传递函数与干预变量学习教案

1、会计学1传递函数与干预变量传递函数与干预变量第一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。2脉冲响应函数与互相关函数的关系。传递函数建模过程和干预变量模型建模过程。第1页/共96页第二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。3模型是分析一个输出变量与一个或多个输入变量有关的动态模型的一种方法。第一节第一节 传递函数模型的基本概念传递函数模型的基本概念第2页/共96页第三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。410.46tttYY 如果我们考虑广告费，广告费对销售额的影响不仅有即期影响，还具有一定的滞后效应，假定其滞后的影响是一期，那么在式中就应加入广告费的滞后一期值和即期值。第3页/共96页第四页，编辑于

2、星期日：十二点 四十三分。5110.460.550.60tttttYYXX 如果用后移算子B，模型的等价形式为0.550.60110.4610.46tttBYXBB第4页/共96页第五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。60.550.6010.46BB110.46B第5页/共96页第六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。7动态系统输入xt输出yt随机干扰t图图5-1 动态系统图示动态系统图示第6页/共96页第七页，编辑于星期日：十二点 四十三分。8( )( )(5.1)( )( )btttB BBYXE BB 其中(B)、(B)、(B)和(B)是后移算子的多项式，阶数分别为s、r、q及p。 (

3、B)和(B)描述Xt 对Yt影响。 (B)和(B)描述随机干扰项对Yt影响。 b称为延迟参数，即Xt 的b期滞后值才开始对Yt产生影响Xt 。 at为随机干扰项。( )( )bB BE B 为传递函数。第7页/共96页第八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。9其中01( )ssBBB1( )1rrE BBB 1( )1qqBBB 1( )1ppBBB 第8页/共96页第九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。10第9页/共96页第十页，编辑于星期日：十二点 四十三分。11( )( )(5.2)( )bB BV BE B第10页/共96页第十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。122012( )

4、V BBB2101201(1)()()rsbrsBBBBBB B 21101201(1)()()rbbb srsBBBBBBB 可以用待定系数法求V(B)的系数vj (j=1,2，)， vj称为脉冲响应函数, 描述Xt的滞后变量是如何影响Yt。第11页/共96页第十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分1,2,(5.3)jjjrj rj bjjrj rjbvvvjb bbbsvvvjbs（1）前b个脉冲函数值为零，即v0= v1 =vb-1；第12页/共96页第十三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。14,1,2,jb bbbs1121jjjrj rj bvvvv第13

5、页/共96页第十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。15结合这3点，我们可以得到三个参数r、s和b的值。1121jjjrj rvvvsbrsbrsbv,21。 第14页/共96页第十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。16第15页/共96页第十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。17（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，0，0）（2，0，1）（2，0，2） 1.r=01.r=0的情形的情形23012301()()bb sbb ssbsBBBv BvBBBB220120BBB01020 230123201()()BBBB B0102031 23401234()BBBB22012()BBB

6、01020，31 ，42 第16页/共96页第十七页，编辑于星期日：十二点 四十三分1)()()b sb ssbsBBBBvBBB B（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1）（2，1，2）20121201(1)()BBBB B2301231(1)BBBB22012()BBB010，20，211v 010，20，31 21v ，312v 第17页/共96页第十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。19( )( )BB讨论。另一个是针对 讨论。( )( )( )bB BV BE B第18页/共96页第十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。20E(B)构成的特征方

7、程的根必须在单位圆之内。110rrr 第19页/共96页第二十页，编辑于星期日：十二点 四十三分。21110ppp第20页/共96页第二十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。22321 0.361 0.750.25(1 0.45 )tttBBYXaBBB，解：由算子 构成的特征为21 0.750.25BB20.750.250其根为21,20.750.754 0.250.750.660.3750.33122ii 第21页/共96页第二十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。23该传递函数模型是平稳的。220.3570.3310.25010.450第22页/共96页第二十三页，编辑于星期日：十二

