层次分析法案例

1、层次分析法实例案例分析：众所周知，重庆作为著名的“四大火炉之一，夏天 酷暑难耐，无疑空调成为人们必不可少的“降温神器，重庆的夏天 不能没有空调。然而，空调的品牌越来越多，功能也各不相同，人们 不禁会遇到一个难题一如何选择一款适宜的空调？当然，空调的选择要考虑各方面的因素，比方说空调的价格、性 能、品牌等。下面就用层次分析法(AHP对我国的三大空调品牌的 选择进行分析为消费者提供一种购置决策。 选购的准那么有空调的品牌 信誉，产品技术，性能指标，空调的经销商和价格。三大空调品牌为 格力，海尔，美的(1) 建立层次结构模型目标层A准那么层B方案层C空调的选购C2海尔C3美的Ci格力(2) 构造成比

2、照拟矩阵并赋值根据递阶层次结构构造判断矩阵。构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准 那么)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角)，隶属于它的各个元 素依次排列在其后的第一行和第一列。填写判断矩阵的方法：大多采取的方法是：向填写人(专家)反复询问，针对判断矩阵的准那么，其中两个元素两两比拟哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值(重要性标度值见下表)。标度含义1表示两个因素相比，具有相冋重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2, 4, 6, 8表示上述相

3、邻判断的中间值倒数假设因素i与因素j的重要性之比为aj，那么因素j与因素i重要性之比为a广丄。au设填写后的判断矩阵为A =(3j)n n，贝S判断矩阵满足如下性质:1(1) aij 0 , (2) a( i, j = 1,2, , n ) (3)aii =1aj根据上面的性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写an =1的局部，然后再 仅需判断及 填写上三角形或 下三角形的 n(n-1)/2 个元素就可以了。在特殊情况下，判断矩阵具有传递性，那么满足等式： ajajk “ik 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，那么称该判断矩阵为一致性矩 阵。构造判断矩阵并赋值，填写后的判断矩阵如下

4、：目标层A的判断矩阵如下：B1CiC2C3C1131C21/311/5C3i151ABiB2B3B4B5B111/31/553B2311/233B352175B41/51/31/711B51/31/31/511准那么层B的各类准那么判断矩阵如下B5C1C2C3C1152C21/511/3C31/231B3C1C2C3C1143C21/412C31/31/21B4CiC2C3Ci133C21/311C31/3113、层次单排序(计算权向量)与检验对于赋值后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准那么的相对权重，所以本质上是计算权向量。用求和法计算权向量

5、，对于一致性判断矩阵，每 一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一 化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。a(1)将矩阵各列归一化：bij= jj矩阵A第一列的和为9.533，第二列的和为4,第三列的和为2.043， 第四列的和为17，第五列的和为13。那么得到如下矩阵ABiB2B3B4B5Bi0.1050.0830.0980.2940.231B20.3150.2500.2440.1760.231B30.5240.5000.4900.4120.384B40.0210.0830.0700.0590.077B50.0350.0840.0980.05

6、90.077i(2)将矩阵各行求和八bj，得到如下结果(即矩阵V):jBi0.811B21.216B32.310B40.310B50.353i(3) 再进行归一化：vs bj (上述矩阵V列的和为5)jBi0.162B20.243B30.462B40.062B50.071即得到准那么层权重，即为矩阵 W(4) 一致性检验在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并 不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判 断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如假设A比B重要，B又比C重 要，那么从逻辑上讲，A应该比C明显重要，假设两两比拟时出现A比C重要的 结果，那么

7、该判断矩阵违反了一致性准那么，在逻辑上是不合理的。因此 在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性， 需进行一致性检验。只 有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行 分析。所以为了判断矩阵的一致性，就可以利用最大特征根冷ax与矩 阵A的阶n的差检验一致性。致性指标：ci =上二£n 1maxn iAW iwi本例中：AW=_1351/5'1/31/3121/31/31/51/211/71/55371130.162X13510.2430.4620.062X2X3X41 j 0071-X5那么 X1 =0.8584 X2 =1.359 x 2.547 x 0.

8、3124 x 0.3604九=丄厶十亠5.30_max5 <0.1620.2430.4620.0620.071 丿再计算一致性指标ci : Cl二4 二型兰=0.075n T 5 T然后查找查表确定相应的平均随机一致性指标R丄，据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R丄。例如，对于5阶的判断矩阵，查表得到R丄=1.12n1 23456789RI0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46然后再计算一致性比例CRCcL=0i075=O.O6RI 1.12由于CR ： 0.10，所以认为判断矩阵的一致性是可以接受的。同理可得准那么层B的各类准那么(B

9、1 B2 B3 B4 Bs )经归一化求权重B1单排序权值C10.405C20.115C30.480CR0.014后和一致性检验后的一致性比例的结果如下:B2单排序权值Ci0.387C20.170C30.443CR0.008B3单排序权值C10.620C20.220C30.160CR0.053B4单排序权值Ci0.600C20.200C30.200CR0.000B5单排序权值Ci0.580C20.110C30.310CR0.003根据以上结果可以看出CR的值均小于0.10，所以认为各准那么层的判 断矩阵的一致性是可以接受的。4、层次总排序与检验方案层单排序权值分别与对应准那么层权值相乘后再相加即可得到总 排序权值。层次总排序入下表所示：准那么品牌信誉产品技术性能指标经销商价格总排序权准那么层权值0.1620.2430.4620.0620.071值方案层单排格力0.4050.3870.6200.6000.5800.524序权值海尔0.1150.1700.2200.2000.1100.182美的0.4800.4430.1600.2000.3100.294然后对层次总排序进行一致性检验，检验公式为m、Cl