北航水力学 第五章粘性流体的动力学

1、第五章第五章 粘性流体的动力学粘性流体的动力学实际流体实际流体具有粘性,称为粘性流体粘性流体。实际流体实际流体：1、不但有压应力，而且有切应力存在； 2、欧拉运动微分方程不能应用于实际流体的流动 3、理想流体的伯努利能量方程不适用于于实际流体本章介绍实际流体的动力学基础，： 1 粘性流体的运动方程N-S方程 2 恒定元流的伯努利方程 3 恒定总流的伯努利方程 4 气体的伯努利方程、总流的动量方程 5 伯努利方程的一个应用-文丘里管流量计 : -0: -0: -0YZzpxpypXxzy 对 轴流体平衡微分方程式 对 轴（欧拉平衡方程） 对 轴第一节第一节 粘性流体的运动方程：粘性流体的运动方程

2、：N-SN-S方程方程流体静止流体静止理想流体的运动理想流体的运动-欧拉方程欧拉方程 1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz2udufPdt不可压缩粘性流体运动不可压缩粘性流体运动-不可压缩不可压缩纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equations)Navier-Stokes Equations)2222222xyz流体的粘性系数流体的粘性系数因粘性而产生的应力因粘性而产生的应力粘性流体粘性流体：实际的流体（考虑粘性）：实际的流体

3、（考虑粘性）21xxxxxxyzuuuupXuuuuxtxyz 21yyyyyxyzuuuupYuuuuytxyz 21zzzzzxyzuuuupZuuuuztxyz 在推导中应用了牛顿粘性定律dudy1 1、N-S N-S 只适用于牛顿流体只适用于牛顿流体u+duuy动水压强 p 的推导中，应用了不可压缩流体的连续性方程2 2、不可压缩流体不可压缩流体 N-S N-S 只适用于不可压缩流体运动只适用于不可压缩流体运动1()3xxyyzzpppp N-S 方程加上连续方程，四个方程求解四个未知数 实际上由于边界复杂，问题求解困难 数值求解是很好的方法 ,xyzp u u u 实际流体在流动中的

4、能量关系，需从对实际流体中的运动方程（N-S方程）进行积分得到。 其推导过程与理想流体的情况类似，但是，由于理想流体运动方程与N-S相比，多了单位质量流体上的切应力分量，它们对流程的积分就是切应力所做的功。 drV12第二节第二节 恒定元流（粘性流体）的伯努利方程恒定元流（粘性流体）的伯努利方程2222()()02xyzpud zu dxu dyu dzgg 对于质量力只有重力的情况，当所取坐标系z轴为铅直朝上时，势函数 ，得到 Ugz 式中， 为单位质量流体粘性力所做的微功，用 表示，则222()xyzu dxu dyu dzg2()02wpud zdhgwdh 对上式积分，由于对阻力所做的

5、功现在还很难真正通过积分来加以计算，所以通常令 得到wwhdh2211221222wpupuzzhgg - - 实际流体恒定元流的伯努利方程或称能量方程实际流体恒定元流的伯努利方程或称能量方程恒定元流（粘性流体）的伯努利方程恒定元流（粘性流体）的伯努利方程221122121 222wppzzhgg恒定元流（理想流体）的伯努利方程恒定元流（理想流体）的伯努利方程2211221222ppzzggdrV12前提条件：（前提条件：（1 1）定常流动）定常流动 （2 2）不可压缩）不可压缩 （3 3）质量力有势）质量力有势 第二节第二节 恒定元流（粘性流体）的伯努利方程恒定元流（粘性流体）的伯努利方程2

