高数(多元函数的极值和条件极值)ppt课件

1、1一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值9.8-9.9多元函数的极值及条件多元函数的极值及条件 极值极值2xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或224

2、3yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz3说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点 . 例如例如,定理定理1 (必要条件必要条件) 函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxf

3、z在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 4时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC5例

4、例1.1. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(22336在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大

5、值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC7例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正

6、负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02BAC33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz8例例(最小二乘法最小二乘法) 在实际问题中，常常要从一组观测数据在实际问题中，常常要从一组观测数据(xi,yi)(i=1, ,n)出发，预测函数出发，预测函数y=f(x)的表达式从几何上的表达式从几何上看，就是由给定的一组数据看，就是由给定的一组数据(xi,yi)(去描绘曲线去描绘曲线y=f(x)的近似的近似图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲线能够反映出所给

7、数据的总趋势线能够反映出所给数据的总趋势(参看下图参看下图). 作曲线拟合作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实际数据采用一种际数据采用一种“直线拟合直线拟合”:的方法的方法,也就是用线性函数也就是用线性函数来作逼近来作逼近 9假定所给的数据点假定所给的数据点(xi,yi)(的分布大致成一条直的分布大致成一条直 线，设它的线，设它的方程为方程为y=ax+b其中系数其中系数a、b待定待定.将将xi 代入直线方程，得代入直线方程，得这与实测到的值这与实测到的值yi有偏差有偏差称称 = (a,b)为为平方总偏差平方总偏差. 现在

8、求现在求a,b，使得平方总偏差，使得平方总偏差 达到最小，则所得直线达到最小，则所得直线 y=ax+b就是所给数据的最佳拟合直线就是所给数据的最佳拟合直线.), 1(nibaxyii )., 1()(nibaxyyyiiiii 作偏差的平方和作偏差的平方和,)(12222212 niiinbaxy 10由极值的必要条件，有由极值的必要条件，有于是得到于是得到a、b所满足的方程所满足的方程 由此方程组解出由此方程组解出a、b，则，则y=axb就是所要求的直线方程就是所要求的直线方程. nininiiiiniiiiiyxxbxaxbaxya111122, 0)(2)(2)( niniiniiiiy

9、nbxabaxyb1112. 0)(2)(2)( .)(,)()(111112niiniiniiiniiniiynbaxyxbxax11二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点(假设假设 f 可微可微)边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据12例例3.3.解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y

10、 m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323

11、22223313例例4. 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板 , 把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大积最大. )0,120:(2 xD为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面14cos24xcos22x0)sin(cos222x令令xAsin24sin4x0cossin2xA解得解得: :由题意知由题意知, ,最大值在定义域最大值

12、在定义域D 内达到内达到, ,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点, ,故此点即为所求故此点即为所求. .,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x15三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限

13、制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz16,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有17引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函

14、数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF18推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yy

15、yyfF021zzzzfF01F01F19例例5. 要设计一个容量为要设计一个容量为0V则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz20得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是

16、存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为,340Vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .21内容小结内容小结1. 函数的极值问

17、题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法22设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义

18、确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F23已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则则 ACABS2110321yx24设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合