43分部积分法

1、第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解1求下列不定积分： xsin xdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，应将乘积中的sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cos x)-s i nx d xc o sxcxcosxcos xdx-u d vu vv d uxcosxsin xc-c o sx d xs i nxc arcsin xdx ；【解】被积函数已经具有udv 的结构，可以考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdxx arcsin xxd arcsinx-u d vu vv d ux arcsin x1dx-整理x1x2x a

2、rcsin x11d (1 x2 )-d ( 1 x2 ) 2x d x2 1 x2x arcsinx 1 x2 cxln( x1)dx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，乘积中有不可独立积分的ln( x1) ，则应将另一部份x 作为先积分部份，得1第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解x ln( x 1)dxln( x 1)d1x2-x d x1 2x c221x2 ln( x 1)1x2d ln( x 1)-u d v u vv d u221x2ln( x1)1x21dx- 整理22x11 x2ln( x1)1( x11)dx- 化假分式为多项式+真分式

3、22x11 x2 ln( x 1)1 ( 1 x2x ln x 1) c2221 (x2 1)ln( x1)1 x21 x c242 xe xdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，应将乘积中的e x 作为先积分部份，得xe xdxxd (e x )-e xdxexe xe xdx-u d vu vxe xe xc-e xdxe( x1)e xcxxcv d uc e x cosxdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的e x 作为先积分部份，得e x cosxdxcos xd( e x )-e xdxe xc

4、e x cosxe xd cosx-u d vu vv d u2第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解e x cosxe x sin xdx-d c o sxs i nx d xe x cosxsin xd( e x )-e xdxe xce x cosx e x sin xe x d sin x-u d vu vv d ue x (sin xcos x)e x cosxdx-d s i nxco xs d x即有xcosxxee (sin xcos x)ecosxdxxdx移项、整理得2e x cos xdxe x (sin x cos x)整理得积分结果e x c o sxdx1 e

5、x( six nxc o sc)2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdxe xd sin x-c osx d xsi nx ce x sin xsin xde x-u d vu vv d ue x sin x( e x )sin xdx-de xe xdxe x sin xe xd (cosx)-s i nx d xc o sxce x sin xe x ( cosx)(cosx)de x-u d vu vv d ue x(sin xcos x)(cosx)( e x )dx-de xe xdx3第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解e x(sin xcos

6、 x) e x cosxdx-整理即有xcosxxe(sin x cos x)e cosxdxexdx将右边的积分项移到左边，整理得2exc o sex( s i nc o sxdxxx最后得积分结果e x c o sxdx1 e x ( six nxc o sc )2 x2 arctanxdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，乘积中有不可独立积分的arctanx ，则应将另一部份x2 作为先积分部份，得x2 arctan xdxarctanxd 1 x3-x2 dx1 x3c331 x3 arctanx1 x3 d arctanx-u d vu vv d u

7、331x3 arctanx1x312 dx- d ar c t axn12 d x331 x1x1x3 arctanx1( xx2 ) dx - 化假分式为多项式+真分式331 x1x3 arctanx1(1x2x2 dx)- 分别积分3321 x1 x3 arctanx1 1 x21112 d (1 x2 ) - d ( 1 x2 ) 2x d x33 22x1 x3 arctanx1 1 x21 ln(1 x2 ) c-1 du ln u c33 22u1 x3 arctanx1 x21 ln(1 x2 ) c- 整理3664第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解 x cos x dx

8、 ；2【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，将乘积中的cos x 作为先积分部份，得2xx-xxxx cos dxxd2sinc o s d x2 c o sd222222x sin x2sin x dx-u d vu vv d u222x sin x2(2cos x )c -si nx d x2 sixn d x222222x sin x4cos xc-整理22 ln xdx ；【解】积分式已经具有udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x-u d vu vv d ux ln xx 1 dx-d ln x1 dxxxx ln

9、xdx-整理xln xxc-dxxcx(ln x1)cxsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，x2 s i n c 2x2 c o s c2【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x-c o sx d xsi nxcxd1sin2 x- 仍为两不同类型函数的乘积 - xuduxd1u2225第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解1 xsin2x1 sin2 xdx-u d v u vv d u2212x1 1cos2x21 c o sx2xsin2dx- s i n x22

