大地测量学基础-8

1、幻灯片1第八章 椭球面元素归算到高斯平面 高斯投影控制测量学§8-1 高斯投影概述 1、投影与变形 地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示： 式中L、B是椭球面上某点的大地坐标，而x、y是该点投影后的平面直角坐标。 幻灯片2 投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。 投影变形的形式：角度变形、长度变形和面积变形。 地图投影的方式： （1）等角投影投影前

2、后的角度相等，但长度和面积有变形； （2）等距投影投影前后的长度相等，但角度和面积有变形； （3）等积投影投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。控制测量学幻灯片3 2、控制测量对地图投影的要求 （1）应当采用等角投影（又称为正形投影）采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。 （2）在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。 （3）能按分带投影 3、高斯投影的基本概念 （1）基本概念：控制测量学幻灯片4 如图1所示，假想有一个椭圆柱

3、面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2所示，此投影称为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。控制测量学图1图2幻灯片5（2）分带投影 高斯投影6º带：自0º子午线起每隔经差6º自西向东分带，依次编号1,2,3,。我国6º带中央子午线的经度，由75º起每隔6º而至135º，共计11带（1323带），带号用表示n，中央子午线的经度用L0 示，它们的关

4、系是L0=6n-3， 如图所示。 高斯投影3º带：它的中央子午线一部分同6º带中央子午线重合，一部分同6º带的分界子午线重合，如用n´表示3º带的带号，L表示3º带中央子午线经度，它们的关系 图8-4所示。我国3º带共计22带（2445带）。控制测量学幻灯片6控制测量学（3）高斯平面直角坐标系 在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标x轴，以赤道的投影为横坐标y轴。幻灯片7控制测量学 在我国X坐标都是正的，Y坐标的最大值（在赤道上）约为330km。为了

5、避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500Km。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例如，有一点Y =19 123 456.789m，该点位在19º带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m，最后得 =-376 543.211m。幻灯片8（4）高斯平面投影的特点 中央子午线无变形； 无角度变形，图形保持相似； 离中央子午线越远，变形越大。4 椭球面三角系化算到高斯投影面 将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是： （1）将起始点P的大地坐标（L，B）归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检核还应进行反算，亦即根据x、y反算L、B 。

6、 （2）通过计算该点的子午线收敛角及方向改正 ，将椭球面上起算边大地方位角APK归算到高斯平面上相应边P'K'的坐标方位角 P'K' 。 控制测量学幻灯片9控制测量学 （3）通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。 （4）通过计算距离改正S，将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度 。 （5）当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。幻灯片10§8-2 正形投影的一般条件 高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图1为椭球面，图2为它在平面上的投影。在椭球面上有

7、无限接近的两点P1和P2，投影后为P'1和 P'2 ，其坐标均已注在图上，dS为大地线的微分弧长，其方位角为A。在投影面上，建立如图2所示的坐标系，dS 的投影弧长为ds 。控制测量学幻灯片11 椭球面到平面的正形投影一般公式称柯西-黎曼条件：控制测量学平面正形投影到椭球面上的一般条件：幻灯片12§8-3 高斯投影坐标正反算公式1、高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标 L、B，求该点在高斯投影平面上的直角坐标 x、y，即 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件 中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正

8、形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点P1和P2 ,它们的大地坐标分别为（L，B）及（l，B），式中 l为椭球面上P点的经度与中央子午线 L0的经度差：l=L-L0 , P点在中央子午线之东, 控制测量学幻灯片13l为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为 和 。 （4）计算公式控制测量学当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算：幻灯片142、高斯投影坐标反算公式 （1）高斯投影反算： 已知某点的高斯投影平面上直角坐标 x、y ，求该点在椭球面上的大地坐标 L、B ，即 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件 x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；x轴

