专题3.3+一题多解+玩透椭圆离心率刷百题不如解透一题之高中数学小题大做+word版含解析【ks5u+高考】讲课稿

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流、典例分析，融合贯通椭圆离心率典例1【2016年高考数学新课标川卷文科12题】已知0为坐标原点，F是椭圆C :2 2笃爲 1(a b 0)的左焦点，A, B分别为C的左, a b右顶点.P为上C 一点，且PF X轴的直线I与线段PF交于点M与y轴交于点E 若直线BM经过0E的中点，贝U C的离心率为过点A)D. 34【解法1几何法:令N为E0的中点AAWff s.竺=竺=叱.NONO BO1a-3c艮 AMFs/. EO 2NO十住r MF AF _而_ 【点睛之笔】相似用完即相识!【解法2】代数法由题意可设 F( c,0)， A( a

2、,0)， B(a,°)令xc，代入椭圆方程可得y b12 c 2P(c,b2)可得a设直线AE的方程为y k(xa)令xc，可得 M(- c, k(ac),令x0，可得 E (0,ka),H (0,设的中点为可得 2三点共跖可得如=%ka2 k(a-c)即为一卫一 c d ,a-c 1c1 二 化简可得十 2、即。亠，可得 « 3故选：虫【点睛之笔】不用多虑，一步一步代！【解法3】几何代数结合法 设直线AE的方程为y k(x a)，令 x c，可得 M (-c,k(a c),令 x 0,可得 E (0,ka),设°E的中点为H，可得 H( 0，ka)HOB S M

3、FBk(a c) a cmfBF a ckaaHOBOa21 e - a 3c 3【点睛之笔】几何代数，数与形的完美融合!【解后反思】 解法1：利用相似比构造方程，恒等变形求得离心率!解法2 :利用条件一步一步用数据转化，无须烧脑!解法3 :几何代数，相辅相生，相得益彰!2 2 x y2 2 典例2设P是a2 b2圆离心率的取值范围.1 a b 0上的一点，Fi、F2是其左、右焦点.已知 FiPF2=60，求椭【解法1】基本不等式i2ff2 2在 VRPF2中，Q PF + PF> -2 PF PF2 COS603PF| PF22(PF +PF2)-F1F23(|pfI+|pfJ)244

4、a2 4c2 业 3a2a2 4c241 e 12【点睛之笔】基本不等式，让数学学习更有激情!【解法2】有界性 设 P Xo，y。，PF| a eXo，PF, a exo，222在VF1PF2中，Q PF +PFF -2PF|PE cos60 FF ，2 2 2 a exo + a exo -2 a exo a exo cos60 4c ，/. 3/花丄4c1 fl2o <男塔< s? Ie2>-斗文丁c忍c 1-.< e < 12【点睛之笔】坐标有界，思想无界！【解法3】极端情况 当点P位于短轴端点Bi或B2处时，点P对两焦点的张角最大故 FB2F2FPF2 =

5、60，OB2F2 30 （O 为坐标原点）c1在 VOB2F2中，e sin OB2F2 sin 30 a2又 Q0 e 1【点睛之笔】极端解法，剑走偏锋!【解后反思】 解法1：套用公式省时又省力！解法2:利用坐标的有界性巧妙构造不等式！解法3:极端解法，投“极”取巧，尽显思维的灵气！2 X2典例3【2016浙江理科第19题】如图，设椭圆 2 y 1(a1)a(I)求直线y kx 1被椭圆截得的线段长(用 a, k表示)(n)若任意以 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围。驿析:联立方瑋l，s Q + a4- 0* J1 +疋解之得月=°或1+以所以弦

6、冷Ika11+第(2)小题:【解法1】:零点存在定理2设圆方程为xy 122r ，与椭圆联立方程2X2X(y 1)2 2a y2 2r2a消去X得(a1)y2 2y r2 a210由题设知方程在1,1上最多一解,记 f（y）(22 2(a 1)y 2y ra2 1当r224 时，f(1) r 0f ( 1) r24f(1) f(1）0，所以方程在1,1上只有一解,a 1均可那么当r24 时,第一种情况：只需4 4( a22 21)(r a1)4，得a2r2r22 r2. r4 4r2a 解得2a2第二种情况：假设方程在1,1，即，得.2上有两解f( 1) 0 f(1) 001，得2 r2 r2

