材料分析测试(研究生)2

1、第二章 X射线的衍射方向uX射线衍射(XRD，X-RAY Diffraction)XRDXRD是利用是利用X X射线与物质的相互作用射线与物质的相互作用( (在晶体中的衍射在晶体中的衍射) )来分析材来分析材料的性质的，主要包括：材料的晶体结构、晶格参数、晶体缺料的性质的，主要包括：材料的晶体结构、晶格参数、晶体缺陷陷( (位错位错) )、不同结构相的含量、材料内的应力、晶粒度、单晶取、不同结构相的含量、材料内的应力、晶粒度、单晶取向及多晶织构的测定等。向及多晶织构的测定等。uX射线的性质uX射线衍射(衍射方向、衍射强度)uX射线衍射的具体应用2.1 引言2.1 引言人们对可见光的衍射现象有了

2、确切的了解：光栅人们对可见光的衍射现象有了确切的了解：光栅常数常数(a+b)(a+b)只要与点光源的光波波长为同一数量级，只要与点光源的光波波长为同一数量级，就可产生衍射，衍射花样取决于光栅形状。就可产生衍射，衍射花样取决于光栅形状。晶体学家和矿物学家对晶体的认识：晶体是由原晶体学家和矿物学家对晶体的认识：晶体是由原子或分子为单位的共振体（偶极子）呈周期排列子或分子为单位的共振体（偶极子）呈周期排列的空间点阵，各共振体的间距大约是的空间点阵，各共振体的间距大约是1010-8 -8-10-10-7 -7cmcm，M.A.BravaisM.A.Bravais已计算出已计算出1414种点阵类型。种点

3、阵类型。2.1 引言18951895年伦琴发现年伦琴发现X X射线后，认为是一种波，但射线后，认为是一种波，但无法证明。无法证明。当时晶体学家对晶体构造当时晶体学家对晶体构造( (周期性周期性) )也没有得到也没有得到证明。证明。19121912年劳厄将年劳厄将X X射线用于射线用于CuSO45H2OCuSO45H2O晶体晶体衍射同时证明了这两个问题衍射同时证明了这两个问题, ,从此诞生了从此诞生了X X射射线晶体衍射学。线晶体衍射学。劳厄劳厄M.von.Laue德国物理学家德国物理学家(1879-1960)2.1 引言晶体可看作三维立晶体可看作三维立体光栅体光栅, ,根据劳厄根据劳厄斑点的分

4、布可算出斑点的分布可算出晶面间距、掌握晶晶面间距、掌握晶体点阵结构体点阵结构2.1 引言2.1 引言晶体中的那些要素对晶体中的那些要素对X X射线会产生怎样的影响？射线会产生怎样的影响？衍射方向问题是依靠布拉格方程衍射方向问题是依靠布拉格方程( (或倒易点阵或倒易点阵) )的理论的理论导出的；导出的；衍射强度主要介绍多晶体衍射线条的强度，将从一个衍射强度主要介绍多晶体衍射线条的强度，将从一个电子的衍射强度研究起，接着研究一个原子的、一个电子的衍射强度研究起，接着研究一个原子的、一个晶胞的以至整个晶体的衍射强度，最后引入一些几何晶胞的以至整个晶体的衍射强度，最后引入一些几何与物理上的修正因数，从

5、而得出多晶体衍射线条的积与物理上的修正因数，从而得出多晶体衍射线条的积分强度。分强度。晶胞的大小和形状晶胞的大小和形状、晶胞中原子的种类、数量和位晶胞中原子的种类、数量和位置置主要决定了主要决定了X X射线的衍射方向射线的衍射方向和和强度强度。u 本章的主要内容2.2 晶体几何学基础2.3 衍射方程与布拉格方程、劳埃方程2.4 衍射矢量与厄瓦尔德图解2.5 各种衍射方法2.2 晶体几何学基础(复习)2.2.1 晶体的概念2.2.2 对称结构与点阵2.2.3 晶胞、晶系和空间点阵形式 2.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距2.2.5 倒易点阵无定形态物质无定形态物质( (玻璃体、非晶

