多元函数的全微分、方向导数

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新 第一章 多元函数微分学第四第四节节 全微分、方向导数全微分、方向导数正确理解多元函数的全微分、偏微分的概念。正确理解多元函数的全微分、偏微分的概念。了解二元函数全微分的几何意义。了解二元函数全微分的几何意义。正确理解方向导数的概念。正确理解方向导数的概念。熟练掌握全微分及方向导数的计算方法。熟练掌握全微分及方向导数的计算方法。了解梯度的概念和计算方法。了解梯度的概念和计算方法。本节教学要求：本节教学要求： 全微分全微分 方向导数方向导数 梯度梯度 函数可微与连续性的关系函数可微与连续性的关系 函数可微的必要条件、充分条件函数可微的必

2、要条件、充分条件请点击请点击第四、八节全微分、方向导数第四、八节全微分、方向导数一一. 全微分全微分二元函数全微分的定义二元函数全微分的定义可微与连续的关系可微与连续的关系可微与可导的关系可微与可导的关系二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件二二. 方向导数方向导数方向导数的计算公式方向导数的计算公式三三.梯梯 度度 我们以二元函数为主进行讲解我们以二元函数为主进行讲解, , 所得结论所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中可容易地推广至三元和三元以上的函数中. .一一. .全微分全微分 , 0使得使得有关的实数有关的实数若存在仅与若存在仅与Ax)o( xxAy)( , )( 0 x

3、fxAxxf为函数为函数处可微处可微在点在点则称函数则称函数且记为处的微分在点 , 0 xxxxxfyd , d)(d可微可导运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.一元函数的增量多元函数的全增量)U(00XXX时, 若函数在点 X0 处的全增量可则称函数在点 X0 处可微, xazyb)o(22yxzdybxa设函数)(Xfz 在点),(000yxX 的某一邻域称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与X)U(0X内有定义, 当0X获得增量, ),(yxX且表示为 0有关的常数.无关,仅与 X0)(lim2200yxybxazyx0| )(|lim 0

4、0Xybxazyx或或22yx|X其中其中全微分概念的极限形式如果函数)(Xf在区域 中的 每一点均可微, 则称函数在区域 上可微 .可微连续可导? 在多元函数中, 三者的关系如何？连续：连续：0lim00zyx可微与连续的关系可微与连续的关系( (可微的必要条件可微的必要条件) )可微：可微：xazyb)o(22yx什么关系什么关系?函数)(Xf在点 X0 处可微,则必在点 X0 处连续 .可微与连续的关系可微与连续的关系( (可微的必要条件可微的必要条件) )可微连续可导?在多元函数中在多元函数中, , 可微可微连续连续可微：可微：xazyb)o(22yx则其两个则其两个处可微处可微在点在

5、点若若 , ),( ),( yxPyxfz , , 且且均存在均存在偏导数偏导数yzxz . d d dyyzxxzz定理定理可微与可导的关系可微与可导的关系( (可微的必要条件可微的必要条件) )若函数可微若函数可微, , 则则)o(22yxybxaz , 0 , , 则则取取的任意性的任意性由由yyx) | o(xxazzxaxxxaxzxxx|)o(|limlim00即即, axz同理同理, , 取取 , , 0byzx得得 . )d ,d( , d d d yyxxyyzxxzz故故证可微连续可导在多元函数中在多元函数中, , 可微可微可偏导可偏导可微连续可导在多元函数中在多元函数中,

6、 , 可微可微可偏导可偏导在多元函数中在多元函数中, ,可偏导可偏导可微可微?),( yxf函数函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx 例例在点在点 (0, 0) 处连续处连续, , 且有有界的偏导数且有有界的偏导数, , 但不可微但不可微. . 该例留给学生课后研讨 参考书：高等数学中的反例 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120130定理定理 . , ),U( ),( 00可偏导可偏导内有定义内有定义在在设设yxyxfz ),( , ),( z , z 00在在则函数则函数处连续处连续在点在点若若yxfyxyx . ),( 00处可微处可微点点yx二元函数可微的充分条

7、件二元函数可微的充分条件利用微分中值定理利用微分中值定理)(,(),(),(0100 xxyfyxfyxfx , )(,(020yyxfyyyyxfxxyxfz ),( ),(0000 . )o(22yx由偏导数的连续性由偏导数的连续性 , ),( ),(lim00100 xyxfxyfyyxx要证明函数要证明函数 f ( x , y ) 在点在点 处可微处可微, , 即要证即要证),(00yx故故同理同理 , ),( ),(0020yyxfyxf证 , ),( ),(001xyxfxyf其中其中,为该极限过程中的无穷小量为该极限过程中的无穷小量. .从而从而, , 函数的全增量函数的全增量y