8、点 四十三分。24第23页/共96页第二十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。25cov(,)()()()(5.4)tsXYtxsyX XtsE XY 为互协方差函数。第24页/共96页第二十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。26()()( ,)()(5.5)txsytsxyxyE xyx yst 第25页/共96页第二十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。27 t sYt sYtYt sXtXt sX(,)tt sX Y(,)tt sX Y( ,)()5.6tt sxyx ys（）( ,)( )5.7tt sxyx ys（）第26页/共96页第二十七页，编辑于星期日：十二点 四十三分

9、。28第27页/共96页第二十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。29111( )()()05.81( )()()0Nxytt ktNxyt kttCkxxyykNCkxxyykN（）第28页/共96页第二十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。30 ( ) ( )0, 1,2,5.9xyxyxyCkkkS S（） 其中 分别是两个序列的均值和标准差。xyxySS、 、和 在实际中，为了获得互相关函数有统计意义的估计，样本容量要求至少为50对观测值，但是为了了解互相关函数计算的原理，下面我们模拟一个二变量的时间序列的样本，并给出计算的过程。第29页/共96页第三十页，编辑于星期日：十二点 四

10、十三分。31txtyt111 70-12710-42396-2-241271-15148306131022XXYY第30页/共96页第三十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。32511(1)()()6xytttCXXYY102( 4)( 2)( 2)( 1)1 03 26 1162.6676第31页/共96页第三十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。33511( 1)()()6xytttCXXYY 1( 4)(1)( 2)21 ( 2)3 ( 1)206 1( 13)2.1676 第32页/共96页第三十三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。34(1)2.667(1)0.7322.38 1

11、.53xyxyxyCS S ( 1)2.167( 1)0.5952.38 1.53xyxyxyCS S 从这里的计算结果可以看出互相关系数不是对称的，即不仅与间隔有关，还与方向有关。 第33页/共96页第三十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。35Yt的互相关函数。第34页/共96页第三十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。36xt91011121314time0102030405060708090100110120130140150tx图图5-4 领先指标领先指标的趋势图的趋势图第35页/共96页第三十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。37yt19020021022023024025

12、0260270time0102030405060708090100110120130140150图图5-5 销售额的趋势图销售额的趋势图第36页/共96页第三十七页，编辑于星期日：十二点 四十三分。38 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -7 0.00094366 0.00208 | . | . | -7 0.00094366 0.00208 | . |

13、 . | -6 -0.048176 -.10622 | . -6 -0.048176 -.10622 | .* * *| . | . | -5 0.030690 0.06766 | . | -5 0.030690 0.06766 | . |* * . | . | -4 -0.013401 -.02955 | . -4 -0.013401 -.02955 | . * *| . | . | -3 0.024782 0.05464 | . | -3 0.024782 0.05464 | . |* * . | . | -2 -0.026508 -.05844 | . -2 -0.026508 -.05

14、844 | . * *| . | . | -1 0.043985 0.09698 | . | -1 0.043985 0.09698 | . |* * *. |. | 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 1 0.032168 0.07092 | . | 1 0.032168 0.07092 | . |* * . | . | 2 -0.172487 -.38029 | 2 -0.172487 -.38029 | * * * * * * * * *| . | . | 3 0.326598 0.72007 | .

15、 | 3 0.326598 0.72007 | . |* * * * * * * * * * * * * * * | | 4 0.047392 0.10449 | . | 4 0.047392 0.10449 | . |* * *. |. | 5 0.049176 0.10842 | . | 5 0.049176 0.10842 | . |* * *. |. | 6 0.019792 0.04364 | . | 6 0.019792 0.04364 | . |* * . | . | 7 0.064040 0.14119 | . | 7 0.064040 0.14119 | . |* * * *

16、 | |. marks two standard errors. marks two standard errorstxty Xt 的的 yt互相关函数图互相关函数图图图5-65-6 第37页/共96页第三十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。39txty “.”标志相关系数两倍标准差处，可以看出当滞后期数k1时，互相关函数显著为零，接着滞后期数k2和k=3时的互相关函数分别为-0.3803和0.7201，从统计的角度显著不为零，说明Xt的滞后2期和3 期对Yt影响显著性。第38页/共96页第三十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。40第39页/共96页第四十页，编辑于星期日：十二点 四十

