高中数学奥林匹克竞赛训练题36

1、 数学奥林匹克高中训练题（36）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1(训练题36)给定三个二次三项式：p1(x)=x2+b1x+c1，p2(x)=x2+b2x+c2，p3(x)=x2+b3x+c3. 则方程|p1(x)|+ p2(x)=| p3(x)|至少有(c)个根(a)4 (b)6 (c)8 (d)以上都不对2(训练题36)函数在区间上是减函数. 则a的取值范围是(b)(a)0a2 (b)a2 (c)0a2或a4 (d)a2或a43(训练题36)空间中有九个点，其中任四点不共面，在这九点间连接若干条线段，使图中不存在四面体. 则图中最多有(d)个三角形(a)21 (b)24 (

2、c)25 (d)274(训练题36)设a=(x，y)| 0x2，0y2，b=(x，y)| x10，y2，yx4是直角坐标平面xoy上的点集. 则所成图形的面积是(d)(a)6 (b)6.5 (c)2 (d)7 5(训练题36)a1，a2，a6是和为23的六个两两不同的正整数. 那么a1a2+ a2a3+ a5a6+ a6a1的最小值为(b)(a)62 (b)64 (c)65 (d)67 6(训练题36)设，与b=(x, y)|x1|+2|y2|a是直角坐标平面xoy内的点集. 则的充要条件是(a)(a)a2 (b)a (c)a (d)a3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1(训练题36

3、)平坦的桌面上，放有半径分别1，2，2的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切另外，在桌面上还有一个半径小于1的小木球在三球之间，与桌面相切，且与三木球都外切. 那么，这个小木球的半径为 2(训练题36)设a1a2an 是满足下列条件的n个实数：对任何整数k0，有 0成立. 那么，p=max|a1|, |a2|,|an|= 3(训练题36)m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117. 对于所有这样的m与n，3m+2n的最大值是 37 4(训练题36)已知点（a，b）在曲线arcsinx=arccosy上运动，且椭圆ax2+by2=1在圆 的外部（包括两者相切的情形）. 那么，a

4、rcsinb的取值范围为 5(训练题36)不等式的解集，是总长为 2 的一些不相交的区间的并集6(训练题36)在四张卡片的正反面上分别写有0与1，0与2，3与4，5与6，将其中任三张并排放在一起组成三位数，总共可得 124 个不同的三位数三、(训练题36)(本题满分20分) 证明：（1）对于任何x，数|sinx|与|sin(x+1)|中至少有一个大于；（2）四、(训练题36) (本题满分20分)通过四面体abcd的棱ad和bc的中点k、n作平面，交棱cd 点m，交棱ab于点l. 证明：（1）|dm|mc|=|al|lb|；（2）面积skln=skmn五、(训练题36) (本题满分20分)在复平

5、面上有三个点：c1=a+bi，c2=m+bi，c3=a+ni，其中am， nb，c1c2c3（这里ci表示复数ci对应的点）组成一个三角证明：满足的复数z所代表的点z，位于这个三角形的内部第二试一、(训练题36)(本题满分50分)rtcdf中，d=90°，docf，o为垂足. 以c为圆心、cd为半径作一圆，aa为过o点的圆c的动弦，e为直线aa上一点，且efcf证明：由a、a至ef的距离的倒数和为定值二、(训练题36)(本题满分50分)（1）当0x1时，求函数 的取值范围；（2）证明：当0x1时，存在正数，使得不等式成立的最小正数=2. 并求此时的最小正数三、(训练题36)(本题满分50分)（1）对于三点a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a3(x3，y3)组成的三角形，有x1x2x3证明：当d适当小时，点(x2，y2d)及点(x2，y2+d)，一在形内，一在形外（2）s是平面上n(n3)个点ai组成的集合，s中