2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含答案)

1、专题09动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解例1. (2019 绍兴)如图，矩形 ABCD中，AB=a, BC=b，点M、N分别在边 AB、CD 上，点E、F分别在边 BC、AD上，MN、EF交于点P.记k=MN:EF.(1)若a： b的值为1,当MNEF时，求k的值.(2)若a： b的值为1,求k的最大值和最小值.2(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点，/ MPE=60°, MP = EF=3PE时，求a： b的 值.题型二：二次函数中几何图形最值求解例2. (2019 衡阳)如图，二次函数 y = x2+bx+c的图象与x轴交于点A (T, 0)和点B (3, 0

2、),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD ,点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB (点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段 OE的长有最大值？ 并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问：4MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.题型三：二次函数中面积最值的求解例3. (2019 自贡)如图，已知直线 AB与抛物线C:y ax2 2x c相交于点 A (-1,0)和点B (2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式；(2)

3、若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点， 以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形 MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于F的坐标；若不存在，请说明理由 .(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点17到直线y 一的距离，若存在，求出定点414题型四：反比例函数中面积最值的求解 例4. (2018 扬州一模)如图1,反比例函数y= (x>0)的图象经过点 A (243, 1),射 线AB与反比例函数图象交于另一点 B (1, a),射线AC与y轴交于点C, / BAC=75° ,AD

4、7;y 轴，垂足为D.(1)求k的值；(2)求tan / DAC的值及直线 AC的解析式；(3)如图2, M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过 M作直线lx轴，与AC相交于点N,连接CM,求ACMN面积的最大值.国1圄2题型五：反比例函数中面积最值的求解 例5. (2019 达州)如图1,已知抛物线 y=x2+bx+c过点A(1,0), B(3,0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO+/CDO) =4时，求点 D的坐标；(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA交BE于点M,交y轴于点N, 4BM

5、P和4EMN的面积分别为 m、n,求m n的最大值.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6. (2019 绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax2 (a>0)的图象向右平移 1个 单位，再向下平移 2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x轴交于点A、B (点A 在点B的左侧)，OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b (kwQ的图象与y轴正半轴交于点 C, 且与抛物线的另一个交点为 D, 4ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点 E在一次函数的图象下方，求 4ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)

6、的结论下，求PE+gPA的最小值.5备用图例7. (2019 潍坊)如图，在平面直角坐标系 xoy中，O为坐标原点，点 A (4, 0),点B(0, 4), ABO的中线AC与y轴交于点C,且。M经过O, A, C三点.(1)求圆心M的坐标；(2)若直线AD与。M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式；(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE/y轴，交直线 AD于点E.若以PE为半径的OP与直线AD相交于另一点F.当EF = 4J5时，求点P的坐标.答案与解析题型一：矩形中的相似求解例1. (2019 绍兴)如图，矩形 ABCD中，AB=a, BC=b，点M、

7、N分别在边 AB、CD 上，点E、F分别在边 BC、AD上，MN、EF交于点P.记k=MN:EF.(1)若a： b的值为1,当MNEF时，求k的值.(2)若a： b的值为1,求k的最大值和最小值.2(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点，/ MPE=60°, MP = EF=3PE时，求a： b的 值.【分析】(1)当a： b=1时，可得四边形 ABCD为正方形，由 MN ± EF,可证MN=EF,即k=1 ; (2)先确定MN和EF的取值范围，当MN取最大值，EF取最小值时，k的值最大, 否则反之；(3)根据N是矩形顶点，分两种情况讨论，即 N分别与D点和C点重合，依据

8、不同图形求解.【答案】见解析【解析】解：(1)当a： b=1时，即AB=BC,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形，过F作FGLBC于G,过M作MH XCD于H,如下图所示,MN± EF, ./ NMH = Z EFG, . / MHN = /FGE=90° , MH=FG, . MNHA FEG ,MN=EF ,即 k=1 ;(2)由题意知：b=2a,所以得：a至FwJ5a , 2aWINwJ5a,所以当MN取最大值，EF取最小值时，k取最大值，为 J5 ;当MN取最小值，EF取最大值时,口 2、5 k取最小值，为彳-；(3)如下图所示,连接FN , ME,设 P

9、E=x,贝U EF=MP=3x, PF=2x, MN=3EF=9x, PN=6x,PF 里PE PM又. / FPN = Z MPE, . FPNA EPM , ./ PFN=Z PEM,FN / ME ,当N点与D点重合时，由FN / ME得，M点与B点重合,过F作FH，BD于H , . / MPE=60° ,PFH=30°，PH=x, FH= 3Xx , BH = BP+PH=4x, DH=5x,在 RtA DFH 中，tan/FDH =g，5即 a:b=J.当N点与C点重合时，过贝U PH=x, EH=J3x, CH = PC+PH=13x,在 RtA ECH 中,t

