2021年高中数学选修11教学案1.1命题及其关系教师版含答案

1、第1课时命题归纳总结，核心必记命题及相关概念命题问题思考(1)“x>5”是命题吗？提示：不是(2)陈述句一定是命题吗？提示：不一定(3)命题“当x2时，x23x20”的条件和结论各是什么？提示：条件：x2；结论：x23x20(4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？提示：不一定(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？提示：是思考一个语句是命题应具备哪两个要素？提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假讲一讲1判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材p2例1)(1)函数f(x)在定义域上是减函数；(2)一个整数不是质数就是合数；(3)3x22x>1；(4)在平面上作一个半径为4

2、的圆；(5)若sin cos ，则45°；(6)2100是一个大数；(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？(8)若xr，则x22>0.尝试解答(1)是陈述句，且能判断真假，是命题(2)是陈述句，且能判断真假，是命题(3)当xr时，3x22x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题(4)不是陈述句，不是命题(5)是陈述句，且能判断真假，是命题(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题(7)不是陈述句，不是命题(8)是陈述句，且能判断真假，是命题 (1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假一般来说，疑问句、祈使句、感叹句

3、等都不是命题(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假若能，就是命题；若不能，就不是命题(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题练一练1下列语句中是命题的有_(填序号)地球是太阳的一个行星甲型h1n1流感是怎样传播的？若x，y都是无理数，则xy是无理数若直线l不在平面内，则直线l与平面平行60x9>4.求证：是无理数解析：根据命题的概念进行判断因为是疑问句，所以不是命题因为中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题因为是祈使句

4、，所以不是命题，故填.答案为：2判断下列语句是否是命题，并说明理由(1)是有理数； (2)3x25； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x2x7>0.解：(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题(4)因为x2x7>0，所以“x2x7>0”是真的，故是命题讲一讲2把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a>1时，函数yax是增函数；(3)菱形的对角线互相垂直尝试解答(1)若一个三角形是等边三角形，

5、则它的三个内角相等其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等(2)若a>1，则函数yax是增函数其中条件p：a>1，结论q：函数yax是增函数(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法例如，命题“在abc中，若a>

6、b，则a>b”中，大前提“在abc中”是必不可少的练一练3将下列命题改写为“若p，则q”的形式(1)当a>b时，有ac2>bc2; (2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)已知x，y为正整数，当yx1时，必有y4，x3.解：(1)若a>b，则ac2>bc2.(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除(4)已知x，y为正整数，若yx1，则y4，x3.讲一讲3判断下列各命题的真假，并说明理由(1)若a2>b2，则a>b；(2)在abc中，当a>60°

7、;时，必有sin a>；(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；(4)直线yx与圆(x1)2(y1)21相切尝试解答(1)假命题例如，当a3，b1时，a2>b2，但a>b不成立(2)假命题例如，当a150°时，a>60°，但sin a，不满足sin a>.(3)真命题当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量(4)假命题圆心(1，1)到直线yx的距离为d>1，所以直线与圆相离 (1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的

8、知识，经过逻辑推理或列举反例来判定 (2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可练一练4下列命题中是真命题的是()a若3a，3b，则ab3b若x2x20，则x1c若函数f(x)x2x，则f(x)有最小值d若log2x<1，则x<2答案为：c5判断下列命题的真假，并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x4时，2x1<0；(3)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一

9、定为递增数列解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)是假命题，x4不满足2x1<0.(3)是真命题，由x3或x7能得到(x3)(x7)0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断2本节课要重点掌握的规律方法(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲2.(2)判断命题的真假性，见讲3.3本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中课时达标训练（一）

10、 即时达标对点练题组1命题的概念1下列语句中是命题的是()a周期函数的和是周期函数吗？bsin 0°0c求x22x1>0的解集d作abcefg答案为：b；解析：a选项是疑问句，c、d选项中的语句是祈使句，都不是命题2以下语句中：0n；x2y20；x2>x；x|x210其中命题的个数是()a0b1c2d3答案为：b；解析：是命题，且是假命题；、不能判断真假，不是命题；不是陈述句，不是命题题组2命题的构成形式3把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为：_答案为：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除4命题“若a>0，则二元一次不等式x