17、三分。412012( )tttttYV B XBBX 设 011t kt kt kt kYXX 将两边同时乘以Xt，则011t ktt ktt ktt ktYXXXXXX 两边同时求数学期望，有011()()()()t ktt ktt ktt ktE YXE XXE XXEX 第40页/共96页第四十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。4201( )( )(1)xyxxkkk , 2, 1, 0k上式两边同时除以x和y ，得互相关函数为01( )( )(1)(0)(5.10)xxyxxkxykkkv ( )0 xk第41页/共96页第四十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。43自相关函数为

18、0，这时（5.10）式的右边除了之外，其余的项均为零，则（5.10）式可简化。(0)kxv第42页/共96页第四十三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。44( )(5.11)xxykykv( )(5.12)ykxyxk第43页/共96页第四十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。45/yx第44页/共96页第四十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。46第45页/共96页第四十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。47( )tttYB X假定输入序列Xt是一个平稳序列，其适应的模型为( )( )ttB XB ( )(5.13)( )ttBXB有第46页/共96页第四十七页，编辑于星期日：十二点

19、 四十三分。48( ) /( )BB( )(5.14)( )ttBYB第47页/共96页第四十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。49( )tttYB X( ) ( )( )tttBB XB( )( ) ( )( )( )ttBBBBB( )(5.15)kvk( )( )( )ttBV BB第48页/共96页第四十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。50(1 0.4492 )ttxB(1 0.4492 )ttxB或0.2793Stx(1 0.4492 )ttYB1.9480Sty 通过识别，差分后的序列 服从一阶移动平均模型，建立模型为：预白化变换后的标准差 。对 yt 施加同样的变换，得

20、预白化数据的标准差 第49页/共96页第五十页，编辑于星期日：十二点 四十三分。51互相关函数 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -7 -0.0013061 -.00240 | . | . | -6 -0.034684 -.06374 | . *| . | -5 0.013016 0.02392 | . | . | -4 0.0012583 0.00231 | . | . | -3 0.022045 0.04051 | . |* . | -2 0.0054125 0.00995 | . |

21、 . | -1 0.051478 0.09460 | . |*. | 0 0.034232 0.06291 | . |* . | 1 0.043060 0.07913 | . |*. | 2 0.010062 0.01849 | . | . | 3 0.367442 0.67523 | . |* | 4 0.246112 0.45227 | . |* | 5 0.185447 0.34079 | . |* | 6 0.140160 0.25757 | . |* | 7 0.145861 0.26804 | . |* | 8 0.107803 0.19811 | . |* | 9 0.09423

22、5 0.17317 | . |* | 10 0.053115 0.09761 | . |*. | 11 0.078822 0.14485 | . |* | 12 0.038038 0.06990 | . |* . |. marks two standard errors图5-7 预白化变量序列t和t的互相关函数图第50页/共96页第五十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。52(3)(3)71.9480( 7)( 0.0024)0.01670.2793v 第51页/共96页第五十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。53表表5-4 互协方差、互相关和脉冲响应函数的计算表互协方差、互相关和脉冲响

23、应函数的计算表( )k1.948( )0.2794kvk滞后期（k）互相关函数脉冲响应函数-7-.00240-0.0167 -6-.06374-0.4446 -50.023920.1668 -40.002310.0161 -30.040510.2825 -20.009950.0694 -10.094600.6598 00.062910.4388 10.079130.5519 20.018490.1290 30.675234.7094 40.452273.1544 50.340792.3769 第52页/共96页第五十三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。54图图5-8 脉冲响应函数数据图脉冲响

24、应函数数据图第53页/共96页第五十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。55及延迟参数b。第54页/共96页第五十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。56出，根据的特征确定s、r和，由于总体的互相关函数是未知的，用样本的互相关函数来估计。 (1,2,.)jvj jv第55页/共96页第五十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。57ARMA模型的阶数。( )kvk( )kkv第56页/共96页第五十七页，编辑于星期日：十二点 四十三分。58 从图5.7可以看出，预白化变量序列t和t的互相关函数第一个显著不为零的为r(3)，r(3)=0.67523，所以延迟参数为b=3。从 开始，脉冲响应函数

