二次型的应用与思想方法

1、第一章 绪 论二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等. 基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备

2、,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透.下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法.第2章 二次型的基本知识2.1 二次型的定义 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合

3、时,一个有心二次曲线的一般方程式 . （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度,作转轴（反时针方向转轴） (2)把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到.设是一数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式 （3）称为数域上的一个元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如:.就是有理数域上的一个三元二次型.2.2 二次型的矩阵表示首先我们引入定

4、义：定义2.1 设是两组文字,系数在数域中的一组关系 (4)称为由到的一个线性替换,如果系数行列式,那么线性替换(4)就称为非退化的. 不难看出,如果把(4)代入(5),那么得到的多项式仍是二次齐次的.换句话说,线性替换把二次型换成二次型. 在讨论二次型时,矩阵就是一个有力的工具,因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示.令, .由于,所以二次型(3)可以写成 (5)把(5)的系数排成一个矩阵它就称为二次型(5)的矩阵.因为,所以.我们把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,而此二次型的矩阵都是对称的.2.3 二次型的标准形定义2.2 如果二次型只含有平方项,即,那么它称为标准二次型,简称为标准形.

5、显然,标准二次型与对角阵对应,对每个实对称矩阵,存在正交阵使 是对角阵.因此对于实二次型,通过正交的变量替换,其中是实对称矩阵的全部特征值 ,是正交阵使,这就证明了.定理2.1对任意的实二次型,其中是阶实对称矩阵,一定可以经过正交的变量替换变成标准形 其中,系数是实对称矩阵的全部特征值.2.4 正定二次型2.4.1正定二次型定义 若对任何非零向量实二次型,如果对任何都有(显然),则称为正定二次型,并称矩阵是正定的,记之.2.4.2判别方法正定二次型的判别方法:1）二次型标准形中个系数都大于零,则其为正定；2）二次型的对称矩阵的个特征值大于零,则其为正定；3）对称矩阵的各阶顺序主子式全大于零,则

6、其为正定. 注：设为阶方阵,则位于的左上角的1阶,2阶,.,阶子式, 即：称为的各阶顺序主子式.例2.4.1 判别正定二次型考虑二次型,问为何值时,为正定二次型.解：利用顺序主子式来判别,二次型的矩阵为,的顺序主子式为; ;.于是,二次型正定的充要条件是：,有,可知,;由,可得,所以,当时, 正定.第三章 二次型的应用二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论,二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题,有时候会起到意想不到的效果.二次型在求多元函数的极值、最值、证明不等式、多项式因式分解及判断二次曲线的形状等方面的应用.3.1求多

7、元函数的极值二次型在多元函数的极值问题中有重要应用,下面利用二次型的矩阵性质(正定、负定、不定)推断出多元函数在稳定点处有无极值,把多元函数求极值问题化为一个二次型问题.在三元及三元以上多元函数求极值时,这个方法比一般工科高等代数教材中介绍的求极值方法还好,而且能够确定是极大值还是极小值.定义3.1 设有3阶连续偏导数,.如果在处的一阶偏导数全为零,则称是的一个稳定点.定义3.2 设是的一个稳定点,构造一个n级矩阵如下: ,称是函数在处的何塞（Hesse）矩阵.引理 设是的一个稳定点,是函数在处的何塞（Hesse）矩阵,有1） 如果是正定的,则在处达到极小值;2) 如果是负定的,则在处达到极大

8、值;3）如果是不定的,则在处既不是极大值,也不是极小值.注：如果是不定的（半正定、半负定）,则在处可能有极值,也可能无极值.例3.1.1 函数,求该函数的极值.解:令,解此方程组得驻点.在点处, ,在处Hesse矩阵是其各阶顺序主子式依次为;.正定,故由引理,在点处取得极小值,极小值为.3.2证明不等式实对称矩阵称为正定矩阵,是指如果实二次型正定(其中=().而二次型正定是指对任意=()（其中不全为零）恒有>0,所以可用实对称矩阵中正定矩阵来证明不等式.例3.2.1 求证：（其中是不全为零的实数）.证明:设二次型,则的矩阵是因为A的各阶段顺序主子式为：；所以,A正定,从而（因为是不全为零

