2.4空间群的推导

1、8L 14种Eravais点阵类型平行六面体的选择（画楮子）原则如下：1）所选取的平行六面体应能反映结点分布整体所固有 的对称性；2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱与棱之间 的直角关系力求最多；3）在满足以上二条件的基础上，所选取的平行六面体 的体积力求最小。1. 14种日ravais点阵类型mm2例如：下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子:OOOOO O OOOOOOOO OOOOOOOOOOO 4mm1. 14种Bravais点阵类型1. 14种Bravais点阵类型4mmCOOh1O>_OOO) 1O>W 1OW7mm2引出一个问题:空间格子可以有带心的格子;

2、另外请思考：如果上面的图案对称为3口 该怎么画?L 14种Bravais点阵类型我们讨论了平行六面体（格子）的形状，并未讨论格子内的内 容。如果一个格子就包含一个阵点，我们称之为素单位格子； 如果包含有多于一个阵点时，我们就成为复单位格子。复扌繍1. 14种日ravais点阵类型平行六面体中结点的分布（即格子类型）1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。2）底心格子（C、A、B）:结点分布于平行六面体的角顶 及某一对面的中心。3）体心格子（I）:结点分布于平行六面体的角顶和体中心。4）面心格子（F）:结点分布于平行六面体的角顶和三对面 的中心。1. 14种日ravais点阵类型1

3、. 14种日ravais点阵类型原始紆（卩） 底心紆（C）体心恪子而心恪了（卜、）三斜晶系F=PI=C"C恻方晶系c.F=1斜方晶系方晶系与本晶系 对称小符亠八方晶系不符合六方对称与空间格子的条件不符与空间格子的条件不符'j木晶系对称不符1. 14种日ravais点阵类型补充说明: 按单位平行六面体的7种划分和四种结点分布类型，空间格子 应有7X4=28种，但实际给出14种。？ ？这是因为：某些类型的格子彼此重复；一些格子不符合该晶系的对称下边举例进行说明：例1：四方底心格子=四方原始格子所以，在14种布拉维格子中，四方底心格子不需要保留。例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称

4、。所以，在14种布拉维格子中，立方底心格子不存在。2空间群的国际符号空间群的国际符号由两部分组成: 符号首位字母0、I、尸或尺）表示布拉维格子类型。后继以对称型的国际符号，但将其中的对称要素符号换上相应内部构造的对称要素符号O 在表示对称元素时尽量写滑移面，仅在滑移面不存在时才写 旋转轴。国际符号的3个方向仍按照各晶系定向。如果在同一个方向不同位置有几种对称元素，对于反映面， 我们按照ni、a> b、c、n d顺序找，既有前者又有后者时尽 量写前者。空间群的圣弗里斯符号是在同形点群符号右上角表上一个数 字表示序号，如£2空间群的国际符号实例说明：I4/Qmd空间群 从首位符号知

5、，属于体心格子； 从后面的符号知，属于四方晶系对称型； 由对称要素知，平行Z轴方向为螺旋轴幻，垂直Z轴有滑移 面垂直X轴为对称面加，垂直X轴与Y轴的角平分线为滑 移面才O3.空间那aassa:恥群c岔为例II!在与点群C2V同形的空间群推导中，我们可 以只考虑滑移面组合的情况,因为2次轴可 右滑移面组合产生。这里的滑移面包括反映 面，2次轴包括2次旋转轴。在晶体32个点群 中，C2v属于正交晶系,有P、I、C、F四种 布拉维格子。C2v点群中有2个正交的反映面, 对应与微观上就表现为两个正交的滑移面， 滑移面有m, n, a, b, c, d, 6种。考虑2 个正交滑移面的组合，如n和q的组合

6、，根据 对称元素组合原理:Illb + cn-a = mLci - m叫彳）（叫号）才=（处丄a ） ° （肌丄 b ）*| = 2a+b ° I" = 2 a+b±44443, mww的推串规点群c岔为例投影图如下图所示：下标丄a表示该反映面垂直a方向，且包含原点，a/4表示 该滑移面垂直Q方向，且位置居原点Q/4的位置。(a+b)/4 表示该2次轴在格子中位置为(a+b)/4 o图3-20 n 4 a组合产生乙螺旋轴3空间群的雀再如:讥=叫与叫bba小刁=加丄b 刁"丄。石=加丄bm±a =2a+b 乙乙2 丄才 丄4T所有组合如

