史利楠-英文翻译

1、泰勒公式和极值的研究1.泰勒公式的映射定理1设映射，是点x的邻域，Y是赋范空间，映射有n - 1阶导数（包括n-1在内），在点x处有 n阶导数，且 （1）等式（1）一种泰勒公式，这里写的是一般类映射。证明：我们用归纳法证明泰勒公式（1）当时，由的定义，(1)式成立。假设(1)对成立。然后利用中值定理，第五章公式（12），和归纳假设，我们得到当时在这里我们将不会花时间来讨论泰勒的公式的其他版本，虽然有时是很有用的。他们先前讨论的详细数值函数。在这一点上我们把它留给读者去（例如，可以看问题1）。2.内部极值的研究 利用泰勒公式，我们将表现出的必要条件，也为实值函数关于赋范空间的开子集的定义一个内部

2、的局部极值的充分条件。正如我们将看到的，这些条件类似于我们熟知的实变量的实值函数的极值的微分条件。定理2 设是定义在赋范空间X的开集U上的实值函数，且f在某个点的邻域有直到阶(包括k-1阶在内的)导映射，在点x本身有k阶导映射。假如：和，使x是函数f的极值点必要条件是: k是偶数，是半定的。充分条件是: 在单位球面上的值不为零；此外，如果x是一个局部最小值的不等式 在那个范围内，一个局部最大值，那么x是严格局部极大点证明，为了证明我们考虑泰勒展开（1）在附近的x。由所作的假设可得，其中是实值函数，并且当时有我们首先证明这个重要的条件。因为，所以有向量，使。于是，对于充分接近于零的实参量t， 括

3、号内的表达式与同号。x是一个极值，当t变号时最后一个等式的左边(从而右边)必须不改变符号。但是这仅仅是如果k是偶数。这种推理表明，如果x是一个极值点，那么对于充分小的t，差的符号与相同，因此，在这种情况下，不能有两个向量, ，使在它们上的取值有不同的符号。我们现在的充分性条件的证明。为了明确我们考虑的情况下，当 的情况。这时 ，又因时，所以不等式的右端对于所有充分接近于零的向量均为正。因而对所有这些向量h，即x是严格局部极小点。严格的局部最大值的充分条件是类似验证。注1 如果空间X是有限维的，那么以点为中心的单位球面是X中的有界闭集，因而是紧集。这时，连续函数（k-形式）在有一个最大和最小值。

4、如果这些值的符号相反，那么函数f在点x没有极值。如果它们同号，那么像定理2所指出的，f在点x有极值。在后一种情况下，显然极值的充分条件可叙述为与它等价的形式:形式是定的(正定的或负定的)。我们在研究中的实值函数时所遇到的就是这个条件。注2 像我们曾经在函数看到的，在极值的必要条件中所说的形式的半定性还不是极值的充分条件。注3 在实践中，在研究可微函数通常只使用第一或第二级差极值。如果唯一性和极值的特性从正在研究的问题的意义是显而易见的，那么在求极值点时就可只用一阶微分:求满足的点x。3.一些例子例1 设，而，用其他话说是定义在上一个连续可微的实值函数，并且是定义在区间上的光滑实值函数。我们研究

5、函数 （2）以下关系给出定义 （3） 因此，(2)是定义在函数集上的实泛函。基本的变分原理与运动是物理学和力学中众所周知的。根据这些原则，在所有可能的运动实际的动作是有区别的,他们沿着轨迹进行特定的泛函,有一个极值。与泛函的极值有关的问题是最优控制理论中的中心问题。因此，寻找和研究泛函极值问题是重要的独立课题，分析中以大量篇幅讨论这个课题的理论，这就是变分学，为使读者对从数值函数的极值分析到寻求和研究泛函的极值的转变不感到突然的，我们己做了某些工作。但是我们不准备深入讨论变分法的专门问题，仅以泛函(3)为例说明上面讲过的微分法和局部极值研究的一般思想。我们说，泛函（3）可以被看作的映射并求出它

6、的微分。映射: (4)由公式定义: (5)其次是映射: (6)通过积分性质，映射是明显的线性和连续可微性，使其清晰。我们将表明，也可微映射，并且 (7)其中 .事实上，通过有限增量定理的推论，我们能得到如下情况 (8) 其中，。 如果记起中函数f的范数是(其中是函数上的最大模)，那么设,和，考虑到函数在的有界子集上的一致连续性，从不等式(8)得到 当时，而这意味着等式(7)成立。 现在，根据复合映射的微分定理断定，泛函(3)确实可微，并且 (9)经常把泛函(3)限制在那样一些函数的仿射空间上，它们在区间的端点取固定的值,。在这种情况下，切空间中的函数h在区间的端点应该有零值。考虑到这一事实，我

7、们可以结合的部分（9）和把它纳入形式 (10)假设，L和F属于相应的函数类。特别是，如果f是这个泛函的极值点(极值曲线)，然后由定理2，我们有的函数均有。由此，由(10)不难推出(见练习3)，函数f应该满足欧拉-拉格朗日方程。 (11) 这是一个常见的形式的方程中的演算的变化被称为欧拉-拉格朗日方程。现在让我们考虑一些具体的例子。 例2 短程线问题 在一个平面上连接两个固定点之间的所有曲线，发现曲线具有最小长度。在这种情况下，答案是显而易见的，我们将在以后作为检查的形式计算。我们假设一个固定的笛卡尔坐标系统已经在平面的选择，这两个点，例如，和是给定的点。我们只限于研究那些曲线，它们是在区间的端

8、点取零值的函数的图像，这种曲线的长度 (12)依赖于函数f且是例1中所研究的那种类型的泛函。在所给的情况下，函数L有形式，因此，在这里极值的重要条件(11)归结为方程，由此可见 (13)因为函数是严格单调增的增函数，所以(13)只有在上常数时才能成立。这样一来，要求的光滑极值函数应是线性函数，其图形通过点,。由此推出，于是我们得到，连接两个已知点的直线段为所求的曲线。 例3 最速降线(或捷线)问题 由约翰伯努利1696提出了经典的最速降线问题，质点沿着该沟槽在重力作用下在最短的时间内从已知点滑落到另一更低的固定点。 我们忽略了摩擦，当然。此外，在以后的研究中我们不考虑两个点位于同一铅垂线上的平

9、凡情况。在通过点，的铅垂平面内，引进直角坐标系，使得点是它的原点，横轴垂直向下，而点有正的坐标。我们将只在定义在区间上满足条件，的光滑函数的图形中寻求沟槽的形式。我们暂且不讨论这个绝非无可争议的假定。 如果质点从点以零速度开始自己的运动，那么在所选择的坐标系中它的速度的变化规律为 (14)回忆的微分弧长计算公式， (15)求出沿着由定义在区间上的函数的图形确定的轨道运动的时间 (16)对于泛函(16), ,因此，极值的必要条件(11)在所给情况下归结为方程,从它推出 (17)其中c是不为零的常数。(因为，不在同一铅垂线上!)考虑到(15)，方程(17)可以改写为 (18)但从几何的观点有 , （19）其中是曲线的切线与横轴正方向间的夹角。比较方程(18)和(19)的第二个方程，我们求出 (20) 但是根据(19)和(20)得到,由此可见 (21)设和，我们把关系式(20)和(21)写为 (22) 因为，所以只在,时。从函数(22)的形式推出，不失一般性，可以认为点对应于参量。这时，我们得到所求曲线的更简单的参数形式 (23)对该曲线的参数定义。因此，最速降