大学物理第11章3

1、2202cosyxAttu 222221yyxut平面波的波平面波的波动方程动方程22022cosyxAtxuu 一、波动方程一、波动方程0cosxyAtu2021-11-11 绳索或弦线中的绳索或弦线中的( (横波横波) )波速波速lFu波速由弹性介质波速由弹性介质性质决定性质决定。 固体中固体中横波：横波：Gu G为切变模量，为固体密度。纵波：纵波：E为弹性模量（杨氏模量）。Eu F为张力，l 为线密度。2021-11-12 纵波在流体内传播的波速纵波在流体内传播的波速u 为体积模量，为流体密度。MRTpu理想气体中的声速理想气体中的声速 流体流体内只能传播纵波，不能传播横波。内只能传播纵

2、波，不能传播横波。2021-11-13l弹性波传播到介质某处，该处将具有动能（振动）弹性波传播到介质某处，该处将具有动能（振动）和势能（形变）。在波的传播过程中，能量从波源向和势能（形变）。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。外传播。2021-11-14 m( m= V )。 考虑介质中的体积考虑介质中的体积 V，其质量为其质量为Ep pEk k当当波动传播到该体积元时，将具有动能波动传播到该体积元时，将具有动能 和弹性势能和弹性势能平面简谐波平面简谐波 )(cos),(0uxtAtxy可以证明有如下关系可以证明有如下关系: : 22201()sin2xEEAVtu kpkp说明：说明：在波

3、的传播过程中，任一体积元都在不断地接收和在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接收和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传波动传播能量，振动系统并不传播能量播能量，振动系统并不传播能量。体积元的总机械能体积元的总机械能E222()sinxEEEAVtu kp0kp02021-11-15波的波的能量密度能量密度 : : w222sinExwAtVu能量密度的平均值能量密度的平均值: : 21)(sin1)(sin10202dtuxtTdtuxtTTT222Aw能流能流:在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S，在单位时

4、，在单位时间内通过间内通过S 的能量。的能量。(与电流类比与电流类比)uSuwSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流平均能流：2221AuSSuwP2021-11-16平均能流密度平均能流密度( (波的强度波的强度):): 通过与波传播方向垂直通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用的单位面积的平均能流，用I I 来表示来表示: :222222uAZAIwu 2IA 按照麦克斯韦电磁场理论按照麦克斯韦电磁场理论, ,变化的电场在其周围会激变化的电场在其周围会激发涡旋磁场发涡旋磁场, , 变化的磁场在其周围会激发涡旋电场变化的磁场在其周围会激发涡旋电场, , 这这样

5、变化的电场和变化的磁场相互连续激发，在空间交替样变化的电场和变化的磁场相互连续激发，在空间交替扩散，就形成由近及远传播的扩散，就形成由近及远传播的电磁波电磁波。下图画出了一条。下图画出了一条直线方向上传播的电磁波。直线方向上传播的电磁波。磁电场电场磁波源磁电场磁电场 18651865年，麦克斯韦预言了电磁波的存在；年，麦克斯韦预言了电磁波的存在； 1886 1886年，赫兹从实验上证实了电磁波的存在。年，赫兹从实验上证实了电磁波的存在。 LCLC振荡电路振荡电路可作为电磁波的波源可作为电磁波的波源: :LC21振荡频率：振荡频率：CLi有效发射电磁波的必要条件：有效发射电磁波的必要条件：1)1

6、)电路的振荡频率必须足够高。电路的振荡频率必须足够高。2)2)LC电路必须开放。电路必须开放。)(itE)(itE)(itE)(tB)(tB电磁波的电场、磁场方向相互垂直电磁波的电场、磁场方向相互垂直2021-11-19)(cos4sin2002crtrcpEE)(cos4sin02crtcrpHH球面波球面波2021-11-110 振荡偶极子的电磁场在理论上可由麦克斯韦方程组严格地振荡偶极子的电磁场在理论上可由麦克斯韦方程组严格地求出。求出。远离偶极子的远离偶极子的P点处点处,振荡偶极子发射的电磁波在时刻振荡偶极子发射的电磁波在时刻 t 的的E、H 的量值的量值(真空中真空中)：)(2cos