8、yyxfxxyxfz ),( ),(0000 , )(yx又又22 0yxyx , 0| , )o(22yx即函数即函数 f ( x , y ) 在点在点 处可微处可微. . ),(00yx故由夹逼定理故由夹逼定理, ,得得yyyxfxxyxfz ),( ),(0000逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Ok如果函数)(Xfz 在区域中具有连续偏导数xz和yz, 则称函数. )()(1CXf)(Xf为区域1C中的类函数 , 记为当不强调区域时, 记为.)(1CXf , )( ),( 则处可微在点设函数XXgXf)(d)(d)()(d(XgXfXgXf)( )(d)(d(RXfXf)(d)

9、()(d)()()(d(XgXfXfXgXgXf0)( ( )()(d)()(d)()()(d2XgXgXgXfXfXgXgXf . , ? 22求其全微分求其全微分若可微若可微是否可微是否可微函数函数yyxz, 2 , 2 22中连续中连续在在易知易知Ryxyzyxxz . 222中可微中可微在在故函数故函数Ryyxzyyzxxzzdddyyxxxyd)2(d22 例例解解.d , )1 , 2, 2(uxuzy求求设设zzuyyuxxuudddd)1 , 2, 2()1 , 2, 2()(zyxxxu4)1 , 2, 2(1zyzxy 将将 y, z 看成常数看成常数: : . , zwy

10、wxu 将将 x , z 看成常数看成常数: : . , zwywxu)1 , 2, 2()1 , 2, 2()(zyxyyu)1 , 2, 2(1lnzyyzxxz2ln4 例例解解 将将 x , y 看成常数看成常数: : . , zwywxu)1 , 2, 2()1 , 2, 2()(zyxzzu)1 , 2, 2(lnlnyyxxzyz2ln82故故zyxud2ln8d2ln4d4d2)1 , 2, 2(回头看全微分公式zzzyxdddyyzxxzzd . d的偏微分称为函数关于 xxxzzx . d的偏微分称为函数关于 yyyzzy这与物理中的叠加原理相符.回忆一元函数的单侧导数回忆

11、一元函数的单侧导数: :ABCxxxxfxxfxfx)()(lim)(0 :0 x|AC| |)(| xxxx|AC|(A)(C)lim0ffx (C)( fxxf (A)( fxfx二二. .方向导数方向导数xOyz.P0Pl0l.中中 3R)(Xfz |PP|)(P(P)lim 00PP0ff: )(0方向的导数方向的导数沿沿lXf中 3R方向导数的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义.若点 )U(0XX 沿射线 l 趋于0X时, 极限|)()(lim000XXXfXfXXl 方向的方向导数. 记为存在, 则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿|)()(lim 0000XXXfXf

12、lzXXXX. )( 0Xfl或比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中, 分母0. |0 XX在偏导数中, 分母可正、可负.yx ,即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时,方向导数与偏导数也是两个不同的概念.单向双向 利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线 l 的方程:则故,0etXXtzzyyxxcoscoscos000,cos0txx,cos0tyycos0tzz. )cos ,cos ,(cose怎么计算方向导数？0XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfX

13、f中的情形看空间 3R 假定假定 u=f(X) 可微可微|)()(lim 0000XXXfXfluXXXX| | lim000XXyyuXXxxuXX|)o(| 000XXXXXXzzucos cos cos zuyuxu若函数),(zyxfu 在点),(000zyx处可微,则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在, 且lu其中, 各偏导数均为在点),(000zyx处的值.cosxucosyucoszu方向导数的计算公式定理定理处求函数在点设)2, 2 , 1 ( , Pxyzu. 22 的方向导数的方向导数沿方向沿方向kjil; 4 PPy

14、zxu; 2 PPxzyu, 2 PPxyzu,31cos,32cos.32cos3432232)2(31)4( Plu3221 |222l 例例解解由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处向导数值都等于 1:10lim 222200yxyxlzyx的两个偏导数均不存在, 但它在该点沿任何方向的方向导数均存在, 且方此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件. 例例算公式再回头看方向导数的计cos cos cos zuyuxulu)cos ,cos ,(cos 0l其中则若引进向量 , , , radg

15、zuyuxuu0 da rg lulu . da rg 0上的投影在是即lulu , , radg zuyuxuu向量向量只与函数在点只与函数在点 X0 处的偏导数有关处的偏导数有关. .0 darg lulu) , da rcos(g| da rg| 00lulu) , da rcos(g| da rg| 0luu1一个问题：该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义.),()(zyxfXfu在给定点0X处沿什么方向增加得最快?可微函数 . 0的的最最大大值值处处该该问问题题即即求求在在点点luX: ) , da rcos(g| da rg| 0可知可知由由luulu, , 1) , da rcos(g 0取最大值取最大值时时当当lulu. , darg 0取最大值取最大值的方向重合时的方向重合时与与即当即当luul00| da rg| maxXXulu现在正式给出的定义grad u且且设,3R, )()(1CXfu,0X则称向量为函数)(Xf在点0X处的梯度, 记为)(grad0Xf或。)(0XfixXf)(0jyXf)(0kzXf)(0三三. .梯梯 度度 梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致, 而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值. 以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中.在2R中lucosxucosyu在nR中lu11cosxun