二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

1、26.1 二次函数图象和性质二次函数图象和性质(5)1 的顶点坐标是的顶点坐标是_，对称轴是，对称轴是_ 2怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？ （h，k） 2ya xhk直线直线xh 23yx2325yx3 的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 2325yx(2，5) 直线直线 x2 4在上述移动中图象的开口方向、形状、在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状没

2、有变化的：抛物线的开口方向、形状 我们复习了将抛物线我们复习了将抛物线 向左平移向左平移2个单个单位再向下平移位再向下平移5个单位就得到个单位就得到 的的图象，将图象，将 化为一般式为化为一般式为 ，那么如何将抛物线，那么如何将抛物线 的图的图像移动，得到的像移动，得到的 图像呢？图像呢？ 新课新课23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx 的图象怎样平的图象怎样平移就得到移就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函数那么一般地，函数的图象呢？的图象呢？ 1用配方法把用配方法把2yaxbx c2ya x hk化为化为的形式。的形式。 的形式，求出顶点坐标和对称轴。

3、的形式，求出顶点坐标和对称轴。215322yxx2y a x hk例例1 用配方法把用配方法把化为化为 答案：答案： ，顶点坐标是，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线对称轴是直线 x1 的形式，求出顶点坐标的形式，求出顶点坐标和对称轴。和对称轴。2247yxx2ya xhk2215yx练习练习1 用配方法把用配方法把化为化为 的形式，求出对称轴和顶点的形式，求出对称轴和顶点坐标坐标21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把用公式法把化为化为21522yxx 15,1,22abc 221541144221,2112422422bacbaa 21122yx 解：在中，顶点为（1，2），对称

4、轴为直线 x1。 的形式，并求出顶点坐标和的形式，并求出顶点坐标和对称轴。对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x22286yxx2ya xhk2222yx 练习练习2 用公式法把用公式法把化成化成32y axbx c图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：步骤：1利用配方法或公式法把利用配方法或公式法把化为化为的形式。的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。右对称描点画图。 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向

5、上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的

6、增大而减小；当当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性： 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbx c与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbx c2yaxbx c 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根例例4 已知抛物线已知抛物线247,y xkx k k取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上

7、；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以，所以k4，所，所以当以当k4时，抛物线顶点在时，抛物线顶点在y轴上。轴上。 ，所以，所以k7，所以当，所以当k7时，抛物线经过原点；时，抛物线经过原点；抛物线顶点在抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为轴上，则顶点横坐标为0，即即解：解：抛物线经过原点，则当抛物线经过原点，则当x0时，时，y0，所以，所以200407kk4022 1kba ，所，所以当以当k2或或k6时，抛物线顶点在时，抛物线顶点在x轴轴上。上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为轴上，则顶点纵坐标为0，

8、即即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，整理得，解得：，解得：由由、知，当知，当k4或或k2或或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。时，抛物线的顶点在坐标轴上。224 1744044 1kkacba 解法一（配方法）：解法一（配方法）：例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为因为所以当所以当x2 2时，时， 。因为因为a20，抛物线，抛物线 有最低有最低点，所以点，所以y有最小值，有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244

9、2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；用配方法；(2)用公式法用公式法解法二（公式法）：解法二（公式法）：又又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 解法一：解法一： ， 102a 抛物线开口向下，抛物线开口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线对称轴是直线x3，当，当 x3时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二：解法二：，抛物线

10、开口向下，抛物线开口向下， 对称轴是直线对称轴是直线x3，当，当 x3时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为标的值为0所以应满足以下的条件组所以应满足以下的条件组21041 322041mmmmm ，由由解方程得解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为所求函数解析式为21111232 ,222yxx 。21122yxx 即 相相等，则形状相同。等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状

11、及开口方向，若决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。开口向下。5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和和b共同决定抛物线对称轴的位置，由共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线于抛物线yax2bxc的对称轴是直线的对称轴是直线2bxa 若若a，b异号异号对称轴在对称轴在y轴右侧。轴右侧。，故，故若若b0对称轴为对称轴为y轴，轴，若若a，b同号同号对称轴在对称轴在y轴左侧，轴左侧，5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线yax

12、2bxc与与y轴轴交点的位置。交点的位置。当当x0时，时，yc，抛物线抛物线yax2bxc与与y轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点抛物线经过原点；c0与与y轴交于正半轴；轴交于正半轴； c0与与y轴交于负半轴。轴交于负半轴。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出

13、的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符

14、号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号最大？最大？是多少时场地面积是多少时场地面积当当的变化而变化，的变化而变化，随矩形一边长随矩形一边长矩形面积矩形面积的篱笆围成矩形场地，

15、的篱笆围成矩形场地，用总长为用总长为例例SllSm.609求抛物线解析式求抛物线解析式过点过点已知抛物线已知抛物线),6, 0(),0 , 3(),0 , 2(2 CBAcbxaxy一般式一般式交点式交点式顶点式顶点式1练习练习3222013222 x)(x)(xxy.的最大值和最小值的最大值和最小值数数分别在下列范围内求函分别在下列范围内求函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值为值为的的则则且经过点且经过点是是的对称轴的对称轴抛物线抛物线 0320324321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(

16、,x(xcbxaxy.的的个个数数为为其其中中正正确确下下列列结结论论：轴轴交交于于点点与与两两点点，且且轴轴交交于于的的图图象象与与已已知知二二次次函函数数 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xy1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1

17、()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb此抛物线的解析式此抛物线的解析式，求，求全相同，又抛物线过点全相同，又抛物线过点完完的开口方向和开口大小的开口方向和开口大小线线上，并且它与抛物上，并且它与抛物抛物线抛物线的顶点在的顶点在已知抛物线已知抛物线),(Mxyxycbxaxy.2021836222 ？试证明你的结论？试证明你的结论为为，使它的周长，使它的周长是否存在这样的矩形是否存在这样的矩形的取值范围的取值范围的函数解析式，并求出的函数解析式，并求出关于自变量关于自变量周长周长的的，试求矩形，试求矩形的坐标为的坐标为设点设点求二次函数的解析式求二次函数的解析式图形内图形内轴所围成的轴所围成的在抛物线与在抛物线与线上，矩形线上，矩形在抛物在抛物轴上，轴上，在在的顶点的顶点矩形矩形，的顶点坐