2的简写,读作“ sin 的平方”,而不能写成sin 2,前者是 的正弦值的平方,后者是 的平方的正弦,两者是不同的5同角三角函数的基本关系式有哪些应用?( 1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求出其余两个;( 2)化简三角函数式;( 3)证明简单的三角恒等式其中,根据角 终边所在象限求出其三角函数值,是本课时的一个难点,它的结果不唯一,需要讨论,正确运
4、用平方根及象限角的概念,是解决这一难点的关键学习必备欢迎下载6根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值(简称“知一求二”)时,如何判断是一组结果还是两组结果?如果角所在象限已指定,那么只有一组解;如果角所在象限没有指定,一般应有两组解7基本关系式的重要等价变形有哪几个?sin常用的有以下几个:sin2222;sin cos· tan ;cos tan; 1cos ;cos 1sin(sin ±cos ) 21±2sincos ; 1sin 2|cos | 【学习方法指导】例 1已知 是第三象限角且tan 2,求 cos 的值分析:本题是1992 年高
5、考题,虽然简单,但有很高的训练价值,下面给出两种解法sin解法一:(公式法)由tan 2 知 cos12222 2,sin 2cos ,sin 4cos ,而 sin cos 1,4cos222 cos 1,cos 5 由 在第三象限知 cos 解法二:(锐角示意图法)55图 4 415先视 为锐角,作锐角示意图,如图441,则 cos 5ABC5 是第三象限角, cos 5当已知角的一个三角函数值是字母时,如何求其他三角函数值?例 2已知 sin (|<1 ),求 tan ,cos mm分析:由 sin 求 cos,需用公式 sin2 cos2 1,但 cos 取正或取负应根据 所在象
6、限来确定,所以需对 分类讨论解:( 1)当 1< <1,且 0时,mm若 在第一、四象限,则cos 1sin 21m 2,sinmm 1m2 1 m2tan cos 1m 2;学习必备欢迎下载若 在第二、三象限,则cos 1m2 ,sinm1 m 2tan cos1m2( 2)若 m 0,则 k(k Z), tan 0, cos ±1点评:当已知角 的一个三角函数值为字母时,应对 分类讨论4例 3已知 tan 3 ,求下列各式的值:2 cos3sin(1)3cossin22;( 2)2sin sin cos 3cos 分析:根据题目的条件,可将欲求值的式用tan 来表达2
7、 3( 4)323 tan3(4)6解:( 1)原式3tan35 2 sin 2sincos3cos22 tan2tan3(2)原式sin2cos2tan 212 (4) 2(4 ) 37334)2125(3点评:本例的解法,体现了一种转化与化归的数学思想方法,把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧【知识拓展】1根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义,可得出八个式子sin2cos21tancot1sintan1tan2sec2sincsc1coscos1cot 2csc2cossec1cot即sin2同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之
8、一,应牢记三个基本公式,并能正确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明在应用中逐渐掌握解题技巧:如“1”的变形,切化弦思想,等价转化的思想【同步达纲训练】一、选择题学习必备欢迎下载41若 sin 5 ,且 是第二象限角,则tan 的值等于()4334A3B4C±4D± 312已知 sin cos 5 ,且 0 <,那么 tan 等于()43A 3B 4C3若 sin44)cos 1,则 sin cos 等于(A± 2B1C 1二、填空题344D 3D±1cos2 sin4若 sin 3cos 0,则2 cos3sin 的值为 _15已知 tan 2
9、,则 sincos_三、解答题6已知 tan cost 2,33求:( 1)sin ·cos 的值;( 2)sin cos 的值;( 3) sin cos 的值参考答案【课前复习】1(略)21111【同步达纲训练】3sin4一、 1 A 根据 是第二象限角,由平方关系可得cos 5,从而 tan cos 31sin4sin3sincos555sin 2cos2cos3cos42 A 解方程组1得5 或5学习必备欢迎下载434又因为0 < ,故取 sin 5 ,这时 cos 5,求得 tan 33D222 sin44222222( sin cos ) cos 2sin cos 1
10、 2sin cos ,sin cos 1sin22cos 0sin cos 0当 sin 0 时, cos ±1当 cos 0 时, sin ±1所以 sin cos ±1512 tan165二、 4 11由已知可得 tan 3,于是原式 23 tan29 1151sin2cos2115sincossincostantan225 22sincossin 2cos2三、 6解:( 1)tan cot 2, cos sin 2,sincos 21sin·cos 2 ;1( 2)( sin cos )2 sin 2 2sin · cos cos2 1 2× 2 21又 tan cot 2>0,可得 sin
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