2020版第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分 解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标 表示的平面向量共线的条件.1. 平面向量基本定理定理：如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任意向量a,有且只有一对实数 入，厶使a=心+進.(2)基底：不共线的向量ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作 为基底，该平面内的任一向量 a可表示成a = xi + yj,由于a与数对(

2、x, y)是一一 对应的，把有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a= (x, y),其中a在x轴上 的坐标是x, a在y轴上的坐标是y.3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a= (xi, yi), b=(x2, y2),则a+ b = (xi + x2, yi + y2), a b = (xi x2, yi y2),右=(入x 入y, ai=pxi+y.(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 a(xi， yi)， b(x2, y2)，则 ab=(x2 xi, y2 yi), ab|= , x2 xi 2+ y2 yi

3、2.4. 平面向量共线的坐标表示设 a= (xi, yi), b=(x2, y2),其中 0.a, b 共线？ xiy2 x2yi = 0.常用结论1. 若a与b不共线，且2a+0,贝u a尸0.2. 已知p为线段ab的中点，若 a(xi, yi), b(x2, y2)，则p点坐标为xi + x22 ,yi + y22;已知 abc 的顶点 a(xi, yi), b(x2, y2), c(x3, y3),则厶abc的重心g的坐标为xi + x2 + x3 yi + y + y33,3基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“v”，错误的打“x”)(1) 平面内的任何两个向量都可

4、以作为一组基底.()(2) 若 a, b不共线，且 入a+ 心=?2a+浮b,贝u入=2e,小=q ()(3) 相等向量的坐标相同.()xi yi若a= (xi, yi), b= (x2, y2)，则a/ b的充要条件可以表示成$.()答案(i)x v vx2. 已知平面向量a= (2, i), b= (i,3)，那么|a+ b|等于()a. 5 b. i3 c. . i7 d . i3b 因为 a+ b= (2, i)+ (i,3) = (3,2),所以 |a+ b|= 32 + 22= i3.3. 如图，在 abc中，be是边ac的中线，o是边be的中点，若ab = a,ac = b,贝

5、u ao=()a.2a+ 2b1 1bqa+ 3b1 tc.&a+ 2bd：a+ 4br r r r 1 1 d a0= ab+ b0= ab+ qbe = ab+2(aeab)=2ab+ 2ae=2ajb+4ac= 2a+茲 故选 d.4. (教材改编)已知 a( 2, 3), b(2,1), c(1,4), d( 7, t),若ab与cd共线，则t=.4 a!= (4,4), cd = ( 8, t 4),由 ab/ cd得 4(t 4)= 32,解得 t=4.5. (教材改编)已知?abcd的顶点a( 1, 2), b(3, 1), c(5,6)，则顶点d的坐标为.(1,5)设

6、d(x, y),则由 ab= dc ,得(4,1) = (5 x,6 y),4= 5 x,x= 1,即解得1 = 6 y,y= 5.平面向量基本定理及其应用1 在下列向量组中，可以把向量a= (3,2)表示出来的是()a. ei = (0,0), e2= (1,2)b. e1 = ( 1,2), e2 = (5, 2)c. e1 = (3,5), e2= (6,10)d. e1 = (2, 3), e2= ( 2,3)b 当e1与e2不共线时，可表示a.当 e1 = ( 1,2), e2= (5, 2)时,(1) x ( 2)丰5x 2,因此e1与e2不共线，故选b.2.在厶abc 中, p,

7、 q分别是ab, bc的三等分点，且ap = ab, bq=£bc,若ab= a, ac = b,则 pq=()1 1a.qa+ 3b1 1cqa 3b1 1b 3a+ 3b1 1d 3a3b2 1 2 f 1 1 1 a 由题意知 pq= pb+ bq = 3ab+3bc = 3ab + 3（ac ab） = 3ab + 3ac=113a + 3b.故选 a.3如图，向量a b等于（）a4e1 2e2b2e1 4e2c. e1 3e2d. 3e1 e2c 根据向量的减法和加法的三角形法则知 a b = e1 3e2,故选c.规律方法平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量

8、基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形 法则进行向量的加、减或数乘运算.2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.易错警示：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理平面向量的坐标运算【例 1】(1)已知 a= (5，-2), b= (-4, 3),若 a 2b+ 3c= 0,则 c等 于()813 8a.1 _',3b.3 , 313 4134c.y, 3d.y,3(2) 已知向量 a= (2,1), b= (1, 2).若 ma+ nb= (9