7、)(cos00 xTtEcxtEE)(2cos)(cos00 xTtHcxtHH 在远离偶极子的一小区域内，可用平面波函数近似：在远离偶极子的一小区域内，可用平面波函数近似：设电磁波在无限大均设电磁波在无限大均匀介质中传播，介质匀介质中传播，介质中中00, j0 = 0 则有，则有，）（）（）（）（430210tDHBtBED由方程（由方程（2）两边取旋度得，）两边取旋度得，HtE)(将方程（将方程（4）代入上式得，）代入上式得，22)(tEE由矢量运算法则，由矢量运算法则，EEE2)()(222tHH同理，可得到磁场满足的方程：同理，可得到磁场满足的方程：1u在直角坐标系中，上述方程可写为：

8、在直角坐标系中，上述方程可写为：2222222221tEuzEyExE2222222221tHuzHyHxH对真空，对真空， smcu/1031800可得到电场和磁场满足的方程：可得到电场和磁场满足的方程：222tEEuEH二、电磁波的性质二、电磁波的性质1)1)电磁波是电磁波是横波横波，电场、磁场和波的传播方向电场、磁场和波的传播方向相互垂直，相互垂直，右手螺旋关系右手螺旋关系2)电磁波有电磁波有偏振性偏振性，即，即E和和H在各自平面内振动在各自平面内振动(简谐简谐) 3) 3) 同相位变化，都在做周期性变化：同相位变化，都在做周期性变化：HE,uBEHE4)4)电磁波的传播速度电磁波的传播

9、速度 1u2021-11-114电磁波谱电磁波谱2021-11-115可见光可见光380-780nm电磁电磁波谱波谱v相遇后相遇后, 各列波将保持原有的特性各列波将保持原有的特性( 频率频率, 波长和振波长和振动方向等动方向等)不变不变, 按照原来的方向继续前进按照原来的方向继续前进, 就象没就象没有遇到有遇到其它的波其它的波一样一样。（。（波传播的独立性波传播的独立性）通过对各种波动相遇现象观察和研究，可总结如下：通过对各种波动相遇现象观察和研究，可总结如下：v 在其相遇区域内在其相遇区域内, 任一点处质点的振动为各个波任一点处质点的振动为各个波单单独存在独存在时所引起的振动的矢量和。（时所

10、引起的振动的矢量和。（波的叠加原理波的叠加原理）叠加原理表明：任何复杂的叠加原理表明：任何复杂的波均可波均可分解为一系列简谐分解为一系列简谐波的组合。波的组合。 相干条件：相干条件：振动振动方向方向相同；频率相同；相位差恒定。相同；频率相同；相位差恒定。l 相干波：相干波：满足相干条件的波。满足相干条件的波。l 相干波源：相干波源：能发出相干波的波源。能发出相干波的波源。1 1、干涉、干涉：一定一定条件下，两波条件下，两波相遇相遇, ,在媒质中某些位置的点在媒质中某些位置的点振幅振幅始终最大始终最大，另些位置振，另些位置振幅幅始终最小始终最小，而其它位置，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，振

11、动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的叠保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。加图样为干涉现象。2 2、强弱分布规律（、强弱分布规律（干涉加强和减弱的条件干涉加强和减弱的条件）1S2SP11rPS22rPS两个两个相干相干波源波源S1和和 S2振动方程振动方程:S1和和 S2单独存在时单独存在时,在在P点引起的振动的方程点引起的振动的方程:111102cos()ryAt222202cos()ryAt)cos(1011tAys)cos(2022tAys在在 P 点的振动为点的振动为同同方向、同方向、同频率频率振动的合成。振动的合成。lP 点的合振动：点的合振动：)cos(021tAyy

12、y1211022001211022022sinsintan22coscosrrAArrAA若若P点给定，点给定， 为为常量，因此常量，因此A为为常量。常量。其中：其中：cos2212221AAAAA)(2121020rr 相位差相位差21AAA（干涉加强、合振幅最大干涉加强、合振幅最大）21AAA（干涉减弱、合振幅最小干涉减弱、合振幅最小）3 3）当）当 为其他值时，合振幅介于为其他值时，合振幅介于2120102 ()2rrk01212k ， ， ，2120102 ()(21)rrk01212k ， ， ，21AAA和和之间之间21AAA 讨论：讨论：2）1）cos2212221AAAAA12