9、上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 根据x计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度Bf ，接着按 Bf计算（ Bf -B）及经差l ，最后得到 、 。 （4）计算公式控制测量学幻灯片15控制测量学当要求转换精度至 时，可简化为下式：幻灯片163、高斯投影正反算公式的几何解释 正算公式实际上是在中央子午线上P'点展开l的幂级数，而反算公式实际上则是在中央子午线上P点展开y的幂级数。 高斯投影坐标正、反算公式是在高斯投影必须遵循的三个条件下导出的，因此这些公式也必然完备地表现出高斯投影的特点。比如对正算公式(873)式的分析，可知具有如下特点(参见图8-1

10、6)： (1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值减小；又因cos(-B)=cosB，所以无论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。控制测量学幻灯片17 （2）当B等于常数时，随着l的增加，z值和y值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。 (3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。控制测量学幻灯片18§8-4 平面子午线收敛角公式控制测量学一、子午线收敛角的概念 如图所示，p 、pN 及p

11、Q 分别为椭球面p点、过p点的子午线pN及平行圈pQ在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点p子午线收敛角就是pN在p上的切线pn与pt坐标北之间的夹角，用表示。 在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线pN及 pQ也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于pQ在p点上的切线pq同平面坐标系横轴 的倾角。幻灯片19二、由大地坐标(L,B) 计算平面子午线收敛角公式控制测量学三、由平面坐标 计算平面子午线收敛角 的公式 上式计算精度可达1"。如果要达到0.001"计算精度，可用下式计算：四、实用公式 1、克氏椭球 已知大地坐标（L，B）计算

12、子午线收敛角幻灯片20控制测量学 已知平面坐标（x，y）计算子午线收敛角2、1975年国际椭球元素计算公式幻灯片21§8-4 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算一、概述 由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面上利用平面三角学公式进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归算到高斯平面上的内容包括：控制测量学幻灯片22 （1）起算点大地坐标的归算将起算点大地坐标 归算为高斯平面直角坐标 。 （2）起算方向角的归算。 （3）距离改化计算椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平面上相应的弦线长度。 （4

13、）方向改计算椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应的弦线方向值。二、方向改化 1、概念 如图所示，若将椭球面上的大地线AB方向改化为平面上的弦线ab方向，其相差一个角值 ,即称为方向改化值。控制测量学幻灯片23控制测量学 2、方向改化的过程 若将大地线AB方向改化为弦线ab方向。过A,B 点，在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交，其交点分别为D、E，它们在投影面上的投影分别为 ad和be 。由于是把地球近似看成球，故ad和be都是垂直于x轴的直线。在a,b点上的方向改化分别为 和 。当大地线长度不大于10km， 坐标不大于l00km时，二者之差不大于0.05"，因而可近似认为 = 。

14、幻灯片24 3、计算公式 球面角超公式为：控制测量学 适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式： 式中 ，为a、b两点的y坐标的自然的平均值。幻灯片25三、距离改化 1、概念如图所示，设椭球体上有两点P1、P2及其大地线S，在高斯投影面上的投影为P1 、 P2及S。 S是一条曲线，而连接P1 P2两点的直线为D，如前所述由S化至D所加的改正，即为距离改正S 。 2、长度比和长度变形 长度比m : 指椭球面上某点的一微分元素 dS，其投影面上的相应微分元素ds，则 称为该点的长度比。 长度变形:由于长度比m恒大于1，故称m-1为长度变形。 3、长度比 的计算公式控制测量学幻灯片26式中：Rm表

15、示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。 为投影线两端点的平均横坐标值。控制测量学 4、长度比和长度变形的特点 1）长度比m随点的位置而异，但在同一点上与方向无关； 2）当y=0(或l=0)时，m=1，即中央子午线投影后长度不变； 3）当y0(或l0)时，即离开中央子午线时，长度设形（m-1）恒为正，离开中央子午线的边长经投影后变长。 4）长度变形（m-1）与 y2（或 l2）成比例地增大，对于在椭球面上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，其长度变形愈大。幻灯片27 5、距离改化计算公式控制测量学或幻灯片28§8-5高斯投影的邻带坐标换算以下情况需要进行邻带换