25、快速衰减到零，则r=1 ， s=0。初步传递函数的模型为 14ksb 30212(1-)tttBYXuBB301(1)tttBYXuB第57页/共96页第五十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。59 根据前面一节的识别过程，通过对系统脉冲响应函数的矩估计，已经对系统的传递函数部分的阶数(r，s，b)和随机干扰项的阶数（p，q）进行了初步识别，用 ， ， 和 分别表示（），（），E(B)和（）的系数向量，它们是待估计的参数向量，根据传递函数的模型 ( )( )( )( )btttB BbYXaE Bb可以改写模型为 ( )( )( )5.18)( )( )( )btttbB BbaYXbE B

26、b（第58页/共96页第五十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。60 在给定样本序列 的条件下，求得样本的残差序列 ，且 是未知参数的函数，即使 21( , , ,)( , , ,)NttS , , , 2211( , , ,)NattN 达到极小的 就是参数的最小二乘估计，而是方差的估计量。( ,)(1,2,)ttx ytNt( , , , )tttt第59页/共96页第六十页，编辑于星期日：十二点 四十三分。61（1）首先对模型的传递函数部分 301(1)tttBYXuB进行估计，得 34.6874(1 0.726 )tttBYXuB 例【5.6】 续例【5.3】对模型进行估计 。第60

27、页/共96页第六十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。62参数估计相应的统计量如表01参数名参数名估计值估计值估计量的标准差估计量的标准差 t统计量统计量 p值值4.6870.0780860.03.00010.7260.00702103.41.0001 从t检验的结果可以知道0和1在统计上是显著不为零的，即传递函数部分的模型显著。第61页/共96页第六十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。63Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 1.00000 | |*| 0 1 -.31447 | *

28、| . | 0.083045 2 0.07467 | . |* . | 0.090888 3 0.00882 | . | . | 0.091310 4 -.03802 | . *| . | 0.091315 5 0.15943 | . |*. | 0.091425 6 0.02877 | . |* . | 0.093322 7 -.07483 | . *| . | 0.093383 8 0.08285 | . |* . | 0.093796 9 -.10321 | . *| . | 0.094299 10 0.13444 | . |*. | 0.095075 11 -.00392 | . |

29、. | 0.096377 12 -.00336 | . | . | 0.096379 . marks two standard error图图5-9 传递函数部分残差传递函数部分残差ut的自相关图的自相关图 （2）识别传递函数部分模型的残差序列遵从的模型，从残差序列ut的自相关图可以知道，其自相关函数一阶结尾，如图5-9，则初步识别ut是一阶移动平均模型。第62页/共96页第六十三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。643011(1)(1)tttBYXB aB估计整个模型，得 34.71987(1 0.32534 )(1 0.72496 )tttBYXB aB或 34.71987(1 0.32

30、534 )(1 0.72496 )(1)tttBBYXaBB第63页/共96页第六十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。65101参数名参数名估计值估计值估计量的估计量的标准差标准差t值值P值值0.29560.08033.680.00034.71790.071166.366.00010.72480.0055131.87.0001 从t统计量可以看出 ， 和 在统计上显著不为零，即传递函数模型显著。该系统可以解释为输入变量Xt 通过 10134.7179(1 0.7248 )BB对输出变量 Yt产生影响，随机干扰项通过 (1 0.2951 )(1)BB叠加到系统上，广告费对产品销售有滞后3期的

31、影响。101第64页/共96页第六十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。66第65页/共96页第六十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。671221(2)()( ) ()KakQm mmkkKpq（5.19）其中：p和q是干扰模式的参数个数，K一般取得足够大。 max( ,)ur sb20()pKpqQ20()pKpqQ 如果检验的P值 时，Q0为由样本计算出的统计量值，则接受无序列相关的假设，模型是适合的；否则当 模型有序列相关，需要修正改进。1.残差序列自相关检验第66页/共96页第六十七页，编辑于星期日：十二点 四十三分。68( )( )( )( )btttB BBYXaE BB可以