13、,0, 1, 2,krrk 12,0, 112, 2,rrkk（合振幅最大合振幅最大）（合振幅最小合振幅最小）)(212rr 定义：定义：波程差波程差两个相干波到达两个相干波到达P点所经路程点所经路程差。差。1)1)2)2)结论：结论：两列相干波源为同相位时，两列相干波源为同相位时，在叠加区域在叠加区域内内，波波程差等于零程差等于零或或等于波长的整数倍的各点，振幅最大等于波长的整数倍的各点，振幅最大；波波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。 当两波源的当两波源的初相位相同初相位相同时：时：引入新物理量：引入新物理量：波程差波程差2221uAI 3 3

14、、波的强度关系、波的强度关系n当当I1= I2时时n由于波的强度正比于振幅平方：由于波的强度正比于振幅平方：cos2212221AAAAA1）合振幅：合振幅：121 22cosIIII I2）合场强：合场强：2cos421 IIk214II) 12(k0I1)2)0例例1在同一媒质中相距为在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源的两平面简谐波源S1 和和S2 作同方向作同方向, 同同频率频率(=100Hz )的谐振动的谐振动, 振幅振幅均为均为A=0.05m, 点点S1为波峰时为波峰时, 点点S2恰为波谷恰为波谷, 波速波速u = 200m / s 。求求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置

15、：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.xPx2S1SO解解:选选S1 处为坐标原点处为坐标原点O, 向右为向右为x 轴正方轴正方向向；设点；设点S1 的的振动初相位为振动初相位为零，由零，由已知条件可得波源已知条件可得波源S1 和和S2 作简谐作简谐振动的运动方程分别为振动的运动方程分别为:s1s2=20m =100Hz A=0.05m u = 200m / s s1为波峰时为波峰时, 点点s2恰为恰为波谷波谷11:cos(2)syAt22:cos(2)ytsAS1 发出发出的右行波的右行波的的波函数波函数:)(2cos1 xtAy S2 发出发出的左行波的左行波的的波函数波函数:)20(2c

16、os2 xtAyxPx2S1SO因干涉而静止的点的条件为因干涉而静止的点的条件为: : )12()(2)20(2 kxtxt0, 1, 2,k （） )12()(2)20(2 kxtxt0, 1, 2,k （）化简上式化简上式, ,得得: :102 kx)(10mkx 所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为: :mx19,18,17,3,2,1将将 代入代入, ,可得可得: :mu2驻波：驻波：两列两列振幅相同振幅相同、而、而传播方向相反的相干波传播方向相反的相干波叠加叠加的合成波。的合成波。驻驻波波的的形形成成正向行波正向行波反向行波

17、反向行波设两列沿设两列沿x轴正、负方向传播的波轴正、负方向传播的波: 1cos2txyAT2cos2txyAT合成波合成波: :tTxAyyy2cos2cos2211 1、驻波的形成过程、驻波的形成过程v 各点作频率相同、振幅不同的简谐振动。各点作频率相同、振幅不同的简谐振动。v 振幅为振幅为 xA2cos2合成波的振幅合成波的振幅 与位置与位置 x 有关有关：22cosAxtTxAy2cos2cos21)1)波节波节驻波中始终静止不动的质点。驻波中始终静止不动的质点。2)2)波腹波腹驻波中振幅最大的质点。驻波中振幅最大的质点。xyO424342432cos1x相邻波节间距相邻波节间距: :2

18、, 2 , 1 , 0,2kkx讨论讨论tTxAy2cos2cos21)波腹波腹（振幅最大位置）（振幅最大位置）2)波节波节（振幅为零的位置）（振幅为零的位置）2cos0 x, 2 , 1 , 0,2)21(kkx相邻波腹间距相邻波腹间距: :22 2、相位、相位2,4422xx相位分布图相位分布图xyO424342431)02cos x波节之间各点振动相位波节之间各点振动相位为：为：2tT即：波节之间相位即：波节之间相位相同！相同！tTxAy2cos2cos2tTxAy2cos2cos2)2cos(2cos2tTxA323,4422xxxyO424342432)波节两边各点振动相位波节两边各点振动相位为为:2tT02cos x即：波节两边相位即：波节两边相位反相！反相！tTxAy2cos2cos2在驻波形成后，在驻波形成后，各质点各质点分别在各自的平衡位置附近作分别在各自的平衡位置附近作简简谐振动谐振动