9、）.即（其中是不全为零的实数）.3.3求多元函数的最值下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值,这个方法很简洁.引理 设元二次型（其中（）,则在条件下的最大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值.例3.3.1 设,且满足,求的最值. 解:二次型的矩阵是则特征多项式为.特征值为.由引理,在条件下的最大值为3,最小值为0.3.4多项式因式分解引理 一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0,或秩等于1.该引理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据,同时给出了判断能否分解的方法,并且可以很快得到分解式.例3.4.1 试判断下列多项式在上能否分

10、解.若能,分解之.1);2) 解:1)令,则.下面考虑的秩和符号差,对作非退化线性替换： 即有.可见的秩为3.由引理知不能分解,从而也不能分解.2)令,则.下面考虑的秩和符号差,对作非退化线性替换： 即有,从而.可见的秩为2符号差为0.由引理知, 可以分解,且3.5 判断二次曲线的形状事实上,化简二次曲线并判断曲线类型所用的坐标变换就是二次型中的非退 化线性替换,因此可以利用二次型来判断二次曲线的形状.例3.5.1 判断二次曲线的形状.解:,令,则.对实施非退化线性替换： 即则,从而.即,故曲线表示椭圆.上述求多元函数极值、最值的方法,是线性代数中“二次型”的知识在微积分学中的应用,而证明不等

11、式、因式分解和判断曲线的形状则是二次型在中学数学中的应用,展现了数学各分支的联系和发展.第四章 二次型中的数学思想方法数学思想方法是数学的灵魂,纵观数学发展史,我们不难发现,每一项重大成果的取得,往往与思想方法的创新有着密切的关系,如果只是掌握数学知识,则难以发挥数学的真正作用,研究数学思想对于掌握数学的知识规律,促进数学学科的发展,开展数学教育,培养数学能力,都有积极的作用.二次型是高等代数中重要组成部分,也是主要研究对象,其中包含着丰富的数学思想方法.在了解了二次型的有关定义及应用后,总结并灵魂运用二次型中的数学思想方法显得极为重要.以下是二次型中几种常见的数学思想方法.4.1 二次型中转

12、化的思想方法 二次型中包含着丰富的转化思想方法,根据二次型与对称矩阵之间的一一对应关系:在化简二次型时,可以转化成矩阵,利用矩阵的初等变换化简成为合同对角形,最好化成规范形,再利用反演的思想对应回到二次型即可.于是二次型问题都可以转化成相应的对阵矩阵问题,如果相应的对称矩阵问题可以解决,则原二次型问题就顺利解决.特别地,正定二次型可以转化成正定矩阵,可以利用矩阵的正定性来讨论二次型的正定性.正定性的若干等价条件如下：是正定矩阵.的顺序主子式全部大于零.的所有主子式全部大于零.的特征值 全部大于零.合同于单位矩阵.的正惯性指数等于阶数.存在非退化矩阵,使得.存在非退化上、下三角矩阵,使得.的所有

13、阶主子式之和全部大于零.例4.1 将下列二次型化为规范形,并求出所用的可逆线性变换:. 解： 令再令,则得规范型为：.这里的就是所求的可逆线性变换.4.2 二次型中分类讨论的思想方法分类讨论的思想,又称逻辑划分的思想,是数学中的一种常用的重要思想.利用分类讨论的思想处理数学问题可以使复杂的问题理出一条清晰、完整、严密的思路,起到化整为零,化繁为简、化难为易,各个击破、分为治之的作用.因此分类讨论的思想是一种有特殊到一般的思想方法,既是一种逻辑方法,也是一种数学思想.分类讨论的思想的核心和关键是分类,因此利用分类讨论的思想解决数学问题时,分类标准必须要科学、统一,保证分类时不重复、不遗漏.分类讨

14、论思想的主要步骤是：1 分析题目条件,明确讨论的对象,确定对象的群体.2 确定分类标准,正确分类（有时也会遇到二级分类）.3 逐类讨论、求解.4 归纳小结得出结论.分类讨论思想不但在解题中应用比较广泛,而且在理论层面上讨论中也有广泛的应用.需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为： 涉及数学概念是分类定义的.运用的的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的.求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能.数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的.二次型中包含着丰富的分类讨论的思想方法.具体来讲,二次型按合同分类,合同关系是一种等价（满足反身性、对称性、传递