7、表所示:八mnb1c?n2 * -JI214127i用424也1i2亍a1212】屮2 (" b)42诸c2i2埒2rd2(3 + b袤3-5 两个正交滑移面的组合3, SlWW的推串 规点群c药为例因此根据上表组合可以得出:mnbcdmmm2nm2xbm2cm21nmn2inn2bn2icn2ama2na2iba2ca2jcmc2inc2bc2cc2ddd23、sww的推导:对于P格子，内部没有非初基平移，不存在d滑移面，而且 滑移面2和b定向是人为的，实际是一回事，所以根据上表，p 格子有10种空间群。mnmmm2nm21nnn2an%cnc2dbcdbm2罕cm2谆bn2“cn

8、2鼻ba2ca2lrbc2lvcc2因此P格子的10个空间群为：Pmm2; Pmc21; Pcc2; Pma2; Pca21; Pnc2; Pmn21; Pba2; Pna22； Pnn23、SWW的推导:f于恪子、A扌J I格子都为二重复格子，附加平移分别为 (a+b)/2、(b+c)/2、(a+b+c)/2。F構子为4重复格子，附加 平移为(a+b)/2、(b+c)/2、(a+c)/2。5种滑移面与这些附加 平移组合会产生新的滑移面，下面以反映面ni为例进行说明：比护 "+ " 口卜a +方T T =， m 人=m2 2a+bm u mb a a2 2 4 2 4abb

9、t二加 一 = b :22?兰斗乙4Q-i-U22当“I23、SWW的推导:规点群C药为例时,b2时,2=叫a +b+c2二叫+ca + b + c2=加L"=他423、空闾群的推导：以点群C药为例这样可以得到5种滑移面和4种附加平移的组合，如下表所示:表36滑移面与附加平移的组合JabJJa + b叽%q叭%屯2474I4442J4g%4%4J叫4b一 -2%4叫J4J44a + 方 + c*叫«a叫叫5q244444143、SWW的推导:从上表中可以得出下面的结论：在C格子中，m丄b和a共存；m丄&和b共存；n丄b和c丄b共存; n丄a和C丄a共存；在c格子中，

10、滑移面Q和b定向也是人为的，实际是一回事，所 以10种正交滑移面组合在C格子有：Cmm2 = Cmal = CbalCmc2 = Cmnlx = Cnalx = Cca2Ccc2 = Cnn2 = Cncl即在C格子中，有3种空间群：Cmm2; Cmc21； Ccc23、SWW的推导:在A木各子中，m丄匕和c丄匕共存；m丄玄和n丄a共存；n丄匕和2共存; c丄a和b共存；由于在A格子中，a方向和b方向不能交换，因为 (100)面有心，而(010)面无心，所以应该考虑5种正交滑移面 全部16种组合：Amm2 = Amclx = And = Anm2 Abml = Abc2 = Acmlx = A

11、cc2 Amal = Amn2 = Ana2x = Ann! Abai = Abn2 = Aca2 = Acnl即在A格子中，有4种空间群：Anim2; Abm2; Amn2, Aba23、SWW的推导:在I格子中，m丄b和n丄b共存；m丄a和n丄共存；c丄b和Q共 存；c丄a和b共存；由于在I格子中，a方向和b方向可以交换, 10种正交滑移面组合：lmm2 = Inn2 = lmn21Iba2 = lcc2 = lca2lIma2 = Imc2l = Ina2l = lnc2即在I格子中，有3种空间群：Inini2; Ima2; Iba23、SWW的推导:在F格子中，先不考虑川腊移面的组合，

12、mlb> nlb、°丄b、Q共存； m丄a、n丄a、C丄a、 b共存；由于在F格子中，a方向和b方向可以交换,10种正交滑移面组合在F格子中完全等价:3、SWW的推导:Fmrn2 = Fnril = Fmn2I = Fba2 = Fcc2 =Fca2j = Fma2 = Fmc2I = Fna2l = Fnc2最后考虑N/组合：d滑移面会产生一个附加平移(a+c) / 2或者 (b+c)/2,两个正交的dd滑移面又会增加一个附加平移，即：b + c air=2b23、SWW的推导:丄b和db/4共存，dFmm2; Fdd21丄a和da/4共存,所以存在阳必么空间群，其d 即在F

