带电粒子在磁场中的运动-极值多解问题解析版

1、带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题 1以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系。 2寻找临界点常用的结论：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(3)当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 常用方法：放缩法和旋转法典例1：如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成角的速度V0垂直

2、射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？ 变式训练1：如右图所示，带有正电荷的A粒子和B粒子同时以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°（与边界的交角）射入磁场，又恰好不从另一边界飞出，则下列说法中正确的是          （     ）BDAA、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是BA、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是CA、B两粒子的之

3、比是DA、B两粒子的之比是典例2：如图所示，在x0，y0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x轴上的P点以不同的初速度平行于y轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则()A.初速度最小的粒子是沿方向射出的粒子B.初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子C.在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子D.在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子典例:3：如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速度方向与ab成30°角时，粒子在磁场中运

4、动的时间最长，且为t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为（）典例4：正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点一个带正电的粒子（重力忽略不计）若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（）A、该带电粒子有可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B、若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0C、若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是3t0/2D、若该带

5、电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是5t0/3二、洛仑兹力的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面。（1）带电粒子电性不确定形成多解（典例1）受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。（2）磁场方向不确定形成多解（典例2）有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑感应强度方向不确定而形成的多解。 （3）带电粒子运动方向的不确定形成多解（典例3）带电粒子以不同的速度方向进入磁场中，作圆周运动的

6、轨迹是不同的，因而会形成多解情形。（4）临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。（5）运动的重复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。典例1. 如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角= 600 ，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ 600v

7、0xyO（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？变式训练：如图所示，L1和L2是距离为D的两平行虚线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，A、B两点都在L2上.质量为m，电量为q的带电粒子从A点以初速v斜向上与L2成30°角射出，经过偏转后第一次又经过L2上的某点B，不计重力影响，求AB之间的距离 图2分析：若粒子带正电，则轨迹为图2中1轨迹所示， 若粒子带负电，则轨迹为图中2所示， 典例2、某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直它的运动平面，电子所受电场力恰是磁场对它的作用力的3倍，若电子电荷量为e，质量为m，磁感应强度为B，那么，

8、电子运动的可能角速度是（ ）AC A、4eB/mB、3 eB/mC、2 eB/mD、eB/m在（1）、（2）情况下：F+F=mr，又F=3F=3evB4evB=mr又v=r在图（3）、（4）情况下F- F=mr，又F=3F=3evB2evB=mr又v=r正确答案：AC变式训练：07年全国卷19题如图3所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图中箭头所示。现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）ADA、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T0

9、C、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T0分析：本题中，只说明磁场方向垂直轨道平面，那么可能的磁场方向就有两种，当磁场方向指向纸面内时，质点所受的洛仑兹力方向背离圆心，与库仑引力方向相反，则向心力减小，由可知，当轨道半径R不变时，该质点运动周期必增大，故A正确，同理可得，当磁场方向指向纸外时，粒子所受的洛仑兹力指向圆心，则向心力增大，故D也正确。题中若只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出场强强度方向，此时必须考虑场强方向不确定而形成的多解。典例3、在xoy平面内，x轴上方存在磁感应强度为0.5T的匀强磁场，方向如图，一粒子（电荷量与质量的

10、比值为5.0×107C/kg）以5.0×106m/s的速度从O点射入磁场中，其运动方向在xoy平面内。经一段时间粒子从图中的A点飞出磁场，已知OA之间的距离为20cm，求粒子在磁场中的运动时间。（计算结果保留两位有效数字）解：以粒子为研究对象，在磁场中运动时，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得Bqv=m所以R=粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期 T=（1）若粒子沿甲图所示方向射入，设AO1B为，则 解得粒子在磁场中运动的圆心角粒子在磁场中的运动时间为·T=1.9×10-7s（2）粒子沿乙图所示方向射入，设AO1C为，则解：粒子在磁场中运动的圆心角 粒子在磁场中