10、21xsin2x1( xcos2xdx)- 分别积分241 xsin2x1 ( x1 cos2xd2x)-d 2x 2dx2421 xsin2x1 ( x1 sin2 x) c-c o su d u s i nu c2421 xsin2x 1 x1 sin 2x c-整理248【本题解答案与课本后答案可以互化：1 x sin2 x1 x1 sin2xc1 x 1cos2x1 x1 sin 2x c24822481 x1 x cos2x1 x1 sin 2x c1 x cos2x1 sin 2 x c 】444848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为 1 si

11、n 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1- s i nx c oxs1x sin 2xdxs i xn 22211-si n x2d x1xd (cos2x)c o sx2 c2221 1 xcos2x( 1 cos2 x) dx-u d v u vv d u2221 x cos2x1cos2xdx- 整理441 x cos2x1cos2 xd2x- d2x 2dx486第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解11x cos2xsin 2xc-c o su d us i nuc48 x tan2 xdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分

12、公式，为便于积分，先将乘积中的tan2x 化为易于积分的 sec2x 1 ，得x tan2 xdxx(sec2 x1)dx- tan 2 xsec2 x 1( x sec2 x x)dx-整理1 x2xsec2 xdx-分别积分21x2xd tan x-2t a nxc2s e c x d x1 x2x tan xtan xdx-u d vu vv d u21x2x tan xsin x dx-t a nxs i nx2cosxc o sx1 x2x tan x1d cos x- d c o sxs i nx d x2cosx1 x2x tan x ln cosx c-1 du ln u c2

13、uln 3 x dx ；x2【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，乘积中有不可独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份， 得x2ln 3 xdxln31-11x2xdx2 dxcxx7第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解ln 3x1 d ln 3 x-u d v u vv d uxxln 3x13ln 2 x dx-d ln 3 x 3ln 2 x 1 dxxxxxln 3 x3 ln 2 x dx- 整理，并再次应用上面的方法xx2ln 3x3ln2xd111x-x2 dxcxxln 3x3ln 2 x1 d3ln 2 x-u d v u vv

14、 d uxxxln 3 x3ln 2 x1121xx6ln xdx- d 3 l n x3 2 l xn d xxxxln 3 x3ln 2 x6lnx- 整理，并再次应用上面的方法xxx2dxln 3 x3ln 2 x6ln xd1-12 dx1cxxxxxln 3 x3ln 2 x6ln x1 d 6ln x-u d v u vv d uxxxxln 3 x3ln 2 x6ln x6 1dx- d 6 l nx6d xxxxx2xln 3 x3ln 2 x6ln x6-11xxxcx2 dxcxx8第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解1 (ln 3 x3ln 2 x6ln x6)c-

15、整理x(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经具有udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dxx(arcsin x)2xd(arcsin x)2-u d vu vv d ux(arcsin x)2x 2arcsin x dx - d (arcsin x) 22arcsin x1dx1 x21x2x(arcsin x)2arcsin x2xdx-整理1x2x(arcsin x)2arcsin xd(21x2 )-2xdx11d (1 x2 )2 1 x2c1x2x2x(arcsin x)22 1x2 arcsin x( 2 1x2 )d arcsin x-u

16、 d v u vv d ux(arcsin x)221x2arcsin x21x21dx1x2- d arcsin x1dx1 x2x(arcsin x)221x2arcsin x2dx-整理x(arcsin x)221x2 arcsin x2 xc x2 e xdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，9第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解将乘积中的e x 作为先积分部份，得x2 e xdxx2d ( e x )-e xdxe xcx2e x( e x )dx2-u d vu vv d ux2e xe x 2xdx-整理x2e x2xd( e x )-e

17、xdxe xcx2e x2xe x( e x )d 2x-u d vu vv d ux2e x2xe x2 e xdx-整理x2e x2xe x2e xc-e xdxe xce x ( x22x2)c-整理3e x dx ；【解】 被积函数中含根式，且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。令 3 xu ，则 xu3 ， dx 3u2due3 xdxeu 3u2du-3 x u3u2 deu-eu dueuc3u2eueud 3u2-u d vu vv d u3u2eu6ueu du-d 3u26udu3u 2eu6udeu-eu d

18、ueuc10第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解3u 2eu6ueueud 6u-u d vu vv d u3u 2eu6ueu6eudu-d6u 6du3u 2eu6ueu6euc-eu dueuc3(u22u 2)euc-整理3( 3 x22 3 x3xc-u3 x2)e( x21)sin 2xdx ；【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，将乘积中的 sin2x 作为先积分部份，得( x2 1)sin 2xdx ( x21)d (1 cos2x)2-sin2xdx1 sin 2xd 2x1 cos2xc1212( x2 1)cos2x(cos2x)d ( x

