4-5反证法与放缩法自主训练

1、精品资源2.3反证法与放缩法自主广场欢迎下载1.1.210 T 210 - 2B.M<11 .设 M=4 +2A.M=1C.M>1D.M大小关系不定10思路解析：分母全换成2 .答案：B2 .设 a,b,c R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,贝U “PQR>0 是 “ P,Q,R同时大于零”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析：必要性是显然成立的；当PQR>01若P,Q,R不同时大于零，则其中两个为负，一个 为正，不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c&

2、gt;0矛盾，即充分性也成立.答案：C3.已知a,b C R,下列各式中成立的是()A.cos 2 0 lga+sin 2 0 lgb<lg(a+b)B.cos 2 0 lga+sin 2 0 lgb>lg(a+b)cosn2 sin2 -,.C. a 力 -=a+bcosn2. sin2 -iD. a *b >a+b思路解析:cos2。. lga+sin 2 0 . lgb<cos 2 0 . lg(a+b)+sin 2 0 .lg(a+b)=lg(a+b).答案：A与Vn (n e )的大小关系是一，114.A=1+ .2.3E j 1111111思路解析：A=十十

3、 +.一+七.,+ .122. 3n . n< ：- n答案：A>、, n5 . lg9 lg11与1的大小关系是 .思路解析:因为lg9>0,lg11>0.所以 lg 9 *lg11 <m 9=1222所以 lg9 lg11<1.答案：lg9 lg11<1x y x y6 .设x>0,y>0,A= J ,B= ,贝U A,B的大小关系是 1 x y 1 x 1 y思路解析：A二一x一1 x yy ，=B.1 x y 1 x 1 y答案:A<B7.求证:1 (1 +1+ . +n 11 1证明：.=2 211+又1> 一21 +

4、 1 +1 +3>4112n -11一 ,6+ 1+- +2n -141> 一2n1)(n >2).2n+2n ,将上述各式的两边分别相加，得3 5(1 +n 12n -11 + 111 + 3->(1 +1 +- + -2 4)>-(-2n -1n 2)2n1n工).2n8 .已知 a,b,c,d C证明：彳四设a,b,c,dR,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数 .都是非负数.因为 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1, 而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd >ac+bd,所以 ac+

5、bdw1,这 与ac+bd>1矛盾.所以假设不成立，即a,b,c,d中至少有一个为负数.9 .已知 f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|，一，1.1中至少有一个不小于2证明：假设 |f(1)|,|f(2)|,|f(3)|而 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|一一1一一 一 一都小于一，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,2河f(1)+f(3)-2f(2)|=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.相互矛盾. .|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|，*,1中至少有一个不小于-2我综合我发展10 .已知

6、函数f(x)满足下列条件：(1)f( 1 )=1;(2)f(xy尸f(x)+f(y);(3)2值域为-1,1 .试证：1不在f(x)的定义域内.一，一 ,1 ,思路解析：假设1在f(x)的定义域内又由题设，得f(4-)=f(4，则f()有意义，且f(41)+f( - j-241 -)£ -1,1 1 .4-1,1 1，此与f(工)C -1,1 矛盾，4故假设不成立.的定义域内.一,1 一，所以一不在f(x)>1b 1 c411.已知 a,b,c C R,且 a+b>c,求证:证明：构造函数f(x)= x (x £ R+),1 x任取 x1,x 2C R,且 x1

7、<x2,则f(x i)-f(x 2)=XiX21 X11x2x - x2 12<0, (1xj(1x2) .f(x)在(0,+ 8)上单调递增. a+b>c, . .f(a+b)>f(c).即a b c1 a bc.1 c1 a b 1 c 又-a-1 b b+1 b112.设a,b C R,0 <x,y < 1,求证：对于任息、头数 a,b必存在满足条件的x,y使|xy-ax- by| > 一3成立.1证明：假设对一切0Wx,y < 1,结论不成立,则有lxy-ax-byl< 一3令 x=0,y=1,得 |b|< 1;令 x=1,y

8、=0,得|a|< 1;令 x=y=1,得 |1-a-b|<又|1-a- b| R Ta|-|b|>1-3故假设不成立，原命题结论正确13.设 $=sin1 sin 2 sin 3 sin n+ +|SmSn|<212T.22232n(n CNF),求证：对于正整数m,n且 m>n,都有证明：|S m-Sn| = |sin(n 1)2n 1sin(n 2)2n 2sin m2m l<1sin(n 1)2n 1l+lsin(n 2)2n 2.1 |sin(n+1)|<1,|sin(n+2)|,sin m ,l+l2 m< 1, Jsinml <

9、 1,，上式w |1n1 l + l=*+-+/11-(2严12n 211l+ +l 2m l1-1 2，原不等式成立.14.用反证法证明12n1-(1<2n:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半证明：已知：在 ABC中，/CAB>90 ,D是BC的中点，求证:AD< 1 BC(如下图所示).2假设AA -BC.2,那么,这条(1)若AD=-BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半2边所对的角为直角，"知/ A=90° ,与题设矛盾.所以A3 1 BC.2(2)若 AD>1BC,因为 BD=DCBC,所以在 ABD 中,AD&

10、gt;BD,从而/ B>/ BAD,同理/ C>/ CAD.所以/ B+Z C>/ BAD廿 CAD,即 / B+Z C>/ A.因为/ B+/ C=180 -/A,所以180° - ZA>Z A,则/ A<90° ,这与题设矛盾.,-_ 1 _由(1)(2)知 AD>BC.15.已知 f(x)= x(xw-1).x 1求f(x)的单调区间；(2)若 a>b>0,c= 2.(a - b)b求证:f(a)+f(c)>一 x(1)解:f(x)=1 x x 1所以f(x)在区间( 8,-1)和(-1,+ 8)上分别为增函数.(2)证明：首先证明对于任意的x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y).f(x)+f(y)=上,二 xy xy x y xy x