6、态物质玻璃体、非晶态物质) )内部排列杂乱无章，或仅仅内部排列杂乱无章，或仅仅是短程有序，它们不能通过对称性相关联。是短程有序，它们不能通过对称性相关联。固体物质按原子固体物质按原子(分子、离子分子、离子)在空间排列是否长程有序在空间排列是否长程有序晶晶 体体无定形无定形晶体是原子、离子、分子等微粒在空间按一定规律周期重复地晶体是原子、离子、分子等微粒在空间按一定规律周期重复地排列构成的固体物质。其结构特征是排列构成的固体物质。其结构特征是规则排列规则排列: : 在空间上在空间上“一定一定数量种类的微粒数量种类的微粒”每隔一定距离每隔一定距离重复出现重复出现, ,即所谓晶体的即所谓晶体的周期性

7、周期性. .2.2.1 晶体结构的概念2.2 晶体几何学基础晶态物质结构示意图晶态物质结构示意图非晶态物质结构示意图非晶态物质结构示意图 晶体能自发形成多面体外形晶体能自发形成多面体外形( (晶体的自范性晶体的自范性) )，满足欧，满足欧拉定理：拉定理：F(F(晶面数晶面数)+V()+V(顶点数顶点数)=E()=E(晶棱数晶棱数)+ 2)+ 2； 2.2.1 晶体结构的概念2.2 晶体几何学基础6+8=12+28+6=12+24+4=6+2石墨晶体在平行于石墨层石墨晶体在平行于石墨层方向上比垂直于石墨层方方向上比垂直于石墨层方向上导电率大一万倍。向上导电率大一万倍。 各向异性各向异性NaCl石

8、墨石墨2.2.1 晶体结构的概念2.2 晶体几何学基础 晶体的均匀性：一块晶体内部各个部分的宏观性质是晶体的均匀性：一块晶体内部各个部分的宏观性质是相同的，如有相同的密度、相同的化学组成；相同的，如有相同的密度、相同的化学组成； 晶体确定的熔点；晶体确定的熔点； 晶体的对称性：理想晶体的外形与其内部的微观结构晶体的对称性：理想晶体的外形与其内部的微观结构是紧密相关的，都具有特定的对称性，而且其对称性是紧密相关的，都具有特定的对称性，而且其对称性与性质的关系非常密切；与性质的关系非常密切； 晶体对晶体对X X射线的衍射：射线的衍射： 晶体的周期性结构使它成为天晶体的周期性结构使它成为天然的三维光

9、栅，周期与然的三维光栅，周期与X X光波长相当光波长相当, , 能够对能够对X X光产生光产生衍射。衍射。2.2.1 晶体结构的概念2.2 晶体几何学基础晶体存在的几种形式：晶体存在的几种形式： 单晶体单晶体 多晶体多晶体 微晶微晶 液晶液晶1. 1. 准晶体准晶体2.2.1 晶体结构的概念2.2 晶体几何学基础2.2 晶体几何学基础2.2.2 对称结构与点阵(2) (2) 周期性重复的大小与方向，即平移矢量。周期性重复的大小与方向，即平移矢量。 周期性结构周期性结构二要素二要素: :(1) (1) 周期性重复的内容周期性重复的内容结构基元结构基元(motif);(motif);周期性结构周期

10、性结构的研究方法的研究方法点阵理论点阵理论: : 将晶体中的结构基元将晶体中的结构基元( (重复的内容重复的内容) )抽象为几何学中的点抽象为几何学中的点, ,这些这些点按一定的方式在空间重复排列形成点阵点按一定的方式在空间重复排列形成点阵( (由点阵点组成由点阵点组成) )。 晶体的点阵理论：晶体的点阵理论：晶体的点阵理论：晶体的点阵理论：点阵点阵(Lattice):(Lattice):将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数学上的点来代表用一个数学上的点来代表, , 称为点阵点，整个晶体就被抽称为点阵点，整个晶体就被抽象成一组点象成一组点,

11、,称为点阵。称为点阵。1 点阵点必须无穷多；点阵点必须无穷多；2 每个点阵点必须处于相同的环境；每个点阵点必须处于相同的环境；3 点阵在平移方向的周期必须相同。点阵在平移方向的周期必须相同。点阵必须具备点阵必须具备的三个条件的三个条件: :晶体结构晶体结构 = 点阵点阵 + 结构基元结构基元 2.2 晶体几何学基础2.2.2 对称结构与点阵lattice点阵点阵structural motif结构基元结构基元Crystal structure晶体结构晶体结构2.2 晶体几何学基础2.2.2 对称结构与点阵一维周期性结构与直线点阵一维周期性结构与直线点阵:a a2.2.2 对称结构与点阵等距离分

