湖北省宜昌市第二中学2021届高三上学期期中考试试卷(理)

1、湖北省宜昌市第二中学 2021届高三上学期期中考试数学试卷理、选择题本大题共12小题，共60.0 分1设集合-：.| I; :.,1； _|丫 1.2、：,那么.认丄等于A.忖B. RC.罔心.D.:詔"匚【答案】D【解析】集合；-；：. -L-.j ：- x -：-工.、.匸；，L?-iy i計一：、-，那么.曲及应选D .27- 制其中 i为虚数单位，那么7的虚部为A.【答案】BC. 1D.2【解析】解：占 l i2c那么的虚部为|门应选：B.3设-，那么p是q成立的B.必要不充分条件A.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由忡強谓可得g：于喇

2、，那么由p推得q成立;假设可得心-C,推不出 由充分必要条件的定义可得 P是q成立的充分不必要条件.应选A .4现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了局部男、女学生意愿的一份样本，制作出如图两个等高堆积条形图 ，根据这两幅图中的信息，以下哪个统计结论是不正确的1:1A样本中的女生数量多于男生数量B样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱理科D. 样本中的女生偏爱文科【答案】D【解析】由图1知,样本中的女生数量多于男生数量；，样本中的男生偏爱理科;D. |l由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 女生选理科的人数略多于

3、选文科的人数故A,B,C,正确，D错误.应选：D.5卜N比幺想:,:"耳,，那么A.皿化B.C. |【答案】B【解析】"I "丿八1,归0>21,址=0.2花叮，应选B .6K<p«x<和,，血時闻=-#,那么炳n2a的值为1GC.亦56A.兀【答案】B【解析】上非,.半，碍小邙夢， 又 cosfct- p)=|n(a+p5 二I， 甘,卩)=-?.b.sin2a=5iin(a-fl) F(a+p)| =siji(ct-p)cos(ct+1)+cos(a sin(a+p)=- .应选B .7设等差数列傀】的前n项和为九，假设;沪11陶#

4、15,贝粒=()A. 18B. 16C. 14D. 12【答案】B【解析】解：因为-1'- I".；.-.-,所以|； I,又，二！，所以公差- |所以頁2=%2計= i1 + B=lh .应选：B.由*5=15,斗叱=1,又叫=1 1,所以公差d J扌1=弓，即可求出 忖8亠匚:是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点，那么匕丄的最小值是0A. -2B.寻C.冷D. "1【答案】B【解析】以BC中点为坐标原点，建立如下图的坐标系设! f那么芒-?；，陰.口*那么,琦=:：，那么卩八卩勺+卩匕戶2/-2咼+2二2"+¥讳，卜当二一：、；：_-

5、二时，弘曲+就取得最小值2X令二弓,应选B.9设函数卜h：溺的图象与 二八 的图象关于对称，且碍二：？y=：J,那么心A. .B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：与的图象关于对称的图象是的反函数，y-log2x-ax>0，即f _审厂，弘列函数./-：='泊勺图象与的图象关于对称，吨号述也4，>1"出2+»h唱界+二 1|；解得，;K,应选：c.先求出与的反函数的解析式，再由题意：汨的图象与"“讨的反函数的图象关于原点对称,继而求出函数的解析式，问题得以解决.此题考查反函数的概念、 互为反函数的函数图象的关系、 求反函数的方法等相关知

6、识和方法属于根底题2 210. 在平面直角坐标系xOy中,点A,F分别为椭圆C：+=l(a>h>0)的右顶点和右焦点,a b'过坐标原点0的直线交椭圆C于P,Q两点，线段AP的中点为M,假设Q,F,M三点共线，那么椭圆C 的离心率为()A.B- .C. RD.或【答案】A【解析】设，那么,，卩亡,那么二?k/J,F,M三点共线,卷:一庇讣，y0"Xfl+c'Xfl+a ，化为：；:一1：:,p-1应选：A 11. 过原点0作直线I： ."rn r ! r 'in - 'i. ii的垂线，垂足为P,那么P到直线:-J 7 :的距离的

7、最大值为A. B屮十；1C. 'D.【答案】A【解析】 I整理得.- /.i.；'. - I.-.-二一：.，由题意得:,解得O 2-=fxy，所以直线I过定点.因为亠.，所以点P的轨迹是以0Q为直径的圆，圆心为，半径为1,因为圆心|':到直线x ; ； J-'：.啲距离为：-.,所以p到直线辽洱爻於|的距离的最大值为.应选：A 12. 设函数 门是奇函数fx)(xR)的导函数，当Q0时刃朋'(x)<d(x),那么使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范围是()A. .： : U 二B.:;电町c.:-和n 心;d. imEi【答案】D【