6、2Ug速度水头速度水头P动水压强水头动水压强水头z位置水头位置水头22UPzg总水头总水头/ /高度高度 动能动能 压力势能压力势能 重力势能重力势能 机械能机械能 恒定元流（粘性流体）的伯努利方程恒定元流（粘性流体）的伯努利方程221122121 222wppzzhgg1 2wh能量损失能量损失或或水头损失水头损失在理想流体中没有由于粘滞性而产生的阻力，因此水头损失水头损失在理想流体中是不存在的，第三节第三节 恒定总流（粘性流体）的伯努利方程恒定总流（粘性流体）的伯努利方程 实际流体流动中: 一种是流线图形变化剧烈,流线曲率较大,流线间的夹角较大等,这种流动叫做突变流动。如，管道大拐弯处的流

7、动等。突变流动的动水压强分布比较复杂，难以推导总流能量方程。pZC 另一种，流线图形变化极其缓慢；流线曲率很小，几乎呈直线；流线间的夹角很小，几乎是平行的，这种流动叫做渐变流动。5.3.1 5.3.1 渐变流及其过流断面上动压强的分布渐变流及其过流断面上动压强的分布 渐变流中的过流断面可以看做是平面。 恒定渐变流在同一过流断面上动压强的分布近似地符合静压强分布规律。 不同的过流断面有不同的常数5.3.2 5.3.2 恒定总流（粘性流体）的伯努利方程恒定总流（粘性流体）的伯努利方程 将所有微小流束的能量方程叠加，就得到总流的能量方程将所有微小流束的能量方程叠加，就得到总流的能量方程A A1 1A

8、 A2 222112212()()22wppZdQZhdQgg()pZdQpZC()pZdQ()pZQ假定过水断面假定过水断面A A1 1到到A A2 2都位于均匀流或渐变流区域都位于均匀流或渐变流区域建立从建立从A A1 1到到A A2 2的能量方程的能量方程即在截面上积分：即在截面上积分：22dQgdQdA32dAg33dAA32Ag22QgwhdQ截面平均截面平均whdQwhQ2211122212()()22wppZQQZQQhQgg 12, 截面上的平均流速截面上的平均流速12,动能修正系数动能修正系数流速分布越均匀，越接近于流速分布越均匀，越接近于 1.01.0；在渐变流中通常可近似

9、地取为；在渐变流中通常可近似地取为1.01.0。2211 1222121 222wppzzhgg 恒定总流（粘性流体）的伯努利方程恒定总流（粘性流体）的伯努利方程wh5.3.3 5.3.3 恒定总流的伯努利方程的应用恒定总流的伯努利方程的应用 恒定总流的伯努利方程的适用条件：恒定总流的伯努利方程的适用条件：（1）流体是不可压缩的；（2）流动是恒定的； （3）作用于流体上的质量力只有重力；（4）所取得两个过水断面都必须位于均匀流或渐变流段，但两断面之间不必都是渐变流动。这样建立能量方程时，保证可以在断面上简单积分，从而得到总流的伯努利方程。（5）所取得两个过水断面没有流量汇入或流量分出，亦没有能

10、量的输入或输出。否则要分别建立相应的方程。（后面讨论） 。 注意：两断面间的某些流动可以是急变流。注意：两断面间的某些流动可以是急变流。 1 221whHHJll表示单位重量液体在单位长度流程上水头损失表示单位重量液体在单位长度流程上水头损失水力坡度水力坡度水平基准线水平基准线位置水头线位置水头线测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线zp22vgwh1H2H1 2whl伯努利方程伯努利方程2211 12221222wppzzhgg 为为1 1、2 2 断面之间平均单位力能量损失。断面之间平均单位力能量损失。whwfjhhh总能量损失等于沿程水头损失和局部水头损失之和，总能量损失等于沿程水头损

11、失和局部水头损失之和，另外，通常还将另外，通常还将 写成与单位动能有关的形式，即写成与单位动能有关的形式，即wh22wvhg称为损失系数称为损失系数沿程损失沿程损失gvdlhf22（达西公式）（达西公式）沿程阻力系数沿程阻力系数局部损失局部损失gvhj22局部阻力系数局部阻力系数总能量损失总能量损失jfwhhh管道中机械能损失包括沿程损失和局部损失管道中机械能损失包括沿程损失和局部损失ld1 12 2（没有流动分离）（没有流动分离）（有流动分离）（有流动分离）流动分离流动分离：三维流场中，邻近物面运动方向不同的流体质点：三维流场中，邻近物面运动方向不同的流体质点/ /流层相遇、汇合、流层相遇、