12、布在一条直线上的无限点列。重复的大小和方向用一矢量等距离分布在一条直线上的无限点列。重复的大小和方向用一矢量a a表示；表示；T Tm m = = ma ma ( (m m = 0, = 0, 1, 1, 2 ) 2 ) 所有矢量作用在图形上都能复原。所有矢量作用在图形上都能复原。石墨层石墨层 二维周期性结构与平面点阵二维周期性结构与平面点阵: : 平移群表示平移群表示 T Tm,nm,n = m = ma a + n+ nb b (m, n = 0,(m, n = 0,1, 1, 2 ) 2 )2.2.2 对称结构与点阵 三维周期性结构与空间点阵三维周期性结构与空间点阵: : T Tm,n,

13、pm,n,p = m = ma a + n+ nb b + p+ pc c (m, n, p = 0,(m, n, p = 0,1, 1, 2 ) 2 ) 以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点. .Li,Na, K,Cr,Mo,W等等(体心立方体心立方)Mn(简单立方简单立方)2.2.2 对称结构与点阵2.2.3 晶胞、晶系和空间点阵形式晶胞晶胞:对于实际的三维晶体，将其恰当地划分成一个个完全等同的平对于实际的三维晶体，将其恰当地划分成一个个完全等同的平行六面体，叫行六面体，叫晶胞晶胞。它代表了晶体结构的基本重复单位。它代

14、表了晶体结构的基本重复单位。晶胞的划分有多种方式，通常满足晶胞的划分有多种方式，通常满足对称性对称性的前提下，选取的前提下，选取体体积最小积最小的晶胞。的晶胞。用用分数坐标分数坐标来表示来表示用用晶胞参数晶胞参数来表示来表示晶胞晶胞晶胞的晶胞的大小和形状大小和形状晶胞中各晶胞中各原子的种类和坐标原子的种类和坐标 晶胞的两个基本要素晶胞的两个基本要素: :Warning: 所选的单位向量要能满足晶体的周期性所选的单位向量要能满足晶体的周期性 晶胞参数晶胞参数向量向量a a、b b、c c的长度及其间的夹角的长度及其间的夹角, 分数坐标分数坐标晶胞中原子晶胞中原子P P 的位置用向量的位置用向量O

15、POP= =xaxa+ +ybyb+ +zczc代表。代表。x x、y y、z z就是分就是分数坐标，它们永远不会大于数坐标，它们永远不会大于1 1。XYZCsCl晶胞晶胞Cs:Cl:分数坐标分别为：分数坐标分别为：212121:+Cs000:CI由于点在晶胞内，由于点在晶胞内， x x、y y、z1z12.2.3 晶胞、晶系和空间点阵形式晶系：晶系：2.2.3 晶胞、晶系和空间点阵形式七大晶系七大晶系(crystal system) (crystal system) 根据晶体的对称性，按照有无某种特征对称元素，或者根根据晶体的对称性，按照有无某种特征对称元素，或者根据晶胞参数据晶胞参数( (

16、a a, ,b b, ,c c, , , , , , ) )的不同，将晶体分为的不同，将晶体分为7 7个晶系。个晶系。晶系按对称性的高低分为三个晶族晶系按对称性的高低分为三个晶族: : 高级晶族指立方晶系高级晶族指立方晶系( (具有一个以上高次轴具有一个以上高次轴); ); 中级晶族包括六方中级晶族包括六方, ,四方和三方晶系四方和三方晶系( (具有一个高次轴具有一个高次轴); );1. 1. 低级晶系包括正交低级晶系包括正交, ,单斜和三斜晶系单斜和三斜晶系( (没有高次轴没有高次轴) )。对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点 群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号低三斜无12单斜 或m324

17、52/mm,2, i 正交两个互相垂直的m或三个互相垂的67 8中四方910 11 122223i490cba90cba90cba1cic2cschc22DvC2hD212m2222mm222mmmim, 22m,233,m4c4shc44D444m44, 4,mi, 44290cba1422对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点点 群群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号中四方131415三方菱面体晶胞161718六方晶胞1920im ,5,24,4vC4dD2hD4mm4m24224mmmm4,4m2,22,490cba4390120cba3cic33Dvc3dD3333m3323i ,323