8、解析】根据题意，设,r-/；-：l：r：<i壬紆，-,其导数 T(x) = (lnx)T(K)+lnx() = Ak)+lgrx), 又由当农>0时，刘叱r(兀)<仪),即】nxr(x)v-g f(x),A那么有 '(x) = |f(K)+ lnxr(x)<0,J?k即函数 m 在.J.'心上为减函数,又由ii I I ： i x ii,那么在区间一:上，；.丨八I、，又由.ii . I ,贝(：_(；,在区间：.,=辽上，：.，.丨I ：、,又由 lr I ,那么：、.!；，那么在和. 上，而 I时,；：i .丨1-,故阳;也可小于0,又由为奇函数贝恠

9、区间(门和上，都有咼淇:心,l(Mg心胎或陽:;,解可得：.或沁总恣阂，那么X的取值范围是心;*识罚应选D .二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分) 13函数¥=皿，(加一扌)的定义域是 .【答案】凶如少長好打【解析】此题考查正切函数的定义域及运用，考查根本的运算能力，属于根底题.IT I m由y=ki皿的定义域为(x|xkTT+kEZ|,令廿十 < 十巨，解出即可得到定义域.曲二氓的定义域为凶存加+$kEZ,令比；X I T那么手：士，那么定义域为 旳孚 二丁屋,故答案为：国好导+召艇£ 14等比数列血J中各项均为正数 扎是其前n项和,且满足2S-J=Bil1

10、+3a216那么»=【答案】30【解析】设等比数列咛的公比为q,戸,.2S3=Ha +3 鬲 24 二 1 百,解得;： =：*那么“碍亠狄故答案为：30 15直线y=4耳与曲线y=/围成的封闭区域面积为【答案】罟【解析】联立方程组亞宾解得虚:或麗=,-S=J (4x*x2)dx= (2x<) |=故答案为罟.联立方程组求出两曲线的交点坐标，根据定积分的几何意义求出面积.16.函数)三代严£ * 假设方程r(x)2=恰有两个不同的实数根 网如,贝旳+也的最大值是,2x2 < U. 吒 x>a的图象如下:【解析】解：函数-< -那么有匈皿&&#

11、163;严e?<2=tXx2>0那么:- |令；：i I I lr. I , ：ii ' !耳(m)=l+盒,可得贸m)在隔可递增,在i；2f+oo递减怦花；|的最大值是Dd|：込#込|的最大值是丨 故答案为：当方程|f(x)2=a恰有两个不同的实数根Xj.旳时旦那么有,公At溜严0 eK2=t(x2>0) 那么Xj+x2=-令gm)=-m十Id，利用导数求解.此题考查了函数零点及计算能力，考查了数形结合思想，属于中档题.三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17在 AABCI中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,csinB+csinC=ai(vZsinC4

12、-siriA)I求A的大小；假设沪叮：皿-二求I的面积【答案】解: 巾仙时询(戒;器I M + sinA),由正弦定理可得:M+cJ(甞 +町， I-' |.，2txcJsA=v'5bc,解得：5訥=字,可得：(2)vsinC=sin(A+H)=,bsinAsinB,可得：=击,由正弦定理【解析】|(丄)由正弦定理化简等式可得b2+?=a(+盯，可得M+曲二顾，进而可求cdsA=Z,从而可得A的值.阖利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可得b,根据三角形的面积公式即可计算得解.此题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应

13、用,考查了计算能力和转化思想，属于根底题.18.如图，在直四棱柱|ARCJ)-AjR1C1D1中，底面ABCD是矩形|AD与AD交于点E,八.=/.? = ?-.丨证明： 平面ECD .求直线 与平面EAC所成角的正弦值.【答案】证明：因为四棱柱ABCD-AtBDj是直四棱柱,所以财丄平面ABCD,那么人佝丄5|.又口二,坨呻"卅.；-%,所以:川丄平面-込止：|,所以训因为陋網,® j :;-J：|,所以是正方形,所以j.又所以人二亠平面ECD .解：建立如下图的坐标系，1与粉闷交于点E,'诂泊： '0,0,4,4,所以畅脏 |2,，-4,讥'=0

14、设平面EAC的法向量为芯0乂),可得恥丸即肉掳謂不妨2,1丄)，n ae直线与平面EAC所成角的正弦值：二厂：【解析】|述|证明：|二| ,推出丄丄平面，得到证明沁丄二 即可证明盧匚L平面ECD .(2)建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面EAC所成角的正弦值.此题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用；19数列的前n项和为卜厂八,数列满足：|,：汇-十八【3沁I求数列|的通项公式|=|求数列的通项公式卜，I l-j 1|假设矗=竽,求数列©的前n项和几.【答案】解： YnN-1卜九严卩7-15二2),因此小;当丄-时八|: |，满足上