19、2 1) -u d v u vv d u221 ( x21)cos2x1 cos2x 2 xdx -d ( x21 )2x d x221 ( x21)cos2 xx cos2xdx-整理21 ( x21)cos2xxd 1 sin 2x22-cos2xdx 1 cos2xd 2x1 sin2xc11212( x21)cos2xxsin 2xsin 2xdx-u d v u vv du2221( x21)cos2x1xsin 2x1cos2xc2214-co sx2cs i n x2d x21 ( x23 )cos2 x1 x sin 2xc-整理22211第 4 章 不定积分4.3分部积分法习

20、题解ln( x21)dx ；【解】积分式已经具有udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得ln( x21)dxx ln( x21)xd ln( x21)-u d vu vv d u22 x22xx ln( x1)xx2 1dx-d l n (x1 )x21d xx ln( x21)2 (11)dx-化假分式为多项式+真分式x21x ln( x21)2( xarctan x)c e 2 x sin x dx ； 2【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的e 2x 作为先积分部份，得e 2x sin x dxsin x d (1e 2 x )-e 2x

21、 dx1e 2 xc22221e 2 x sinx(1e 2 x )d sinx-u d v u vv d u22221 e 2 x sin x( 1 e 2 x )( 1 cos x) dx- d si nx1c oxsdx222222221 e 2 x sin x1 e 2 x cos x dx-整理22421 e 2 x sin x1 cos x d (1 e 2 x)-e 2x dx1 e 2 xc2242221 e 2 x sin x1 e 2 x cos x(1 e 2 x) d 1 cos x - udv uv vdu228224212第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解1

22、e 2 x sinx1e 2 x cos x(1e 2x )1sinx dx2282282-d1x1xcos2sindx4821 e 2 x sin x1 e 2 x cos x1e 2x sin x dx- 整理2282162即有e 2x sin x dx1 e 2 x(cos x4sin x )1e 2x sin x dx2822162将右边的积分项移到左边，整理得17e 2x sin x dx1 e 2 x (cos x4sin x )162822最后得积分结果e 2x sin x dx2 e 2 x (cos x4sin x)c21722【解法二】将乘积中的sin x 作为先积分部份，

23、得x2xxxxxe2xsine2 xd (-dx2cos )s i n d x2 s i n d2 c o s c2222222e 2 x cos x( 2cos x )de 2x-u d vu vv d u222e 2 x cos x( 2cos x )( 2e 2 x )dx- de 2x2e 2xdx222e2e2 x2 xcos x4cos x e 2 x dx-整理22x4e2 xx-xxcosd 2sinc o s dx2 si n c22222e 2 x cos x4 e 2 x 2sin x4 2sin x de 2 x -u d v u vv d u2222e 2 x cos

24、 x8e 2x sin x8sin x ( 2e 2x )dx - de 2x2e 2 x dx22213第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解2e 2 x cos x8e 2x sin x16e 2x sinx dx-整理222即有e 2x sin x dx2e 2x cos x8e 2 x sin x16e 2 x sin x dx2222将右边的积分项移到左边，整理得17e 2 x sin x dx2e 2 x (cos x4sin x )222最后得积分结果e 2x sin x dx2 e 2 x (cos x4sin x)c21722 cos(ln x)dx ；【解】积分式已经具

25、有udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得cos(ln x)dx x cos(ln x)xd cos(ln x)-u d vu vv d ux cos(ln x)xsin(ln x)1-d c o s( l xn)1 dxs i nx( l n d)xxxx cos(ln x)sin(ln x) dx-整理x cos(ln x)x sin(ln x)xd sin(ln x)-u d vu vv d ux cos(ln x)x sin(ln x)x cos(ln x) 1 dx- d sin(ln x)cos(ln x) 1 dxxxx cos(ln x)x sin(ln x)cos(ln x)dx-整理即有cos(ln x)dxxcos(ln x)sin(ln x)cos(ln x) dx将右边的积分项移到左边，整理得2c o s ( xl nd x)x c o s(x l n)sxi n14第 4 章 不定积分4.3分部积分法习题解最后得积分结