18、,3m3,3im,3 ,23 , 312090cba2m对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点点 群群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号中六方21222324622252627高立方 在立方的体对角线方向2829303132612090cba6chc3hc66Dvc6hD3hD6mm626m226666m6),3(6mim, 626,6m6,6mm4,23), 3(6im ,7,26,64 390cbaThTOdThO2323m432m34423mm23,34im ,3,23,34m6,43,34im ,9,26,43,3426,43,34mmm简单立方(P)体心立方(I)面心立方(F)90cb

19、a立方立方cubiccubic特征对称元素特征对称元素晶胞类型晶胞类型4个按立方体体对角线取向的三重旋转轴。个按立方体体对角线取向的三重旋转轴。cPcIcF按正当格子的要求按正当格子的要求 尽量选取含点阵点数少的平行六面体的原则尽量选取含点阵点数少的平行六面体的原则, ,平平行六面体的棱与棱之间有尽可能多的直角行六面体的棱与棱之间有尽可能多的直角, ,平行六面体的体积尽可平行六面体的体积尽可能小能小 ，空间正当格子只有十四种型式：，空间正当格子只有十四种型式：布拉维空间点阵布拉维空间点阵(Bravais Lattice)正交正交orthorhombicorthorhombic晶胞类型晶胞类型9

20、0cbaP(简单)C(底心)I(体心)F(面心)特征对称元素特征对称元素2 2个互相垂直的对称面或个互相垂直的对称面或3 3个互相垂直个互相垂直的对称轴的对称轴oPoCoIoF六方(H)晶胞类型：12090cba四方(P)四方(I)90cba晶胞类型：三方(R)90120 cba晶胞类型：trigonalhexagonaltetragonaltPtIhRhP单斜(P)单斜(C)晶胞类型：9090cba三斜(P)晶胞类型：90cba在这些型式中，其对称性由强到弱的排列顺序为：在这些型式中，其对称性由强到弱的排列顺序为：立方立方六方六方三方三方四方四方正交正交单斜单斜三斜三斜晶体晶体3232个点群

21、个点群点阵结构点阵结构7 7个晶系个晶系1414种空间点阵种空间点阵230230个空间群个空间群内部结构内部结构微微观观对对称称元元素素组组合合八种宏观对称元素组合八种宏观对称元素组合按平行六面按平行六面体形状划分体形状划分按特征对称按特征对称元素划分元素划分晶格型式晶格型式对对应应关关系系2.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距阵点坐标阵点坐标该点阵阵点的坐标记为：该点阵阵点的坐标记为：OAUaVbWc+ 空间点阵中某一点阵阵空间点阵中某一点阵阵点的位置矢量：点的位置矢量：UVWA A点的坐标为：点的坐标为：311311与某矢量平行的一组直线点阵与某矢量平行的一组直线点阵( (晶棱

22、晶棱) )的方向用的方向用 uvwuvw 表示，表示，u u, ,v v, ,w w为为3 3个个互质互质的整数。的整数。2.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距晶向指数晶向指数UVWUVW确定晶向指数的步骤如下：确定晶向指数的步骤如下：1. 1.过原点作一平行于该晶向的直线；过原点作一平行于该晶向的直线；2. 2.求出该直线上任一点的坐标；求出该直线上任一点的坐标；3. 3.将三个坐标值互质化；将三个坐标值互质化；4. 4.将所得的指数括以方括号将所得的指数括以方括号uvwuvw。2.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距晶向指数晶向指数UVWUVW当某一指数为负值时当某一

23、指数为负值时, ,则在该指数上加一横线则在该指数上加一横线, ,如如相互平行的晶向具有相同的指数相互平行的晶向具有相同的指数, ,但是但是100100与与 是一条线上的两个指向相反的方向是一条线上的两个指向相反的方向, ,不能等同看待。不能等同看待。表示由对称性联系的一系列等同晶向表示由对称性联系的一系列等同晶向, ,这些等同晶向这些等同晶向组成等效晶向族。例如立方晶系中各棱边都属于组成等效晶向族。例如立方晶系中各棱边都属于晶晶向族向族, ,它包括以下晶向：它包括以下晶向：uvw100=100+010+001+100+010+0012.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距晶向指数晶向

