含参量反常积分一致收敛性的判别法

1、德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文含参量反常积分一致收敛的判别法王 明 星（德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨

2、论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念1.1 含参量无穷限反常积分设函数定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有 ,称为定义在上的含参量无穷限反常积分.1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分与函数对每一个固定的,任给的正数,总存在某一实数,使得时,都有 ,即,则称含参量无穷限反常积分在上收敛于.1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛若含参量无穷限反常积分与函数对任给的正数,存在某一实数,使得时,对一切,都有 即,则称含参量无穷限反常积分在上一致收敛于.1.4 含参量无穷限反常积

3、分非一致收敛 若含参量无穷限反常积分与函数,总存在正数,对任意给定的实数,总存在及,使得 ,即 ,则称含参量无穷限反常积分在上非一致收敛于.2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性 用定义证一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的,方法常常是采取适当放大的方法. 例1 证明 无穷积分在区间一致收敛,而在上非一致收敛.证明 ,对,取,则,有,因此,在（0,+）是收敛的. 根据定义4,要想证明在是非一致收敛的,只需取,取,则 .但在一致收敛（其中）,取,当时,对一切,有.所以,在（其中）上一致收敛.2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一

4、致收敛性和非一致收敛性 定理1（柯西准则）反常积分在区间一致收敛,与,.例2 证明 若在上连续,又在上收敛,但在处发散,则在上不一致收敛.证 用反证法.假若积分在上一致收敛,则对于任给,总存在,当,时对一切恒有.由假设在上连续,所以是的连续函数.在上面不等式中令,得到当时,.而是任给的,因此在处收敛,这与假设矛盾.所以积分在上不一致收敛.2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性 定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数,使得,若收敛,则反常积分在区间一致收敛. 例3 证明含参量反常积分,在上一致收敛. 证 对于任何,有而在时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知在上一致收敛.使用维

5、尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值适当地放大,以找出函数（优函数）,使且收敛,则关于在上一致收敛.2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性 维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理定理3 若函数在区间连续,且 在有界,即都有 ,则当时,反常积分 在区间一致收敛.分析 在有界在时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.证 由已知在

6、有界,即,都有. 对每一个,关于是单调递减且当时,对参变量,一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分在区间一致收敛.例4 证明反常积分在区间一致收敛. 证 由题可知,从而有,而是定积分,必然有界.即存在,有又,则由定理3可知反常积分在区间一致收敛.2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性 在知道反常积分关于在区间上的收敛值时,可应用下述定理定理4 含参量反常积分关于在区间上一致收敛于的充要条件是 . (1)证 必要性 若 关于在区间上一致收敛于,则对任给的正数,存在不依赖于的正整数,当时,有,.由上确界的定义,亦有.这就证明了(1)式成立.充分性 由假设,对

7、任给的,存在正整数,使得当时,有 （2） 因为对一切,总有.故由（2）式得.于是关于在区间上一致收敛于. 例5 证明反常积分关于在上的一致收敛性和内的非一致收敛性.解 显然关于在内收敛于 （事实上=）. = =, 而 = =.由定理4,得关于在,上一致收敛于,在内非一致收敛.定理 5 含参量反常积分关于在区间上一致收敛于的充要条件是：对任意,都有. 例6 试证关于在内非一致收敛.证明 显然关于在内收敛于.取那么就有但是 由定理5, 关于在内非一致收敛.2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理6 （狄利克雷判别法）设 对一切实数,含参变量反常积分对参变量在上一致有界,即存

8、在正数,对一切及一切,都有 ；对每一个,函数关于是单调递减且当时,对参变量,一致地收敛于0,则含参变量反常积分 在上一致收敛. 例7 对于,讨论含参量反常积分的一致收敛性. 解 对于,都有. 因为,当时,即在上单调递减,并且.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分对是一致收敛的.而在上是定积分,必收敛,则对是一致收敛的.所以含参量反常积分对是一致收敛的.2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7 （阿贝尔判别法）设 在上一致收敛;对每一个,函数为的单调函数,且对参变量,在上一致有界,则含参变量反常积分 在上一致收敛.例8 证明含参变量反常积分在上一致收敛.证明 由于反常

9、积分收敛,（当然,对于参变量,它在一致收敛）,函数对每一个单调,且对任何,都有,故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分在上一致收敛.推论1 设函数定义在无界区域上,且对的偏导数存在.若下列条件满足1） 对每一个,反常积分收敛；2） 存在常数,使得对任意及所有的,恒有 ,即关于及一致有界.则含参量反常积分在上一致收敛.证明 由于为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的,一定存在有限个点,使得且.由于反常积分收敛,于是对任给的,都存在,使得对任给的有 （3） 另一方面,对任意的,一定存在一点,使得.令,则只与有关.同时对任意的,式（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有 即含参量反常积分在

10、上一致收敛.如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论推论2 设函数定义在无界区域上,且关于可微.若满足如下条件1） 存在一点,使得反常积分收敛；2） 反常积分于一致收敛. 则含参量反常积分在上一致收敛.例9 判断含参量反常积分在范围上的一致收敛性,其中.解 由于对固定的,当时,于是对固定的,广义积分收敛.另一方面,考虑积分 ,这里.由于当时, .从而有在上一致收敛,由推论2知,在范围上的一致收敛. 总之,判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样,关键在于理解它们各自应用的范围及其相互联系,以达到灵活应用. 参考文献: 1贺自树.一致收敛教学的探讨J.重庆师范学院学报

11、（自然科学版）,1998(15)：66-78. 2刘玉琏.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社,1992. 3华东师范大学数学系编. 数学分析第三版下册M.北京:高等教育出版社,2001. 4吕通庆.一致连续与一致收敛M.北京:人民教育出版社,1982. 5刘玉琏.数学分析讲义练习题选解M. 北京:高等教育出社,1994(414). 6钱吉林.数学分析题解精粹M.北京;崇文书局,2003(643). 7徐晶.一种反常积分与正项级数收敛的判别法J.邯郸师范学院学报,2005,8(3)：25-34. 8温朝晖,李天胜,朱存斌.无穷积分敛散性的一个新的判别法I.大学数学,2005,21（2).9张永

12、锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性J.咸阳师范学院学报,2006,21（6）：59-70.10吴良森,毛羽辉,韩士安.数学分析学习指导书下册M.北京：高等教育出版社,2009,9（2）.11孙清华等.数学分析内容、方法与技巧下M.武汉：华中科技大学出版社,2003,5（1）：74-97.Criterions about the Convergence of Parameter Improper IntegrationWang Mingxing(College of Mathematical Sciences in Dezhou , Shandong Dezhou 253023)Abstr

13、act: The convergence of parameter improper integral is to study and expression in particular non-primary function of a powerful tool. Based on the uniform convergence of parameter improper integral analysis and research, summarized several simple and effective method and the theorem of the discriminant of uniform convergence of parameter improper integral(Cauchy criterion, M criteri