7、 a由于方程在上最多一解,上述两种情况均可得到 1 a，则a2所以-2，离心率e4220因此椭圆离心率的取值范围【点睛之笔】零点存在定理，走遍天下都有理!【解法2】方程法假设圆与椭圆的公共点有斗个，由対称性可设F轴左侧的桶圆上有两个不同的点PQ，満足出 込目% 知：>0 &工焉2為的=Jl+科:寿I >0= J十好:第由（1>曲扩呷1十囲7屯1十囲 所以（器局）【1十岸十£ + «2 一小时时=0 由于屁*扁 I十时十局+ a2-a） =0#）（1十£厂1匕弋2-旳因此对于上式关于邑屁方稈有解的充婪条件是1十小，）a 1,得宀2因此任意以

8、点°刀为圆心的圆与桶圆至寥有三个公共点的充蒔条件是1<zj2兰2离心率【点睛之笔】方程法，缩短思维旅程的好方法!0<e< 、因此椭圆离心率的取值范围2【解法3】点差法解析；假设囲与椭圜的公共点有球个，由对称性可i殳卩轴左侧的稱囲上有两个不同的点”耳 满足设鬥耳QB可忌）临中点Mg他）则i琉+彩詔，两式相减得才-溢+讯心分=° 则 a -习）山+- ftXK+乃）=o,2 ”一乃 n% + 口片一-=0 得珀耳因为1同则仙丄刊2,得於点那么5劭。y° ,宙于得>2c e _ 离心率 a?因此椭圆离心率的取值范围【点睛之笔】点差法，一点都不差的

9、好方法!1 a22?因此，任意以A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件是：2 e -2【解法4】单调性法易知，弦长PA从A到B逆时针旋转半圈处处不相等，即弦长在y轴单侧单调。(1 k2) 4a k|PA|:k2k4(k2丄)2ak4k22 k42 2 2 2 (1 a k ),1设 k2t , k2孑ta"，则 g(t)在 t(0,2 ,.22 x1丄2丄1t ttt4t2 t4只需aa，即aa成立21得a,得a22，因此椭圆离心率的取值范围2g(t)1【点睛之笔】单调性法,解起题来不单调!Lt1）上单调递增。【解法5】：弦长的最值性解析：设楠圆上点P3则p笛=x2

10、+ (y -1)1 = (L- 2 j 4 + L = (1 - Xy- -L)1 4 +1-恙La1-Q既然弦长|PA|从A到B逆时针旋转半圈过程中MW増, 由此可次判斷厅几詁曲- 即在y = T时取最犬饥 只需匸产三得冬20 V更 同理知椭园高心率的取值范围e.【点睛之笔】禾U用弦长的最值性，最有价值！【解后反思】解法1:零点存在定理，剪不断那就理来乱！解法2:利用方程思想构造不等式，妙哉！解法3:点差法，代点作差，肯定不会差！解法4:单调性法，其实很有情调，一点都不不单调!解法5:利用最值性，直奔目标，不走寻常路！二、精选试题，能力升级1.【2012全国，理4】设Fi, F2是椭圆2E-

11、 I2a21( a> b>0)的左、右焦点，P为直线x b3a上-一占I*八 '、：2 F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. 12【答案】【解析】设直线轴交于点,贝y PF2M = 60 ，在 RtVPF2M 中，PF2= F1 F2=2c ,F2M3ac,2故 cos60F2M3a22c-1，解得C 3，故离心率e -2a 44Fi, F2在x轴上,2.【2011全国新课标，理14】在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点离心率为子过F1的直线1交C于A，B两点，且 ABF2的周长为16,那么C的方程为【答案】2x16【解析】根据题意,也

12、ABF的周长为出*即BFAFBFi-hAFx-16 ;根甌的性质.即詰4 :*为乎,即I吉将，貶c ,代入可得32匹则b2=a2-c2=8 ;则椭故答就:令.此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3.【2008全国1,理 15】在°ABC中，AB BC, cosB7若以A, B为焦点的椭圆经过点C,则椭圆的离心率的取值范围是（）【答案】B则该椭圆的离心率e【答案】：38【解析】设AB BC1 , cosB7则AC225AB2 BC2 2AB BC cosB189“5c 58 c2c3AC -,2a 1 -,2c 1,e3332a8兰+曙14.【2018浙江温州一模】 正方形AB

13、CD的四个顶点都在椭圆护 F 上，若椭圆的焦点在正方形的内部,32223只供学习与交流【解析】设正方体的边长为2恥，-椭圆的焦点在正方形的内又正方形卫H D的四个顶点部在訂兰¥=气进owe弋竽'故选民25.【2018广西柳州市一模】已知点 P是以x上一点，若F1,F2为焦点的椭圆 aPF! PF2, PF2R 2，则椭圆的离心率A. 53B.-C.3D.【答案】【解析】点P是以F），F2为焦点的椭圆上-一占I*八 '、：PF1 PF2,tan PF2R2,PF1PF22，设 PF22x,由椭圆定义知x 2x2a ,2a3PF22a?则PF,4a4a，由勾股定理知 PF