15、性）.任何二次型都可以经过非退化线性替换化为标准形,进而化成规范形.规范形唯一,故可以按照规范形分类,两二次型能够相互转化的充要条件是它们的秩相同；实二次型合同的充要条件是它们的秩、正惯性指数相同.而标准形不唯一,故不可以按照标准型分类.复二次型的合同分类：类.实二次型的合同分类：正定矩阵、负定矩阵,半正定矩阵,半负定矩阵、不定矩阵.总共类.本文主要研究实二次型中分类的思想.例4.2.1 若是实对称矩阵半正定,则也半正定.证明:由对称可得也对称.由半正定知秩.当秩时,即正定,也正定.当秩时,即奇异,则,的特征多项式是：.若,则的特征值有零.若,则的特征值只有一个是,其余都是零.因此半正定.例4

16、.2.2 设,求证：为正定矩阵.证明:二次型.当时,都有,所以正定.当时, 都有：此时也正定.4.3 二次型中的分解的思想方法二次型中还包含着丰富的分解思想方法,以正定矩阵为例,便可看到二次型中包含的分解思想.设是正定矩阵,则：1) 存在非退化矩阵,使得:.2) 存在非退化上、下矩阵,使得：.3) 存在正交向量组使得:.4） ,使得为正定矩阵.例4.3.1 一个秩为的二次型可以分解成个秩为1的二次型的和.证明:设秩,则存在非奇异矩阵,使得：,令使得：,秩.结论成立.例4.3.2 证明：秩为的二次型可以分解成为一个秩为的二次型与一个秩为的二次型之和,其中,.证明:设秩,则存在非奇异矩阵,使得：,

17、令,使得：,且有.结论成立.例4.3.3 证明：满秩实矩阵可以表示成为一个正定矩阵与一个正交矩阵之积,且表示法唯一.证明:由于满秩,则正定,故存在正定矩阵,使得.令,有,且,即为正交矩阵.同理,由正定,正定矩阵,使得令,有且为正定矩阵,即有故结论成立.下证唯一性,设若有,正定,正交,于是有下证：.由正定知存在正交矩阵有： ,. 不失一般性：,于是：.它的特征值相同,即,进而,.令,有,得由,为正交矩阵,得,即所以,故,进而.唯一性得证.4.4 二次型中构造的思想构造的思想方法在二次理论中有着广泛的应用,主要是借助已知条件,利用二次型与对称矩阵的性质,构造出符合条件的二次型或对称矩阵,从而最终得

18、到解.例4.4.1 设正定,反对称,则. 证明:由正定知必有:,使得,而为反对称矩阵,则正交矩阵,使得:,其特征根为:和,两边取行列式得： .所以.例4.4.2 如果,都是级正定矩阵,证明:也是正定矩阵. 证明：因为,为正定矩阵,故,为正定二次型,于是也必为正定二次型,故为正定矩阵.第五章 总 结本文主要是针对高等代数中二次型的基本定义及相关基础知识的详细讲解,而且总结分析了蕴含在二次型中的几种主要思想方法如二次型中的数形结合的思想方法、转化的思想方法、分解的思想方法、分类讨论的思想方法,并且通过精选例题的讲解会使读者理解的更加容易和深刻,以便大家更能很好的掌握这些思想方法.对于二次型中涉及的

19、一些定义和定理也是非常重要的,灵活的理解定义和学会对相关定理推理对二次型的应用有着极其重要的作用.本文在二次型中的有些知识没有涉及,但是其重要性也是不容小觑的.相信未来人们不仅会在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到二次型.参考文献1 北京大学数学系. 高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003.2 张禾瑞、郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社,1993.3 同济大学数学系.线性代数(第五版)M.北京:高等教育出版社,2007.4 卢刚,冯翠莲.线性代数M.北京：北京大学出版社,2006.5 王萼芳.高等代数教程M.北京:清华大学出版社,1997.6 蒋尔雄等.线性代数M. 人民教育出版社, 1989. 7 姚慕生.高等代数M.上海：复旦大学出版社,2002.8 吕风等编.高等数学在中学数学中的应用1000例M.东北大学出版社.9 徐仲等编.高等代数考研教案M.西安：西北工业大学出版社,2009. 10 徐仲,陆全,张凯院.高等代数M.西安：西北工业大学出版社,2004.3.11 陈凯等著.线性代数及应用.北京：水利电力出版社,1985. 12 刘诗雄.高中数学竞赛辅导M