10、an/ECH=3 , ME / FC, ./ MEB=/FCB=/CFD, . / B=Z D, . MEBA CFD ,CD FC _c=2,MB ME日“ n CD 2BM 2 3即 a:b=；BC BC 13 '综上所述，a:b的值为或会回.513题型二：二次函数中几何图形最值求解例2. (2019 衡阳)如图，二次函数 y = x2+bx+c的图象与x轴交于点A (T, 0)和点B (3, 0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD ,点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB (点

11、P不与O、B重合)上运动至何处时，线段 OE的长有最大值？ 并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问：4MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解； (2)由POEs CBP得出比例 线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE的最大值；(3)过点M作MH / y 轴交BN于点H,由S；Amnb = Sabmh + Samnh即可求解.【答案】见解析.2【解析】解：(1) .抛物线y=x+bx+c经过A ( 1, 0), B (3, 0),1 b c 09

12、3b c 0解得: 抛物线函数关系表达式为 y=x2-2x-3;(2)由题意知：AB=OA+OB=4,在正方形 ABCD 中，/ABC =90°, PCX BE, ./ OPE+ZCPB=90°,ZCPB + Z PCB=90°, ./ OPE= / PCB,又. / EOP= / PBC= 90°, . POEscbp,BC OP BP OE '设 OP=x,贝U PB=3-x,3 x OE3x 4 x23952163x 时，即2OP = 3时线段2OE长有最大值,最大值为16(3)存在.设直线BN的解析式为y= kx+b,H,3k b 0b

13、3直线BN的解析式为设 M (m, m22m3),贝U H(m, m 3),MH = m - 3 - ( m2 - 2m - 3)=-m2+3m,c1SA MNB = Sa bmh + Sa MNH =23m278. .a= 3时，MBN的面积有最大值,2最大值是M点的坐标为(32题型三：二次函数中面积最值的求解例3. (2019 自贡)如图，已知直线AB与抛物线C : y2ax 2x c相父于点A (-1,0)和点B (2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形 MANB的面积最大时，求

14、此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)把A (-1,0), B (2,3)代入抛物线得:a 2 c 04a 4 c 3解得a 1c 3抛物线的函数表达式为：y= x2+2x+3(2) . A (-1,0), B (2,3),，直线AB的解析式为：y=x+1,设 M(m,m，2m+3), N(m,m+1), (-1vmv2)MN = m2+m+2,Sa abm=Saamn+Sa BMN = -(XB Xa) MN 2,o 1231 2 Saabm= -( m m

15、2) 3-(m -)-1 . 一 , 一，当m -时，4ABM的面积有最大值 227827工271 7,而 Scmanb=2Saabm=,此时 M ()42, 2如下图所示，过 M作MN / y轴交AB于N,(3)存在，点F(115)4理由如下：抛物线顶点为D,则D (1,4),则顶点设 F(1,n)、P(x, x2 2x 3),设 P 到直线 y一 17225贝U pg= ( x 2x 3) x 2x 44P为抛物线上任意一点都有 PG = PF,_171D到直线y 一的距离为一，4417 ,一一的距离为PG.4，当P与顶点D重合时，也有 PG=PF.1171此时PG=即顶点D到直线y 一

16、的距离为一，444，PF=DF = 1 ,4, F吟，4.PG = PF, . PG2=PF2,22152_2 PF (x 1)( x 2x 3)PG2 (x2 2x4)222_3 2(x 1) (x 2x 4)4(x2 2x )42152_ 222_3 2 (x 1)2 ( x2 2x 3)2 (x 1)2 (x2 2x )2 44整理化简可得0x=0,，当F(1,15)时，无论x取任何实数，均有 PG=PF. 4题型四：反比例函数中面积最值的求解例4. (2018 扬州一模)如图1,反比例函数y= - (x>0)的图象经过点 A (2/3, 1),x射线AB与反比例函数图象交于另一点

17、B (1, a),射线AC与y轴交于点C, / BAC=75° ,ADy轴，垂足为D.(1)求k的值；(2)求tan / DAC的值及直线 AC的解析式；(3)如图2, M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过 M作直线lx轴，与AC相 交于点N,连接CM,求4CMN面积的最大值.【解析】解：(1) 将A (2J3, 1)代入反比例函数(2)由(1)知，反比例函数解析式为v=空,x点B (1, a)在反比例函数丫=迤 的图象上,x，点B (1, 2折过B作BE，AD于E,如下图所示,? 贝U AE = BE = 2 点-1.ABE= / BAE=45又. / BAC = 75