24、指数UVWUVW有理指数定律晶面指标有理指数定律晶面指标( (hklhkl) )是简单的互质整数比。是简单的互质整数比。2.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距现在广泛使用的用来表示晶面指数的是密勒指数，密勒指标是现在广泛使用的用来表示晶面指数的是密勒指数，密勒指标是指平面和三个晶轴相交截数的倒数的互质比，代表一族相互平指平面和三个晶轴相交截数的倒数的互质比，代表一族相互平行的平面点阵。行的平面点阵。确定晶面指数的具体步骤如下：确定晶面指数的具体步骤如下：晶面指数晶面指数1.以各晶轴点阵常数为度量单位以各晶轴点阵常数为度量单位,求求出晶面与三晶轴的截距出晶面与三晶轴的截距r,s,t；

25、2.取上述截距的倒数取上述截距的倒数1/r,1/s,1/t；3.将以上三数值互质化将以上三数值互质化;4. (hkl)即为该晶面族的密勒指数。即为该晶面族的密勒指数。2.2.4 阵点坐标、晶向指数、晶面指数和晶面间距立方晶格中与立方晶格中与(100),(110),(111)(100),(110),(111)面等效的晶面数分别为面等效的晶面数分别为:3 :3个个,6 ,6个和个和4 4个个; ;100100:(100),(010),(001);:(100),(010),(001);符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体

26、内部这些面都是等效的。内部这些面都是等效的。空间平面间距空间平面间距( (晶面间距晶面间距) )晶面间距是指密勒指标规定的平面族中两相邻平面之间的垂晶面间距是指密勒指标规定的平面族中两相邻平面之间的垂直距离。直距离。222 lkhadhkl+立方：2222221 clbkahdhkl+正交： 晶面指标越大的晶面，其晶面间距越小。晶面指标越大的晶面，其晶面间距越小。 实际晶体的外形上，出现机会多的晶面是晶面指标小实际晶体的外形上，出现机会多的晶面是晶面指标小的一些晶体。的一些晶体。 若若hklhkl代表衍射指标，算出的便是衍射面间距。代表衍射指标，算出的便是衍射面间距。2.2.4 阵点坐标、晶向

27、指数、晶面指数和晶面间距2.2 晶体几何学基础2.2.5 倒易点阵倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也是衍射理倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也是衍射理论的基础。论的基础。晶体点阵：实空间晶体点阵：实空间由晶体的周期性直接抽象出的点阵由晶体的周期性直接抽象出的点阵( (正点阵正点阵) )；倒易点阵：倒易空间倒易点阵：倒易空间根据空间点阵虚构的一种点阵。根据空间点阵虚构的一种点阵。 固体物理中固体物理中,由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数：性，如势能函数： 引入倒格子，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。引入倒格子，可以将三维周期性函数

28、展开为傅里叶级数。 衍射分析衍射分析(XRD)(XRD)中中, X, X射线在晶体中的衍射与光学干涉和衍射射线在晶体中的衍射与光学干涉和衍射十分类似：衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像十分类似：衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像之间存在着一个傅立叶变换的关系；之间存在着一个傅立叶变换的关系； 而晶体点阵及其倒易点阵之间也存在一个傅立叶变换的关系，而晶体点阵及其倒易点阵之间也存在一个傅立叶变换的关系，因此，倒易点阵对我们描述和阐述晶体对因此，倒易点阵对我们描述和阐述晶体对X X射线的衍射原理是射线的衍射原理是一种非常有力的工具。一种非常有力的工具。 2.2 晶体几何学基础2.2.

29、5 倒易点阵( )()V xV xUaVb Wc+2.2.5 倒易点阵在晶体学中在晶体学中, ,通常关心的是通常关心的是晶体取向晶体取向, ,即即晶面的法线方向晶面的法线方向, ,希望能利希望能利用点阵的三个基矢量用点阵的三个基矢量 来表示出某晶面的法向矢量来表示出某晶面的法向矢量 。, ,a b c a/hc/lhklS b/kQP ,hklSP Q baPkh cbQlkhklS *hklPQPQSrhkl 规一化因子a b cA AB BC C0abc*hklbacbrkhlka bc2.2.5 倒易点阵*rhakblc+ *cabV *bcaV*abcV *a*c *b abc以以 为

