2020版第10章第3节几何概型

1、第三节几何概型考纲传真1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率2了解几何概型的意义.1. 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2. 几何概型的两个基本特点(1) 无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个一(2) 等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性一3. 几何概型的概率公式构成事件a的区域长度面积或体积p(a)=试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.常用结论几种常见的几何概型(1) 与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2) 与面积有关的几何概型，其基本事件

2、与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构 成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题;（3）与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题.基础自测1. （思考辨析）判断下列结论的正误（正确的打“v”，错误的打“x”）（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零.（）（2）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一 点，该区域中的每一点被取到的机会相等.（）（3）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.（）1从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是p = 9.（）答案（1）2v x x2. （

3、教材改编）在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为（c.4b 坐标小于1的区间为0,1），长度为1，0,3的区间长度为3,故所求概1率为§.3. （教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，贝冋中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）abcd3 221a p（a） = 8, p（b）二8, p（® 二6, p（d）二3, -p（a）p（c）二 p（d） p（b）4. 已知正方体abcd-aibicidi的棱长为1,在正方体内随机取点 m，则使1四棱锥m-abcd的体积小于6的概率为.1 12 在正方体abcd-a1b

4、1c1d1中，设m-abcd的高为h,则s四边形abcd x h1111=6.又s四边形abcd = 1,所以h = 2若体积小于6,则hv2.即点m在正方体的下半1部分，所以p=2.5 .如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 .亠s阴1800.18由题意知， =1 000 0.18, t s 正=1,二 s 阴=0.18.正与长度（角度）有关的几何概型d.4c 设ac匸x,则 |bc|= 12-x,所以 x(12 x)>20,解得 2vxv 10,故所10-2 2 求概率= 3.2. (2017江苏高考)记函数f(x)

5、= 76 + x x2的定义域为d.在区间4,5上随机取一个数x,则x d的概率是.59 由 6 + x-x2> 0,解得一2<x< 3,二 d= - 2,3.如图，区间4,5的长度为9,定义域d的长度为5,5 一 9-p3. 如图所示，在等腰直角三角形 abc中，过直角顶点c在/ acb内部任作一条射线cm，与ab交于点m,贝u am v ac的概率为.34 过点c作cn交ab于点n,使an= ac,如图所示.显然当射线cm处在/ acn内时，am v ac.又/ a= 45°所以/ acn = 67.5 ° 故所求概率为p=扌规律方法求解与长度、角度有

6、关的几何概型的方法，求与长度 角度有关 的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 角度，然后求 解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域 长度或角度与面积有关的几何概型?考法1与平面图形面积有关的问题【例1】（2017全国卷i ）如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太 极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在ai正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （）nd.4b 不妨设正方形abcd的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,可得s正方形=4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得s黑=s

7、白1n二2s圆=2,所以由几何概型知所求概率p= 一s正方形故选b.?考法2与线性规划知识交汇命题的问题【例2】在平面区域(x, y)|owx< 1,ky< 2内随机投入一点p,则点p的坐标(x，y)满足y< 2x的概率为().1-4 2-3 a c1 1s阴影2x 2x1 1a 依题意作出图象如图，则 p(y< 2x)=厂 =4.s 正方形14规律方法1与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面 几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状， 再选择恰当的方 法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.2.与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件

8、作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概(1)已知实数 m 0,1, n 0,2,则关于x的一元二次方程4x2 + 4mx n2 + 2n = 0有实数根的概率是()na 1 - 4nb.4n 3nc. 2d.2 1x y+ 1 > 0,(2)在满足不等式组x+ y 3< 0,的平面内随机取一点 m(x0, y0)，设事y> 0件a=“yo 2xo”，那么事件a发生的概率是()13a.4b.4j,2c.3d.3(1)a(2)b 方程有实数根，即二 16m2 16( n2+ 2n)0, m2+ n22n>0, m2+ (n 1)2> 1,画出图形如图所示

9、，长方形面积为 2,半圆的面积为2n22 n故概率为一厂=14.x y+ 1 > 0,(2)作出不等式组 x+ y 3<0,的平面区域即 abc，其面积为4,且事y> 0件a= “yov 2xo”表示的区域为 aoc，其面积为3,所以事件a发生的概率是与体积有关的几何概型1.已知正三棱锥sabc的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点p,1使得vp-abc v 2vs-abc的概率是（）d.1a 当p在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台17内时符合要求，由几何概型知，p= 18=g2. 个多面体的直观图和三视图如图所示，点 m是ab的中点，一只蝴蝶 在

10、几何体adf-bce内自由飞翔，则它飞入几何体 f-amcd内的概率为（）a*3b.|c-3d-2d 由题图可知11 31 3、vf-amcd =s 四边形 amcd x df = 4a， vadf-bce= a，所以它飞入几何体f-amcd内的概率为规律方法求解与体积有关的几何概型的注意点，对于与体积有关的几何 概型问题，关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事件空间，对于 某些较复杂的也可利用其对立事件去求1. （2016全国卷i ）某公司的班车在 7: 30,8: 00,8: 30发车，小明在7: 50 至& 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他

11、等车时间不超过10分钟的概率是（1a-3)b'1c-3d.3b 如图，7: 50至8: 30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不 超过10分钟是指小明在7: 50至& 00之间或& 20至8: 30之间到达发车站， 此两种情况下的时间长度之和为 20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为p=4°=1故选 b.2. （2016全国卷u）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯 持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出 现绿灯的概率为（）7-w5 - 00b3_ 003 一10db 如图，若该行人在时间段ab的某一时刻来

12、到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯.ab长度为4015= 25,由几何概型的概率公式知，至少40- 15 5需要等待15秒才出现绿灯的概率为= 8故选b.3. (2016全国卷ii)从区间0,1随机抽取2n个数xi, x2,，xn, yi, y2, yn,构成n个数对(xi, yi), (x2, y2),，(xn, yn)，其中两数的平方和小于1的 数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 n的近似值为()a 4n a.mc 2nb- m4m c.n2m d.nc 因为 xi, x2,-，xn, y1, y2, - , yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(xi, yi), (x2, y2),，(xn,