12、汇合、离开物面的流动现象。离开物面的流动现象。损失的根源：剪切应力做功（热能）损失的根源：剪切应力做功（热能）文丘里管文丘里管-流量计（恒定总流伯努利方程的一个应用）流量计（恒定总流伯努利方程的一个应用） 文丘里管文丘里管是测量管道流量的是测量管道流量的装置。（如图所示）装置。（如图所示） 原理：原理： 喉道处断面缩小，速度增加，动能相应增加，所以必然发生势能向动能的转化，这种动能的转化反映在比压计上测管水头差 h 。由此可以根据 h 值可计算势能及动能，最后可以计算出通过文丘管的流量。 文丘里管文丘里管1 11 12 22 2收缩段收缩段喉部喉部扩散段扩散段h hh h1 1h h2 2入口

13、段入口段2211221222wpvpvzzhgg1212ppzzh4222212211222wvvvdhhgggd文丘里管文丘里管1 11 12 22 2收缩段收缩段喉部喉部扩散段扩散段h hh h1 1h h2 2入口段入口段在入口断面在入口断面1 1和喉部断面和喉部断面2 2测量压强测量压强 22122112()22wppvvzzhgg测得，测得，又由连续方程可得，2122211()vAdvAd则则244221112(1)211whvghghhdddd式中式中1whh 是考虑水头损失是考虑水头损失 对流量影响的一个系对流量影响的一个系数，称为文丘里管的流量系数。它随文丘里管数，称为文丘里管

14、的流量系数。它随文丘里管的大小、材料性质、流动情况而定。的大小、材料性质、流动情况而定。文丘里管通过的流量为：2222421241dQA vghddwh0.970.99一般取一般取 如图所示，如图所示， ，流量，流量 系数系数 ，在水银比压计上读，在水银比压计上读 ，试求试求管中所通过的流量管中所通过的流量 【例题例题】 0.9552.5Dcmdcm20hcm 用绝对压强表示的不可压缩气流的伯努利方程用绝对压强表示的不可压缩气流的伯努利方程22121,12,21 222absabswzpzppgg第四节第四节 气流的伯努利方程气流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程也适用于不可压缩气体流动情况。

15、结合气体流恒定总流的伯努利方程也适用于不可压缩气体流动情况。结合气体流动的特点，表达式有一些变化。动的特点，表达式有一些变化。1212wwph两过流段面之间的压强损失两过流段面之间的压强损失,1,2,absabspp两过流段面上的绝对压强两过流段面上的绝对压强 气体流动的特点：气体重度气体流动的特点：气体重度 很小，因此很小，因此 项将很大，而且水头的概项将很大，而且水头的概念对于气体来说没有像液体那么形象具体。念对于气体来说没有像液体那么形象具体。p 下面将上式改变为以相对压强来表示的形式。 所谓的相对压强表示法是以同一高程的大气压强作为零值来计算的，而不同高程的大气压强值是不同的，因此在不

16、同高程处取两断面时的相对压强的计算零值就不相同，也就是说两断面间的相对压强差值不等于绝对压强差。必须考虑大气压强值随高程变化的情况，进行分析：,1ap 高程高程 处大气压强，处大气压强， 为高程为高程 处相对压强处相对压强 高程高程 处大气压强，处大气压强， 为高程为高程 处相对压强处相对压强,2ap1z1p1z2z2z2p有，,1,221()aaappzz则，1,1,1absappp2,2,2,2,121()absaabsaapppppzz12,1,221()absabsappppzza为大气的重度为大气的重度相对压强表示的不可压缩流体的伯努利方程相对压强表示的不可压缩流体的伯努利方程221