11、的运动时间为t2=0.63×10-7s典例4：一质量为m、带正电q的粒子（不计重力）从O点处沿+Y方向以初速0射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别为y=0、ya、x= -1.5a,x=1.5a如图5所示,改变磁感应强度B的大小，粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变。试讨论粒子可以从哪几个边界面射出，从这几个边界面射出时磁感应强度B的大小及偏转角度各在什么范围内？yxa1.5a1.5a0v0B图5分析：粒子做圆周运动的半径（1）当R>a时，粒子将从上边界射出，此时B,(2)当a>R>3a/4时

12、粒子将从左边界射出，此时,(3)当时，粒子将从下边界射出，此时,=.变式训练1：M、N两极板相距为d，板长均为5d，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，求磁感应强度B的范围要使电子都不从板间穿出，只要靠近上板的电子不能射出，便满足要求。临界轨迹如图。洛仑兹力提供向心力qvB=，故：B=圆心为O1时，R1=，此时B1=圆心为O2时，R22=(R2-d)2+(5d)2，得R2=13d此时B2=那必须满足：R1RR2 也就是B变式训练2：如图所示一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，垂直纸面向里的匀

13、强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角30°，大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。× × × ×× × × ×× × × ×abcdO30°·（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围。（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab边相切时，圆心为O1，R1=-R1cos60°，得R1=，轨

14、迹与cd边相切时，圆心为O2由几何知识得：R2=又：R=，得：v0=故范围：（2）经分析由ad边射出的粒子时间相等且最长 T=圆心角=360°-60°=300°所以t=典例5：06年全国卷II.25如图7所示，在x0与x0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？分析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的

15、大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，有：r1 r2现分析粒子运动的轨迹。如图8所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为2 r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离d2（r2r1）此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足nd2r1 则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n1，2，3，为回旋次数。图8由式解得图9由式可得B1、B2应满足的条件n1，2，3，而学生在解题过程中容易忽视运动

16、的周期性，按照图9解，从而得到的不完整的结论。在例题1中如果去掉第一次经过L2的条件，则也需要考虑这种运动的周期性。带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。 典例6：如图8所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件？  解析：如图9所示，粒子由A孔进入圆筒中做匀速圆周运动，半

17、径为R，圆心在O点处，粒子运动轨迹与相交的一段弧长所对应圆筒的圆心角为，各壁相撞后反弹速度大小不变，方向相反，且仍指向圆心O，粒子周期性重复以上过程，若要仍从A孔射出，则必有： （k=3，4，5）                          由几何关系可得：     

18、60;             联立式可得：（k=3，4，5）（2014江苏） (16 分) 某装置用磁场控制带电粒子的运动,工作原理如图所示. 装置的长为 L,上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直且相反,两磁场的间距为 d. 装置右端有一收集板,M、N、P 为板上的三点,M 位于轴线 OO上,N、P 分别位于下方磁场的上、下边界上. 在纸面内,质量为 m、电荷量为-q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入,方向与轴线成 30

19、 ° 角,经过上方的磁场区域一次,恰好到达 P 点. 改变粒子入射速度的大小,可以控制粒子到达收集板上的位置. 不计粒子的重力.(1 ) 求磁场区域的宽度 h; (2 ) 欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点,求粒子入射速度的最小变化量  v;(3 ) 欲使粒子到达 M 点,求粒子入射速度大小的可能值.如图甲所示，间距为d垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向

20、射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t=0时刻入射的粒子经时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、d、v0为已知量。（1）若，求B0；（2）若，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；（3）若，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。（1）设粒子做匀速圆周运动的半径，由牛顿第二定律得                   据题意由几何关系得     

21、;                    联立式得                       （2）设粒子做圆周运动的半径为，加速度大小为，由圆周运动公式得 

22、                        据题意由几何关系得                        联立式

23、得                       （3）设粒子做圆周运动的半径为，周期为，由圆周运动公式得                     由牛顿第二定律

24、得                  由题意知，代入式得                        粒子运动轨迹如图所示，、为圆心，、连线与水平方向夹角为，在每个内，只有A、B

25、两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求，由题意可知                   设经历完整的个数为（，1，2，3）若在A点击中P板，据题意由几何关系得              当n=0时，无解     

26、0;                当n=1时联立式得或（）                联立式得                            当时，不满足的要求   若在B点击中P板，据题意由几何关系得