30、新为新的三个基矢，可以构的三个基矢，可以构造一个新的点阵造一个新的点阵*, *, *abc 倒易点倒易点阵阵/ /*hklSr 正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系 正点阵基本平移矢量：正点阵基本平移矢量：倒易点阵基本平移矢量：倒易点阵基本平移矢量：, ,a b c*, *, *abc 晶胞体积公式：晶胞体积公式：Va b cb c ac a b *cacabVb ca *bcbcaVa bc *ababcVc ab * 1a ab bc c *0a bb cc a 111*,*,*abcabc2.2.5 倒易点阵在倒易点阵中，坐标为在倒易点阵中，坐

31、标为hklhkl的阵点的阵点所对应的矢量为：所对应的矢量为：*hklrhakblc+ 2.2.5 倒易点阵显然，显然， 的方向就是正点阵中的方向就是正点阵中晶面晶面( (hklhkl) )的法线方向的法线方向；*hklr 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面，二维问题倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面，二维问题一维化处理！一维化处理！ a/hc/l*hklr b/kQP A AB BC C0abc正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系正空间中的点阵矢量：正空间中的点阵矢量：倒易空间中的点阵矢量：倒易空间中的点阵矢量：*rhakblc+ rUaVb Wc+

32、2.2.5 倒易点阵(hkl)(hkl)晶面的法线方向为：晶面的法线方向为：*rhakblc+ (hkl) (hkl)晶面的面间距呢？晶面的面间距呢？正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系2.2.5 倒易点阵(hkl)(hkl)晶面的面间距晶面的面间距: :1/*hklhkldr *hklhklhklhklhklhklhklarbrcrdhklrrr * 1a ab bc c *0a bb cc a a/hc/l*hklr b/kQP A AB BC C0abc简单点阵ba000d100r*100100r*100 =1/d100正交点阵沿正交点阵沿c c轴投影图轴

33、投影图abcabc正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系2.2.5 倒易点阵简单点阵简单点阵ba000r*100100r*010=1/d010d010r*010正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系2.2.5 倒易点阵正空间点阵中的正空间点阵中的(hkl)(hkl)面在倒易点阵中可用一个结点表示。面在倒易点阵中可用一个结点表示。简单点阵简单点阵b*a*000100010110r*110r*110bad110a* = r*100 = 1/d100 = 1/a b* = r*010 = 1/d010 = 1/b c* = r*001 =

34、1/d001 = 1/c 正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系2.2.5 倒易点阵倒易点阵的应用1-计算面间距 将各晶系的倒易点阵单胞的参数带入上式，就可以导将各晶系的倒易点阵单胞的参数带入上式，就可以导出晶面间距。出晶面间距。2.2.5 倒易点阵1/*hklhkldr 2*1.*hklhklhklahrrhklbabckdclhhkl Gkl *ccbcaccbbbabcabaaaG其形式取决于晶系其形式取决于晶系表表1 1 倒易点阵单胞的基本参数倒易点阵单胞的基本参数倒易点阵的应用1-计算面间距2.2.5 倒易点阵计算面间距计算面间距- -0*0*60,90

35、1,32ccaba2222)()(34lcakhkhadhkl+查表得六方晶系倒易点阵单胞参数：查表得六方晶系倒易点阵单胞参数：带入面间距计算公式得：带入面间距计算公式得：倒易点阵的应用1-计算面间距2.2.5 倒易点阵 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示，两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示，或用它们的倒易矢量的夹角来表示：或用它们的倒易矢量的夹角来表示：)(111lkh)(222lkh1 1 1*111h k lrh ak bl c+2 2 2*222h k lrh ak bl c+1 1 12 2 21 1 12 2 21 1 12 2 2coscos(,)h

36、k lh k lh k lh k lh k lh k lrrrrrr带入相应晶系的倒易点阵单胞参数，就可以得到各系晶系的晶面夹角带入相应晶系的倒易点阵单胞参数，就可以得到各系晶系的晶面夹角倒易点阵的应用2-计算晶面夹角2.2.5 倒易点阵计算晶面夹角计算晶面夹角查表得查表得立方晶系立方晶系倒易点阵单胞参数：倒易点阵单胞参数：代入任意两晶面的夹角余弦公式有：代入任意两晶面的夹角余弦公式有：0*901acba222222212121212121coslkhlkhl lkkhh+倒易点阵的应用2-计算晶面夹角2.2.5 倒易点阵晶带：晶带： 在晶体结构或空间点阵中，在晶体结构或空间点阵中， 与某一取