18、76;, ./ DAC = 30° . DC = tan30° AD =半 273 =2, .OC=1,即 C (0, T)设直线AC的解析式为y= kx+b2 3k b 1 ? b 1一 k B解得k至b 1，直线AC的解析式为y= Y3x - 13(3)设 M (m, 23)，N (m,1 m1)则 MN= "3(卷 m-1)=蜜-理 m+1, m 3m 3-1 Sacmn= (3 史 m+1) m= - -m2+-m+/3 2 m 3-=-&(m-鱼)2+述 628当m=#时，CMN的面积有最大值，最大值为 9，.题型五：反比例函数中面积最值的求解

19、例5. (2019 达州)如图1,已知抛物线 y=x2+bx+c过点A(1,0), B(3,0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO+/CDO) =4时，求点 D的坐标；(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA交m、n,求m n的最大值.BE于点M,交y轴于点N, 4BMP和4EMN的面积分别为【答案】见解析【解析】解：(1)把点(1, 0), ( 3, 0)代入y= x2+bx+c,得,b c3b c解得 b= - 2, c= 3, - y = _ x2 - 2x+3 = ( x+1) 2+4 ,，此

20、抛物线解析式为：y= - x2 - 2x+3,顶点C的坐标为(-1, 4);(2)由(1)知：抛物线对称轴为 x= - 1,设抛物线对称轴与 x轴交于点H, H ( - 1, 0),在 RtCHO 中，CH=4, OH = 1,，tan/COH= CH =4, OH . / COH= ZCAO + ZACO, 当 /ACO= Z CDO 时，tan (/CAO+/CDO) =tanZCOH = 4,如下图所示，当点 D在对称轴左侧时， / ACO = / CDO , / CAO = / CAO ,AOCAACD ,.AC AO AD AC '- AC= 2V5 , AO= 1 ,.AD

21、 = 20, OD=19,D (- 19, 0);0),当点D在对称轴右侧时，点 D关于直线x= 1的对称点D'的坐标为(17, .点D的坐标为(-19, 0)或(17, 0);(3)设P (a, - a2 - 2a+3),设直线PA的解析式为：y=kx+b,将 P (a, - a2 - 2a+3), A (1, 0)代入 y= kx+b,ak b a2 2a 3k b 0解得，k= - a - 3, b= a+3 ,y = ( a3) x+a+3,当 x= 0 时，y= a+3,.N (0, a+3),如下图所示,< m = S>A BPM= S/XBPA S 四边形 B

22、MNO SAAON, n=SAEMN= SAEBO - S 四边形 BMNO， - m- n= Sabpa- Saebo- Saaon=->4X ( - a2 - 2a+3) - - >3><3 - - X1 x (a+3)222=2(a+9) 2+81, 832.当a= - 9时，m n有最大值81. 832题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6. (2019 绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax2 (a>0)的图象向右平移 1个 单位，再向下平移 2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，OA=1,经过点A的

23、一次函数y=kx+b (kwQ的图象与y轴正半轴交于点 C, 且与抛物线的另一个交点为 D, 4ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点 E在一次函数的图象下方，求 4ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+PA的最小值.5备用图【答案】见解析.【解析】解：(1)由平移知，平移后得到的抛物线解析式为y=a (x-1) 2-2,4a-2=0.点A的坐标为(-1, 0),代入抛物线的解析式得,得：a=1,2，抛物线的解析式为 y - x 1 2 2,即y 1x2 x0.2'22令 y=0,解得 xi=

24、i, &=3, B (3, 0), .AB=OA+OB=4,.ABD的面积为5,1一 一 Sa abd= 2AB yD=5.、，_5一 yD=，21 2-x22,解得xi=-2,x2=4, D (4,设直线AD的解析式为y=kx+b,4k bk b一 一一，11，直线ad的解析式为：户浮土(2)过点E作EM / y轴交AD于M ,如下图所示,一1 c 311及e (a，2aa” M*小ME= - 1a2+ 3 a+2 , 22' Sa ace=Sa ame Sacme = (a23a - 4) = - - (a3) 2+ 44216.当a=3时， ACE的面积有最大值，最大值是 25,此时E点坐标为(0，15). 21628(3)作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点F作FHLAE于点H,交轴于点P,157，一 5 一 .AG=5, EG=2AG 4EG 3, . / AGE = /AHP=90°PH EG sin Z EAG= AP AE，PE+3AP=FP+HP=FH,此时 FH 5最小,3 -PH=5AP, E、F关于x轴对称,