14、2PF!RF2此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2x6.【2018广西三校九月联考】已知椭圆方程C为： a0)椭圆的右焦点为1,0 ,1离心率为e 2，直线1: y kx m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA(1)椭圆的方程及求AOB的面积;(2)在椭圆上是否存在一点 P，使OAPB为平行四边形，若存在，求出OP的取值范围，若不存在说明理由【答案】（1）21， S .3（ 2）不存在 P3【解析】G由已知C七石询圜方程为:T+ir=l设飢码则扎召的坐标满足43y =kx m消去y化简得,4k2 x2 8kmx 4m2120, x18 km3 4k24m2 123 4k2

15、0得 4k2 m230y2kxi mkx2m k2x1x2 km x14m2 12km8km3 4k2c 23m312k24k2Q Koa Koby”2x1x2，即yiy23X1X243m212k23 4k223 4m 122即4 3 4k2m2 4k23,Q AB|.： 1 k2X1X24x1x21 k2 n48 4k2 m234k2 248 1 k23 4k2Tn24 1 k24k2O到直线y kx m的距离d24 1 k21 1S/AOB 2dAB 2 3 4k2mlm224 1 k22 , 1 k2"3 4k2W 24 2-3223 4k2(2)若存在平行四边形 OAPB使P

16、在椭圆上，则uuv uuv OP OAUJVOB，设 PXo,yo ，则 X)X1X28km23 4k2,y0 y1 y2 36mT,由于P在椭圆上，所以4k22Xo2y0-1，从而化简得32 216k m2 23 4k叫14k24k ，由 Koa Kob7.【2018河南中原名校质检二】已知椭圆C：+ =>0)/ b2的离心率为2,以原点为圆心,化简得4 m2-，知 2m2 4k23 4联立方程知m 0，故不存在P在椭圆上的平行四边形.椭圆的短半轴为半径的圆与直线1相切.(1) 求椭圆的方程：(2) 设；，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线|与轴相交于定

17、点R1.X2 y2 I+ = 1【答案】(1)(2)'【解析】(1) V 12 = - = - A =T = r =丄即tt3 = -b2 ? a ZEH斗3处b = V3j既心=3故ttfi园C的方程対g十乡 = 1.也ra由題竜知，直线阳的斜率存在八殳其为匕贝“直线PB的方程为卩二帆工-4）由严°十弩一 1驚°可得丿申十3）x3-32k3H-64ka-12= 0 y = A（jc 4）谡点BXsyJ反Oe）贝|占0丄-丹），如十址=詈三（D,畑产警;渾由于直线卫E的方程为y - ya = 彎&一也所以/令y = Oj可得-t=x2心 7曲 7门 _ 2利

18、匕盘【牛一时+*矶 Y *1+2-带入到上式既可解得乂 =1, 所以直线AE与屛由相交于定点（2口）&【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆2 x2 ab211（a b 0）的离心率为?，且过点2、3,.3， A， B是椭圆C上异于长轴端点的两点（1）求椭圆C的方程；（2） 已知直线I : x 8，且AA l，垂足为 A， BB1 l，垂足为B1，若D 3,0，且 AB,D的面积是 ABD面积的5倍，求 ABD面积的最大值.【解析】解得b二2曲,g = 2,故椭圆C的方程为兰+必=116 12 诰亶线曲与乂轴相交于点R（r,0）$5 =扑一3|丹询 百卒二学珂程一划4十用乂耳D =

19、aASD且|吃临冃儿九J得5 = 5x|r-3|J尸二4 （舍去或尸二2,即直线心经过点巩2叽设 A Xi, yi ,B X2,y2 ，AB的直线方程为：x my 2 ,由3xXmy4y22,48,即3m24 y2 12my360，12my1y23 m2y2362 ，3m24S ABD1沙1y22y24y°212m213m24 2123 m22 .m 1i ?1令 t m2所以S abd3t23t12一 ?1t因为3t，所以3t1,上单调递增，所以在t 1,上单调递增,所以3t4，所以 S abd 3（当且仅当t11，即 m0时“成立），故 S ABD的最大值为3 .9.【2014课标I,理20】已知点A (0, 2)，椭圆2Xe：tab 1(a b430）的离心率为了 ； F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为乙3 , 0为坐标原点3(I)求E的方程;(II)设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点。当 OPQ的面积最大时，求I的直线方程【解析】设右焦点由条件知，- = -f得 a 3又纟=虫 所以"冇丘.故榊圆舌的方程为三+尸=1.a 24 (II)肖丄工轴时不合题鼠 故设崖妇，二Ax-2,=(l-F4k4)x2-16fcc + 12=0 A = 16(4ka-3)>0