32、改写为( )( )( )( )( )( )btttBB BBYXaBE BB( )( )( )( )btttBB BYaBE B（9.20）第67页/共96页第六十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。69220()( ) (1 (1)KakSnlkKrs （5.21） 其中其中r+s+1r+s+1是传递函数部分的参数个数，是传递函数部分的参数个数，n n是模型估计是模型估计的残差个数，的残差个数，l l是模型参数个数。是模型参数个数。如果20(1 (1)pKrsS 其中S0为由样本计算出的统计量值，则接受无序列相关的假设，模型是适应的；否则模型存在输入变量与残差序列互相关，需要修正改进。 第

33、68页/共96页第六十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。70( )k表表5-7 自相关函数自相关函数表表滞后期K 自相关函数16-0.0300.0850.0370.0220.1840.068712-0.0410.0590.0500.1270.028-0.0141318-0.0590.0300.0230.064-0.1030.06618240.069-0.0130.025-0.079-0.0760.086第69页/共96页第七十页，编辑于星期日：十二点 四十三分。71max( ,)3ur sb所以有效的样本容量为 146。 根据（5.19）式，分别计算K6，12，18和24统计量，如K=6

34、时，12122222(2)()( )146 148( 0.03)0.0850.0370.0220.1847.40KakQm mmkk第70页/共96页第七十一页，编辑于星期日：十二点 四十三分。72表表5.8 残差自相关检验统计量表残差自相关检验统计量表K自由度自由度 统计量统计量P值值657.400.195121111.270.4213181715.230.5791242319.550.66862第71页/共96页第七十二页，编辑于星期日：十二点 四十三分。73( )ak表表5-7 变量变量输入变量与残差的互相关函数滞后期滞后期k变量输入变量与输入变量与的互相关函数050.0060.107-

35、0.1290.058-0.0520.1996110.0100.0040.0440.0640.0180.09312170.016-0.019-0.015-0.0290.0840.0431823-0.1290.1060.0290.063-0.0460.112第72页/共96页第七十三页，编辑于星期日：十二点 四十三分。74根据（5.21）式 计算K=5，23时的统计量值。20()( )KakSnkk520222222()( )(1453) 0.006(0.107)(-0.129)0.058( 0.052)0.19910.47akSnkk 23202222()( )(1453) 0.006(0.10

36、7).( 0.046)0.11220.58akSnkk 第73页/共96页第七十四页，编辑于星期日：十二点 四十三分。75表表5.10 残差互相关检验统计量表残差互相关检验统计量表2K自由度自由度统计量统计量P值值5410.470.0332111012.600.2466171614.110.5905232220.850.302 从计算的结果可以看出，不能拒绝残差与输入变量无互相关的假设，故认为残差与输入变量显著无关。当模型的诊断检验确定模型是适宜的，则进而可以利用模型进行结构分析和预测了。第74页/共96页第七十五页，编辑于星期日：十二点 四十三分。76数据，也不能代表干预发生以后的数据。第7

37、5页/共96页第七十六页，编辑于星期日：十二点 四十三分。77第76页/共96页第七十七页，编辑于星期日：十二点 四十三分。78 （一）干预变量 有两种最简单的干预变量是阶跃函数和脉冲函数。当外部事件在T时刻发生后，一直对经济变量有影响，这种干预可用阶跃函数式表示，如图是阶跃函数的图形。第77页/共96页第七十八页，编辑于星期日：十二点 四十三分。79TtS 01TttTStTt1T阶跃函数阶跃函数第78页/共96页第七十九页，编辑于星期日：十二点 四十三分。80 10TttTPtT( )TtPt1T 另一种干预在时刻T，仅对该时刻有影响，马上会快速回到干预没有发生前的情形，这种干预变量用脉冲函数式表示。如图所示。脉冲函数脉冲函数第79页/共9