导数的四则运算法则PPT精选文档

1、.11.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.2一函数和（或差）的求导法则一函数和（或差）的求导法则 设设f(x)，g(x)是可导的，则是可导的，则(f(x)g(x)= f (x)g(x). 即两个函数的和即两个函数的和(或差或差)的导数，等于这的导数，等于这两个函数的导数的和两个函数的导数的和(或差或差).(fg)f g 也可写为也可写为(uv)u v 有有 的的 书书 上上 写写 作作上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.3证明：令证明：令y=f(x)+g(x)，则，则y y= =f f( (x x+ +x x) )+ +g g(

2、 (x x+ +x x) )- - f f( (x x) )+ +g g( (x x) ) = = f f( (x x+ +x x) )- -f f( (x x) ) + + g g( (x x+ +x x) )- -g g( (x x) ) = =f f+ +g gy yf fg g=+=+x xx xx xx x0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0y yf fg gf fg gl li im m= =l li im m+ += =l li im m+ +l li im mx xx xx xx xx x即即y=(f(x)+g(x)= f (x)+g(x) 简记为：简记为：y y

3、= =( (f f+ +g g) ) = =f f + +g g 上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.4同理可证同理可证 ()yfgfg 这个法则可以推广到任意有限个函数，这个法则可以推广到任意有限个函数，即即 1212()nnffffff二函数积的求导法则二函数积的求导法则设设f(x)，g(x)是可导的函数，则是可导的函数，则 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f x g xfx g xf x g x 两个函数的两个函数的积的导数积的导数，等于第一个函等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，函数乘以第二个函数

4、的导数， 上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.5即即 )(uvvuuv证证: :),()()(xvxuxfy ),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy .)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 因为因为v(x)在点在点x处可导处可导, 所以它在点所以它在点x处连续处连续, 于是当于是当x0时时, v(x+x) v(x).从而从而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx 上页上页下页下页铃铃结束结束返回

5、返回首页首页.6推论推论: :常数与函数的积的导数常数与函数的积的导数, ,等于常数乘函等于常数乘函数的导数数的导数, ,即即: :(Cu)CuCuCuCu.0 0三函数的商的求导法则三函数的商的求导法则 设设f(x)，g(x)是可导的函数，是可导的函数，g(x)0，两个函数的商的导数，等于分子的导数与两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，再除以分母的平方， 2( )( ) ( )( ) ( )( )( )f xfx g xf x g xg xgx即即上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.7例例1求

6、多项式函数求多项式函数f(x)= 的导数。的导数。1110nnnna xaxa xa解：解：f (x)=1110()nnnna xaxa xa1211(1)nnnnna xnaxa例例2求求y=f(x)=xsinx的导函数和的导函数和f(0)。解：解：y=(xsinx) =xsinx+x(sinx) =sinx+xcosx.例题讲解例题讲解: :上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.843(2)(2 )(2)yxx xsin(4)21xxye(3)sin cosyxx例题3：求下列函数的导数f(x)和f(1)52(1)238yxx上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.9例例3求

7、求y=f(x)=sin2x的导函数和的导函数和f(0)。解：解：y=(2sinxcosx) =2(cosxcosxsinxsinx) =2cos2x.例例4求求y=f(x)=tanx的导函数和的导函数和f(0)。解：解：y= sin()cosxx22cos cossin sin1coscosxxxxxx上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.10例例5求求y= cosx的导数的导数.x1解法一：解法一：y=( cosx) =( )cosx+ (cosx)1x1x1x1 13 3- - -2 22 23 31 11 11 1= =( (x x ) )c co os sx x - -s si

8、 in nx x = = - -x x c co os sx x - -s si in nx x2 2x xx xc co os sx x1 1c co os sx x + + 2 2x xs si in nx x= = - - -s si in nx x = = - -x x2 2x x x x2 2 x x上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.11解法二：解法二：y=( cosx)=( )1xxxcos1 1- -2 22 21 1- -s si in nx x x x - - c co os sx x( (x x ) )( (c co os sx x) ) x x - - c c

9、o os sx x( ( x x) )2 2= = =x x( ( x x) )1 1x xs si in nx x + +c co os sx x2 2x xs si in nx x + + c co os sx x2 2 x x= = - -= = - -x x2 2x x x xc co os sx x + + 2 2x xs si in nx x= = - -2 2x x x x上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.12例例6求求y=f（x）= 的导函数的导函数,f(1).xx311()3xyx解：解：2222(1) (3)(1)(3)(3)xxxxx222222)3(32)3

10、()2)(1 (3xxxxxxx上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.13四、复合函数求导法则：四、复合函数求导法则：g(x)最后带入g(x)最后带入t t(t),(t),(x)f(x)fggf(g(x)f(g(x)如上面如上面例例3求求y=sin2x的导数。的导数。t=g(x)=2x,f(t)=sint, 所以所以f(g(x)=(sin2x)=(2x)(sint)=2cost=2cos2x练习：求下列函数导函数练习：求下列函数导函数（1）y= e2x (2) y=cos2x答案答案:（e2x）=2e2x , (cos2x)= -sin2x上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.

11、141若若f(x)与与g(x)是定义在是定义在R上的两个可导上的两个可导函数，且函数，且f(x)，g(x)满足满足f (x)=g(x)，则，则f(x)与与g(x)满足（满足（ ） （A）f(x)g(x) （B）f(x)g(x)为常数函数为常数函数 （C）f(x)=g(x)=0 （D）f(x)+g(x)为常数函数为常数函数B练习题练习题上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.152曲线曲线y=x3x2l在点在点P(1，1)处的切处的切线方程为线方程为 . y=x2 3曲线曲线y=sinx在点在点P( , )处的切线的处的切线的斜率为斜率为 .42222上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首

12、页首页.16( )( )f xg x( )( )f xg x1 1、和、和( (差差) )的导数：的导数： 2 2、积的导数：、积的导数：( )c f x( )( )f xg x推论：推论：3 3、商的导数：、商的导数：（C C为常数）为常数）( )( )f xg x( )( )( )( )f x g xf x g x( )c f x2( ) ( )( ) ( )( )f x g xf x g xg x( ( )0)g x 导数的运算法则导数的运算法则4、复合函数求导法则：、复合函数求导法则：g(x)最后带入g(x)最后带入t t(t),(t),(x)f(x)fggf(g(x)f(g(x)课堂小结：课堂小结：上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.174函数函数 y=sinx(cosx1)的导数为的导数为 .y=cos2x+cosx 5已知抛物线已知抛物线y=x2bxc在点在点(1，2)处与处与直线直线y=x1相切，求相切，求b，c的值的值12bc 上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页.186函数函数y=s