11、ay10表示直线xay10的右上方区域(包含边界)”的条件p：_，结论q：_它是_命题(填“真”或“假”)答案为：a>0；二元一次不等式xay10表示直线xay10的右上方区域(包含边界)；真解析：a>0时，设a1，把(0，0)代入xy10得10不成立，xy10表示直线的右上方区域，命题为真命题5把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”它是真命题p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数(2)“若一

12、个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”它是真命题p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”它是假命题，这两个平面也可能相交p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行题组3判断命题的真假6下列命题是真命题的是()a所有质数都是奇数b若>，则a>bc对任意的xn，都有x3>x2成立d方程x2x10有实根答案为：b；解析：选项a错，因为2是偶数也是质数；选项b正确；选项c错，因为当x0时x3>x2不成立；选项d错，因为1243<0，所以方程x2x10无实根7下列命题中真命题有()mx22x10是一元二次方

13、程；抛物线yax22x1与x轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集a1个 b2个 c3个 d4个答案为：a；解析：中，当m0时，是一元一次方程；中当44a<0时，抛物线与x轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集8下列命题中真命题的个数为()面积相等的三角形是全等三角形；若xy0，则|x|y|0；若a>b，则ac>bc; 矩形的对角线互相垂直a1 b2 c3 d4答案为：a；解析：错；中若x3，y0，则xy0，但|x|y|0，故错；正确；中矩形的对角线不一定互相垂直9下列命题：yx23为偶函数；0不是自然数；xn|0<x<12是无限集；

14、如果a·b0，那么a0，或b0.其中是真命题的是_(写出所有真命题的序号)答案为：解析：为真命题；为假命题能力提升综合练1设a、b、c是任意非零平面向量，且相互不共线，则：(a·b)c(c·a)b；|a|b|<|ab|; (b·c)a(c·a)b不与c垂直；(3a2b)·(3a2b)9|a|24|b|2，是真命题的有()a b c d答案为：d；解析：错，数量积不满足结合律；对，由向量减法的三角形法则可知有|a|b|<|ab|；(b·c)·a(c·a)·b·c(b·

15、;c)(a·c)(c·a)(b·c)0.错；对2已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中，假命题是()a若ab，则b若，则abc若a，b相交，则，相交d若，相交，则a，b相交答案为：d；解析：由已知a，b，若，相交，a，b有可能异面3给出命题“方程x2ax10没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()a4 b2 c0 d4答案为：c；解析：方程无实根时，应满足a24<0.故a0时适合条件4已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线xy10与圆x

16、2y2相切其中真命题的序号为()a b c d答案为：c；解析：对于命题，设球的半径为r，则·r3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题，圆x2y2的圆心(0，0)到直线xy10的距离d，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确5下列语句中是命题的有_(写出序号)，其中是真命题的有_(写出序号)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；大角所对的边大于小角所对的边；abc中，若ab，则sin asin b；求证方程x2x10无实根答案

17、为：，.解析：是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；是假命题，0既不是正数也不是负数；是假命题，没有限制在同一个三角形内；是真命题；是祈使句，不是命题6若命题“ax22ax3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_答案为：3，0解析：ax22ax3>0不成立，ax22ax30恒成立当a0时，30恒成立；当a0时，则有解得3a<0.综上，3a0.7把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被2整除；(2)当(a1)2(b1)20时，ab1; (3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线

18、平行解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题(2)若(a1)2(b1)20，则ab1，是真命题(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题8已知a：5x1>a，b：x>1，请选择适当的实数a，使得利用a，b构造的命题“若p，则q”为真命题解：若视 a为p，b为q，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”由命题为真命题可知1，解得a4；若视b为p，a为q，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”由命题为真命题可知1，解得a4.故a取任一实数均可利用a，

19、b构造出一个真命题，比如这里取a1，则有真命题“若x>1，则x>”第2课时四种命题及四种命题间的相互关系核心必知归纳总结，核心必记(1)四种命题的概念互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另