9、, 8)(m, n r)，则 mn的值为.(3) 平面直角坐标系 xoy 中，已知 a(1,0), b(0,1), c( 1, c), (c>0),且|oc匸2,若oc= qa+ qb,则实数 +卩的值为.(1)d(2) 3 (3) 3 1由已知 3c= a + 2b二(5,2)+ ( 8, 6)= ( 13, 4).133 ,(2)由向量 a= (2,1), b= (1, 2), 得 ma+ nb= (2m+ n, m 2n) = (9, 8),2m+ n = 9.则m 2n= 8,m= 2,解得故m n= 3.n = 5,(3) 因为o c匸2,所以|ocf= 1 + c2 = 4,

10、因为c> 0,所以c= . 3因为oc= qa+ qb,所以(1, 3)= %1,0) + (j(0,1),所以入=一 1,尸 3,所以 h 尸订31. 规律方法 平面向量坐标运算的技巧1利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点 的坐标，则应先求向量的坐标.2解题过程中，常利用“向量相等，贝u坐标相同”这一结论，由此可列方 程组进行求解已知 a(-2,4)，b(3， 1)，c(-3,4).设ab = a，bc = b，ca= c,且cm = 3c，cn=-2b,(1) 求 3a+ b- 3c；(2) 求满足a= mb+ nc的实数m，n；(3) 求m， n的坐标及向

11、量mn的坐标.解由已知得 a= (5， 5)，b= (-6，- 3)，c= (1,8).(1)3a+ b-3c= 3(5，- 5)+ (-6，- 3)- 3(1,8)=(15-6-3，- 15-3-24)= (6, 42).(2)v mb+ nc= (6m+ n,- 3m+ 8n),6m+ n = 5,3m + 8n = 5,m= 1,解得n= 1.设o为坐标原点.v cm = om oc = 3c, om = 3c + oc= (3,24)+ ( 3, 4) = (0,20). m(0,20).又 v cn= on oc= 2b,二 on= 2b + oc= (12,6)+ ( 3, 4)

12、= (9,2), n(9,2),. mn = (9, 18).平面向量共线的坐标表示【例 2已知 a= (1,0), b= (2,1).(1)当k为何值时，ka b与a+ 2b共线？若ab= 2a + 3b, bc = a+ mb且a, b, c三点共线，求 m的值.解(1)ka b= k(1,0)(2,1)= (k 2, 1),a + 2b= (1,0)+ 2(2,1)= (5,2).v ka b 与 a+ 2b 共线，二2(k 2) ( 1)x 5 = 0, 即卩 2k4+ 5= 0,得 k=12.(2)法一：v a, b, c 三点共线，二 ab= :bc,2=入3= m入即 2a +

13、3b= 2(a+ mb),二解得m= 2.法二：ab= 2a+ 3b = 2(1,0)+ 3(2,1) = (8,3),bc = a+ mb= (1,0)+ m(2,1)= (2m + 1, m). a, b, c 三点共线，二 ab/ bc. 8m 3(2m+ 1)= 0, 即卩 2m 3 = 0,3二 m= 2规律方法平面向量共线的坐标表示冋题的常见类型及解题策略1利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a= x1, y1 , b= x2, y2 ,则a/ b的充要条件是x1y2 = x2y1”解题比较 方便2利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个

14、已知向量 a共线 的向量时，可设所求向量为2a疋r ,然后结合其他条件列出关于 入的方程，求 出入的值后代入2即可得到所求的向量.(1)(2019沈阳模拟)已知平面向量 a= (1, m), b= ( 3,1)且(2a + b)/ b,则实数 m 的值为()(2)已知向量 oa= (1, 3), 0b= (2, 1), oc二(k+ 1, k 2),若 a, b,c三点能构成三角形，则实数 k应满足的条件是 .b (2沐工 1(1)2a+ b= ( 1,2m+ 1),由题意知13(2m+ 1)= 1,解得 m= 3,故选 b.(2)若点a, b, c能构成三角形，则向量ab ac不共线.因为

15、ab= ob oa= (2, 1) (1, 3)= (1,2),ac = oc 0a= (k+ 1, k2) (1, 3) = (k, k+ 1), 所以 1x (k+ 1) 2k0,解得心1.1. (2015 全国卷 i )已知点 a(0,1), b(3,2),向量ac= ( 4, 3),则向量 bc=()b. (7,4)d. (1,4)a. ( 7, 4)c. ( 1,4)a 法一：设 c(x, y),则 ac= (x, y 1)= (-4, 3),x=_ 4 ,所以从而bc= ( 4, 2) (3,2)= ( 7, 4) 故选 a.y= 2,法二：ab= (3,2) (0,1)= (3,1),bc = ac ab= ( 4, 3) (3,1) = ( 7, 4