37、向平行的所有与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。晶面均属于同一个晶带。 同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴。标原点的那条直线称为晶带轴。 晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。倒易点阵的应用3-晶带定律2.2.5 倒易点阵 我们可以将晶带轴用正点阵矢量我们可以将晶带轴用正点阵矢量 表示；表示； 晶面法向用倒易矢量晶面法向用倒易矢量 表示；表示； 根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法线都与晶带轴垂根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法线都与晶带轴垂直。通过矢量的概念可以导出，凡是

38、属于直。通过矢量的概念可以导出，凡是属于 uvw晶带的晶面，晶带的晶面，它的晶面指数它的晶面指数(hkl)必须符合：必须符合： , 这个关系式叫这个关系式叫作晶带定律。作晶带定律。倒易点阵的应用3-晶带定律2.2.5 倒易点阵hUkVlW+rUaVbWc+*rhakblc+ *00rrrrhUkVlW+ 由于与 垂直，由此可得：即。晶带定律的应用晶带定律的应用可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；可以判断某一晶向是否在某一晶面上可以判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面）；或平行于该晶面）；若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；若已知

39、晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；若已知两个晶带面若已知两个晶带面,则晶带轴；则晶带轴；已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；向垂直的另一晶向；已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面。于该晶面的另一晶面。00222222111111+wlvkuhwlvkuh2.2.5 倒易点阵2.3 衍射方程 干涉干涉: : 振动方向相同、波长

40、相同的两列波叠加，将造成某些振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的振动加强或减弱；固定区域的振动加强或减弱； 稳定干涉的三个条件稳定干涉的三个条件：两列波的扰动方向一致，或有方向：两列波的扰动方向一致，或有方向一致的平行分量；频率相同；稳定的相位差；一致的平行分量；频率相同；稳定的相位差； 光的衍射：光的衍射：当光波遇到障碍物时，会偏离几何光学的直线当光波遇到障碍物时，会偏离几何光学的直线传播而绕行的现象，一系列平行波具有某种确定的相位关传播而绕行的现象，一系列平行波具有某种确定的相位关系时，有的光加强，有的光对消，就产生了衍射。系时，有的光加强，有的光对消，就产生了衍射。

41、X X射线通过晶体时产生的衍射现象射线通过晶体时产生的衍射现象, ,是大量原子散射线干涉的是大量原子散射线干涉的结果。结果。2.3.1 衍射的概念2.3 衍射方程惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理波前上的每个面元都波前上的每个面元都可以看成次波源，它可以看成次波源，它们向四周发射次波；们向四周发射次波；波场中任一场点的扰波场中任一场点的扰动都是所有次波源所动都是所有次波源所贡献的次级扰动的相贡献的次级扰动的相干叠加。干叠加。2.3.1 衍射的概念入射波阵面 入射X光 散射波阵面 l 0 A1 a A2 H1 H2 振幅 入射波 A1散射波 A2散射波 A1和A2合成散射波 2.3 衍射方程2.3

42、.1 衍射的概念衍射现象 晶体可看作三维立晶体可看作三维立体光栅体光栅, ,根据劳厄根据劳厄斑点的分布可算出斑点的分布可算出晶面间距、掌握晶晶面间距、掌握晶体点阵结构体点阵结构2.3 衍射的概念与布拉格方程、劳埃方程2.3.1 衍射的概念2.3 衍射方程确定衍射方向的几种方法：确定衍射方向的几种方法： Laue方程；方程； 劳埃方程劳埃方程 Bragg方程；方程； 布拉格方程布拉格方程 衍射的矢量方程；衍射的矢量方程；1. Ewald作图法。作图法。 在讨论在讨论X X射线在晶体中的衍射时，假定：射线在晶体中的衍射时，假定：uX X射线是平行光，且只有单一波长射线是平行光，且只有单一波长( (

43、单色单色) )；u原子中的所有电子都集中在中心一点，原子对原子中的所有电子都集中在中心一点，原子对X X射线的散射射线的散射是它的所有电子散射之和，即不考虑一个原子内各电子的是它的所有电子散射之和，即不考虑一个原子内各电子的散射波位相差；散射波位相差；1. 1. 原子在其平衡位置是不动的，即不考虑原子的热运动。原子在其平衡位置是不动的，即不考虑原子的热运动。2.3 衍射方程0B2.3.2 劳埃方程劳埃把空间点阵看做是互不平行的三组直线点阵的组合，由此推劳埃把空间点阵看做是互不平行的三组直线点阵的组合，由此推导出劳埃方程：导出劳埃方程：(1) X(1) X射线受一维点阵射线受一维点阵( (原子列