20、一个命题叫做原命题的逆否命题(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系问题思考(1)命题“若a0，则ab0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：逆命题：若ab0，则a0；否命题：若a0，则ab0；逆否命题：若ab0，则a0(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是原命题是指定的，是相对于其他三种

21、命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4讲一讲1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x>2，则x3>0; (2)两条对角线相等的四边形是矩形尝试解答(1)逆命题：若x3>0，则x>2；否命题：若x2，则x30；逆否命题：若x30，则x2

22、.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论； (2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题注意如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变练一练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)若x2y20(x，yr)

23、，则x，y全为0.解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数(2)逆命题：若x，y全为0，则x2y20(x，yr)；否命题：若x2y20(x，yr)，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2y20(x，yr)思考1若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性思考2若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性讲一

24、讲2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)在abc中，若a>b，则a>b；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x22x30，则x3; (4)若xa，则xab.尝试解答(1)逆命题：在abc中，若a>b，则a>b.真命题；否命题：在abc中，若ab，则ab，真命题；逆否命题：在abc中，若ab，则ab.真命题(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题(3)逆命题：若x3，则x22x30.真命题；否命题：若x22x30

25、，则x3.真命题；逆否命题：若x3，则x22x30.假命题(4)逆命题：若xab，则xa.真命题；否命题：若xa，则xab.真命题；逆否命题：若xab，则xa.假命题判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现练一练2有下列四个命题：(1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x6>0”的否

26、命题；(4)“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()a0b1c2d3答案为：b；解析：(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x0，y1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2x60”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题3在命题“若a>3，则a>6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是_答案为：2解析：容易判断，命题“若a>3，则a>6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，

27、从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a3，则a6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题思考我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决讲一讲3(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假(2)证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、br，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0. 尝试解答(1)法一：原命题的逆否命题：“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集

28、”真假判断如下：因为抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a<1，则4a7<0.即抛物线yx2(2a1)xa22与x轴无交点所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故原命题的逆否命题为真法二：先判断原命题的真假因为a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，所以a1.所以原命题成立又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真(2)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，br，若ab<0，则f(a)f(b)<f(a)f(b)”

29、当ab<0时，a<b，b<a，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)，即逆否命题为真命题原命题为真命题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题练一练4证明：若m2n22，则mn2.证明：将“若m2n22，则mn2”视为原命题，则它的逆否命题为“若mn>2，则m2n22”由于mn>2，则m2n2(mn)2>×222，所以m2n22.故

30、原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.3每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论4判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础课时达标训练（二） 即时达标对点练题组1四种命题的概念1命题“若aa，则bb”的否命题是()a若aa，则bb b若aa，则bbc若bb，则aa d若bb，则aa答案为：b；解

31、析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“”与“”互为否定形式2命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_，逆否命题是_答案为：若x>0，则x>1若x0，则x13下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；正方形的四条边相等；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_(填序号)答案为：和和和题组2四种命题的真假判断4下列命题中为真命题的是()a命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题b命题“若x1，则x2>1”的否命题c命题“若x1，则x2x20”的否命题d命题“若x2>1，

32、则x>1”的逆否命题答案为：a；解析：对a，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题5命题“若m10，则m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()a原命题、否命题 b原命题、逆命题c原命题、逆否命题 d逆命题、否命题答案为：c；解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题6命题“若x1，则x210”的真假性为_解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x210，则x1”，因为x210，x±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题答案为：假命题题组3等价命题的应用7判断命题“若m>0，则方程x

33、22x3m0有实数根”的逆否命题的真假解：m>0，12m>0，12m4>0.方程x22x3m0的判别式12m4>0.原命题“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”为真又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真8证明：若a24b22a10，则a2b1.证明：“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为：“若a2b1，则a24b22a10”，当a2b1时，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b24b14b24b210，故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题能力提升综合练1若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()a互逆命题 b互否命题c互为逆否命题 d以上都不正确答案为：a；解析：设p为“若a，则b”，那么q为“若，则”，r为“若，则”故q与r为互逆命题2下列四个命题：“若xy0，则x0，且y0”的逆否命题；“正方形是矩形”的否命题；“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；若m>2，则不等式x22xm>0.其中真命题的个数为()a0 b1 c2 d3答案为：b；解析