17、212121 2()()22awpzzppgg则，可以得到p 静压静压 动压动压 位压位压浮升力对流动所起的作用浮升力对流动所起的作用压强损失压强损失212g21()()azz1 2wp2212121 222wpppgg 许多气体流动情况中，气体的重度和大气的重度往往相差很小，以此方程简化为 煤气的煤气的 ，由相对强度为，由相对强度为 的静的静压箱压箱 A A ，经过直径，经过直径 ，长度，长度 的管道的管道 B B 流入大气，管道进口和出口的高程差流入大气，管道进口和出口的高程差 ，如图所，如图所示示 。管道煤气流动沿程压强损失。管道煤气流动沿程压强损失 局部损失不计。试求通过管道气体的速度

18、局部损失不计。试求通过管道气体的速度 和流量和流量 。 【例题例题】book 5-369book 5-369页页 21 292wvpg212mmH O37.85/N m100lm0.10dm40hmvQ解解：取静压箱取静压箱 A A 中的断面为中的断面为 1-1 1-1 和管道出口断面为和管道出口断面为 2-2 2-2 ，根据（，根据（5.245.24），有），有8.30/vm s空气的重度查表取：空气的重度查表取：221212121 2()()22awvvpzzppgg311.8/(20)N mC。代入已知的数据，代入已知的数据，3220.0129.8 100(11.87.85)4007.8

19、597.8529.829.8vv解得解得223(0.1)8.300.065/44Qd vms2233311 1131 322wpvpvzzhgg22333222232 322wpvpvzzhgg第五节第五节 有流量分流或汇流的伯努利方程有流量分流或汇流的伯努利方程所取得两个过水断面有流量汇入或流量分出，分别建立相应的方程。所取得两个过水断面有流量汇入或流量分出，分别建立相应的方程。汇流处的能量方程汇流处的能量方程： 流体连续方程为流体连续方程为123QQQ2211 1222121 222wpvpvzzhgg2233311 1131 322wpvpvzzhgg分流处的能量方程分流处的能量方程：

20、流体连续方程为流体连续方程为123QQQ第六节第六节 有能量输入输出的伯努利方程有能量输入输出的伯努利方程 对于单位重力的水流而言,如果这种能量的输入或输出为 (水头),则说明在管路中有水力机械的情况下,总流能量方程为2211 1222121 222mwpvpvzHzhggmH对于水泵管路系统,叶片对水流做功, 取正号；对于水轮机管路系统,水流对水轮机做功, 取负号。mHmHmH 是单位重力的水流通过水泵后动力机械对它做了功而增加的能量，称为水泵的扬程。由于1-1和2-2的断面平均速度相对于管路中的流速很小，可以忽略它们的流速水头 ，水泵的轴功率为221 122022vvgg可得1 2mwHz

21、hmEpppQHNN水泵的轴功率，单位时间内原动机给予水泵的功。pNQp单位时间内通过水泵的水流所受的重力水泵效率常见的水泵管路系统如图所示。以0-0为基准面:12120,ppzzz12t 时刻流束1-21122P1P2t+dt 流束1-2减少的：减少的：1-11-1段段111udA u如图，考虑微小的流束如图，考虑微小的流束1-21-2增加的：增加的：2-22-2段段222u dA u1 1-2-2段内动量不变（流动恒定）段内动量不变（流动恒定）单位时间内单位时间内动量的增量：动量的增量：222111u dA uudA u第七节第七节 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程动量定理：动量定理：作用物体上各外力的合力等于动量对时间的变化率21mvmvFdt应用到恒定总流，可得到恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程212 221 11AAFu dAuudAuA A1 1A A2 2定义定义动量修正系数动量修正系数uudAQV V断面平均流速断面平均流速微小流束上的合力：微小流束上的合力：F在在1-1,2-21-1,2-2断面上积分：断面上积分：2 21 1()FQvv流量流量Q应用动量定理：应用动量定理