15、式，所以*,厂沁沪：；芾心、今直1：|,累加得 bQ-t)| s 1+3+5+1 +2n-3bn=n2-2n(nN ).因为巧严晋=2(22尹i. J “ 一； ' 5 :-： n J-.：' ； . i,3Tn=-6+2x(lx 沪+十2 其D-i 得-2Tn=4+2x32+2x33+-+2x3lll-2(n-2)311.叫=5-可外(3+护+沪+3" 1)+1 =(n-2)3n-=|+门叩3"(MN、【解析】此题考查了数列的求和，数列的递推关系和错位相减法，属较难题.I本小题考查由数列的前 n项和公式求数列的通项公式 ，利用数列的求和中与 关系计算得结论

16、，注意验证时的情况.本小题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，结合数列的递推关系的特点，可以用累加法计算得结论.本小题考查数列求和，根据数列特点可以利用错位相减法计算得结论.20.椭圆最大值是最小值的I求椭圆E的方程；II过点F 1 一任作一条直线1，1与椭圆E交于不同于P点的A、B两点，1与直线m：lq、k?、阳试探究kj+kj与的关交于C点,记直线PA、PB、PC的斜率分别为系,并证明你的结论.【答案】解:a ip因为椭圆e：= 1(a>b>0j 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为 払十亍,貧十,所以依题意有:2二：.故可设椭圆E的方程为:因为点F(l$在椭圆

17、E上，所以将其代入椭圆 E的方程得 斗 兀4c1 3c2椭圆E的方程为茅 .n R依题意，直线I不可能与x轴垂直,故可设直线I的方程为即 丨；,丿込血为l与椭圆E的两个交点.将 一*y 代入方程_| 化简得：.：L ：'：. I I :L :所以衍+咕翳沁申恥"4k?+333 1. 1岛也晋+辭£兽+弊=2k舞知眉爲x2-l=?k i 啦2-眦专(4+巧 二_ "7 4k2-8k-8-(8k<Bk)+(4ki；+3)3症摆0®+4弊k+l)-】2R解得卜翳9k+3 3又由9k+3即C点的坐标为黠筹帮),所以咕4R+3 2_6k 34R+8

18、tnr4R+T1因此，冷T J与卜二的关系为：帯山.、【解析】I建立方程求出a,b的值;n通过联立方程组，根据根与系数关系，找到I->的表达式，再建立方程求出 C的坐标，找到的表达式，从而确定其关系.此题主要考查椭圆性质、方程以及直线与椭圆之间的关系，属于较难题目.21.函数阴一：1寫门I求曲线Y=i :泊在覚=处的切线方程；(£函数 在区间：】.:：;匚L |上有零点，求k的值；爾假设不等式.-对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合.【答案】解：i.U j切线斜率为'' ! ,X又J切点为.切线方程为亍;令，得二1,A当时厂，函数X单调递减；当,.I时，产

19、总；汁那07>,函数j t工:单调递增,所以覚的极小值为:- .叮:;,又慣i：划在区间口;上存在一个零点，此时：1 ；I : li : / I I I：,1 】 h丨1 .1-,卜i，|在区间:鸞、*|上存在一个零点，此时|一； 综上,k的值为0或3;当：=.时，不等式为:V I显然恒成立，此时|;当0<x< 1时不等式区呻门讨蠶可化为“>芈當,由2可知，函数只或在0上单调递减，且存在一个零点x 1，此时 fxtXj-lnXj-20,即 1般1二沟-2,当时,，即07>，函数单调递增；当二严®时，即屈数|匸：君单调递减.吃仗有极大值即最大值为 氐衍；：

20、Th】=勺：+也二衍,于是衍当时,不等式呼门二g可化为,由可知，函数|i竽；|在上单调递增，且存在一个零点 松|,同理可得综上可知|又：,；匚炸订,正整数m的取值集合为："U2, 【解析】求出原函数在卜J处的导数，得到切线斜率，再求出切点坐标，利用直线方程点斜式 得答案；利用导数研究原函数的单调性，结合函数零点的判定得到原函数的零点所在区间可求；阖当.时,对于任意 庶轴,不等式恒成立；当WI时，不等式化为：.；芈二，令 g«=yx,由(2可知，函数Kx)在roj)上单调递减，且存在一个零点险，得到g3)有极大值即 最大值为囚衍)勺=勺电？+*二冷，于是口®当a时，

21、不等式化为mv赳乎严,由K丄耳丄Xa1(2)可知，函数fOO在3J0上单调递增，且存在一个零点2,得贝欣lUHiUp.结合， 衍E(:")|，可得正整数m的取值集合为口2.此题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，表达了数学转化思想方法，属难题.22曲线5 肯2；需%为参数D，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线|'T的极坐标方程为(1写出曲线5的普通方程与曲线 匕2的直角坐标方程假设过点P(20J的直线I与曲线G交于点A、B，与曲线：2交于点C、D，求|歸需 的取值范 围.【答案】|曲线sf幾需