16、算： 1、如图1所示，该控制网跨越两个投影带。 2、在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中。 3、当大比例尺测图时，要求采用3°带、1.5 °带或任意带，而国家控制点通常只有6 °带坐标，这时就产生了6 °带同3 °带只见的相互换算问题。控制测量学幻灯片29一、应用高斯投影正反算公式间接换带1、换带的基本原理或思路 1）把某投影带（比如带）内有关点的平面坐标（x，y），利用高斯投影反算公式，换算成椭球面上的大地坐标（B，L），进而得到 。 2）由大地坐标（B，L），利用投影正算公式换

17、算成相邻带的（如第带）的平面坐标（x，y），但在计算时，要根据第带的中央子午线计算经差l，即2、算例 某点中央子午线经度L0= 123°，该点坐标x1=5728374.726，y1=210198.193，要求将该点坐标换算到邻带，中央子午线经度129 °。计算过程见表。（B1,L1）可以利用前面所学知识计算得到。B1=51°3843。9024，L1= 126°0213.1362控制测量学幻灯片30控制测量学幻灯片31二、应用换带表直接进行换带计算 1、基本原理 问题的提出控制测量学 1）“对称点”的选择和作用：如图，在椭球面上选取P2，使P2与P1对称于

18、分带子午线幻灯片32§8-5 工程测量投影面与投影带选择1、概述 对于工程测量，其中包括城市测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的课题。控制测量学幻灯片332、工程测量中选择投影面和投影带的原因 （1）有关投影变形的基本概念 平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要是由于以下两种因素引起的： 实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，其值为 ：控制测量学式中：Hm 为归算边高出参考椭球面的平均高程， s为

19、归算边的长度，R为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边长的相对变形：幻灯片34 值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的； 值与 Hm 成正比，随 Hm 增大而增大。 将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值为 ：控制测量学式中： ，即为投影归算边长, 为归算边两端点横坐标平均值， 为参考椭球面平均曲率半径。投影边长的相对投影变形为幻灯片35 值总是正值，表明将椭球面上长度投影到高斯面上，总是增大的； 值随着 平方成正比而增大，离中央子午线愈远，其变形愈大。控制测量学 （2）工程测量平面控制网的精度要求 工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺图的控制基础，还

20、应作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，这就是说由上述两项归算投影改正而带来的长度变形或者改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般来说，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/5 0001/20 000。因此，由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，幻灯片36即相对误差为1/10 0001/40 000，也就是说，每公里的长度改正数不应该大于102.5cm。3、投影变形的处理方法 （1）通过改变 从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿

21、投影面的高斯正形投影； （2）通过改变 ，从而对中央子午线作适当移动，来抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，这就是通常所说的任意带高斯正形投影； （3）通过既改变 （选择高程参考面），又改变 （移动中央子午线），来共同抵偿两项归算改正变形，这就是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。控制测量学幻灯片374、工程测量中几种可能采用的直角坐标系 （1）国家3º带高斯正形投影平面直角坐标系 当测区平均高程在l00m以下，且 值不大于40km时，其投影变形值 及 均小于2.5cm，可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，不需考虑

22、投影变形问题，直接采用国家统一的3º 带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系。 （2）抵偿投影面的3º带高斯正形投影平面直角坐标系 在这种坐标系中，依然采用国家3º带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在这个高程参考面上，长度变形为零。控制测量学幻灯片38控制测量学于是，当 一定时，可求得：则投影面高为：算例：某测区海拔 =2 000（m），最边缘中央子午线100（km），当s =1000（m）时，则有幻灯片39而 ，超过允许值（102.5cm）。这时为不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，经计算得高差： 将地面实测距离归算到： 控制测量学 （3）任意带高斯正形投影平面直角坐标系 在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家 带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。这就是说，在（8-272）式中， 保持不变，于是求得算例：某测区相对参考椭球面的高程 =500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依上式算得幻灯片40控制测量学 即选择与该测区相距80km处的子午线。此时在 =80km处，两项改正项得到完全