13、格子中，有2种空间群:与同形的空间群总共有：10(P)+3(C)+4(A)+3(I)+2(F)=223、SWW的推导:规点群C药为例3、SWW的推导:3、SWW的推导:1、空间群 Cv-Pmnil3、SWW的推导:3、SWW的推导:2、空间群 C： 一Pmc23、SWW的推导:3、SWW的推导:mC = 加加'£ = 2£ = 2| 丄2213、SMW的推导：以点蠶C药为例3.空间群 Cfv - Pcc24.空间群- Pma2玄空间確的推导：以点群c药为例5空间群2vc a = mnia2 m±b叫叫与=2$4厶46空间群Cl - Pnc2b + c cU

14、c丄仪=叫。叫三b c b c mib c = 2 于=2g31S.HV7.空间群 C；, - Pmn2a + c c c a 心叽叫有七 c习 m-n = m±m±z?- = 2- 胡厶222¥8空间群Ka = mLa2 i-厶4Cl- Pba2 cl，- Pba2 bm2a*2=mLa 叫aa + b 小=2= 2224a+b23.窒间摯髓 朋群G9空间群Vmb + c a . c a + b曲=叫一 加丄r=2三一-a + b_ 2- _ 2(+bZ410空间群C加Pnn2b + c a + cnia 0 =叫叫a+b _ a+b _=- mibc = 2=

15、 222a+b4al/- = ab4 一 4即m和q滑移面每隔b/4交替存在3、空间群的推导：以点群C药为例11空间群 C-Cmmla + ba b. b 7mia- = mia = m-=baL乙 乙4 上4即m和b滑移面每隔a/ 4交替存在a + ba br / = m、 = m22 27 2a + b c b + a _ 加丄。加丄b = 2一= 2外°224导2亠 的 6M12空间群 C-Cmclxa+ba b .b ,=b“2 -厶 4即m和b滑移面每隔a/ 4交替存在 ba+ba b c acm 亍三三二眈三三.a + c=叫-7- = 44即c和n滑移面每隔b/ 4交替

16、存在a+bc a+b a+b叫叫三胡丁 = 2佇m导2亠 的 6Mb 一 2Q 一 2C 一 2=- 2Q 一 2即c和n滑移面每隔b/ 4交替存在即c和n滑移面每隔q/ 4交替存在2 2= 2-43空间群的雀11 空间群 C-AmrrHb + c"T"b + c2b=m2专2即垂直b轴，m和c滑移面每隔b/4交替存在mLa叫bb + cT2 2间群的推导:15空间群- AbrrHb + c"T"b b + c2 2b + c2b=m24即垂直b轴，m和c滑移面每隔 b/4交替存在,b+cb b+cbg 加丄一二加丄二加丄一冰为例=24=24b + c2

17、=24导2亠 的 6M16空间群 CZ - Ama2b + cmiab + caau= m、 lb 2丄匕2a + c= nt4 厶4图3-36 宇间群C；-加诚2即垂直b轴，Q和n滑移面每隔b/4 交替存在b + ca b + c c b + c _a+bmLaaLb-=mVamLb- = 2a _ = 2L22424导2亠 的 6M17空间群 C -Aba2t b + c L一 =叫b b + cb + c=叫=叫=叫即垂直b轴,q和n滑移面每隔b/4交替存在b a + c2 2图3-37牢间群匚；-规皿2b a b + cb + ca2=叫辽尬丄b 亍一 = 2迥一- = 2乜3空间群的

18、雀b + cC=C2-厶418，空间群瞪_ Amm2空间群有附加平移0+c)/2,(b+c)/2, (a+b)/2,将ni分别与之组合b + amvaC ,=tn °2-厶4b + aa = m±2a=©2-厶4a + c叫pb导2亠 的1& 空间群 F；：_Amm23空间群的推导：以原群C荻为例19 空间群蛮一 Fdd2图3-39 V - Fdd2牢间群的投影图3空日20空间群 C?T mm244c + b + a2a b + c2 244=®444c + b + a2=叫b a + c2 2=伽4a + c2444mVa叫c + b + a2c a+b2 24= 2ra+b243空间群的雀21、壁间群 CH-Iba2= miaa4