44、原子列) )衍射的条件衍射的条件00coscoscoscosAMBNaaass0AMN2.3 衍射方程a光程差：光程差：0aSS 矢量形式：2.3.2 劳埃方程(1) X(1) X射线受一维点阵射线受一维点阵( (原子列原子列) )衍射的条件衍射的条件散射加强的条件散射加强的条件: :00coscosaaSSHl H H为整数，取为整数，取(0,(0,1, 1,2)2)，称为衍射的级数，称为衍射的级数2.3 衍射方程0Bss0AMNa(1) X(1) X射线受一维点阵射线受一维点阵( (原子列原子列) )衍射的条件衍射的条件2.3.2 劳埃方程2.3 衍射方程直线点阵上衍射圆锥的形成直线点阵上

45、衍射圆锥的形成2.3.2 劳埃方程(1) X(1) X射线受三维点阵衍射的条件射线受三维点阵衍射的条件2.3 衍射方程000000coscoscoscoscoscosaSSaHbSSbKcSScLlll ，H,K,LH,K,L为整数，取为整数，取(0,(0,1, 1,2)2)。任意点阵点任意点阵点mnp的位置矢量为：的位置矢量为：mnp点和原点点和原点000的光程差为：的光程差为：m,n,p和和h,k,l均为整数，故均为整数，故必为波长的整数倍。必为波长的整数倍。满足满足Laue方程的方向即为衍射方向。它定量的联系了晶胞参数方程的方向即为衍射方向。它定量的联系了晶胞参数a、b、c和以和以HKL

46、表征的衍射方向。表征的衍射方向。2.3.2 劳埃方程(1) X(1) X射线受三维点阵衍射的条件射线受三维点阵衍射的条件2.3 衍射方程, , m n pTmanbpc+0, ,000 ( -)( -)( -)( -)m n pTS SmaS SnbS SpcS SmHnKpLlll+ 空间点阵中衍射线S的形成三个方向直线点阵的衍射圆锥交成衍射线三个方向直线点阵的衍射圆锥交成衍射线S，衍射方向由，衍射方向由衍射指标衍射指标hkl表征表征. Laue Laue方程的讨论方程的讨论 Laue决定了空间衍射的方向决定了空间衍射的方向,其方向由其方向由衍射指标衍射指标HKL确确定，衍射方向的分裂性定，

47、衍射方向的分裂性,反映在衍射谱图上则表现为反映在衍射谱图上则表现为分分裂的线裂的线。 衍射指标衍射指标HKL与与晶面指标晶面指标(hkl)不同不同,前者为任意整数前者为任意整数,确确定衍射方向定衍射方向,而后者为互质的整数而后者为互质的整数,表示一组晶面表示一组晶面,关系关系为为:H=nh, K=nk, L=nl, 即为整数倍关系。即为整数倍关系。 2.3.2 劳埃方程2.3 衍射方程Laue方程中只有方程中只有 , , 是变量是变量,又由于又由于 , , 不是独立的变量不是独立的变量,因因此一般得不到衍射图此一般得不到衍射图(三个变量四个方程三个变量四个方程)。在实际的衍射实验中在实际的衍射

48、实验中,则要求增加变量则要求增加变量,增加变量的方法不同增加变量的方法不同,于是就产生了不同的摄谱法。于是就产生了不同的摄谱法。 2.3.2 劳埃方程2.3 衍射方程 Laue Laue方程的讨论方程的讨论000coscoscoscoscoscosaHbKcLlll1coscoscos222+测量时若晶体不动测量时若晶体不动: : 0 0, , 0 0, , 0 0一定一定; ; 用单色光用单色光: l l一定一定;对于特定的晶体和特定的方向对于特定的晶体和特定的方向: a,b,c,H,K,L一定一定.2.3.2 劳埃方程LaueLaue方程的讨论方程的讨论lLc0coscoslHa0coscoslKb0coscos1coscoscos222+四个方程解三个四个方程解三个未知数？未知数？用单色用单色X X射线照射不射线照射不动的单晶体，一般动的单晶体，一般不能获得衍射！不能获得衍射！必须增加一个变量：必须增加一个变量：u利用连续利用连续X X射线，使波长为变量，晶体固定不动射线，